资源简介

湖南株洲市石峰区2025-2026学年九年级下学期 中考一模数学试题
1．的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
2．以下几何体的主视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
3．某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生的身高进行统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．40000名初中毕业生是总体 B．每名初中毕业生是个体
C．2000名学生是样本容量 D．本次调查属于抽样调查
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，是的弦，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，对角线和相交于点，添加下列条件不能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C．平分 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．在争创国家卫生文明城市的活动中，某市组织志愿者队伍对某工地重达100吨的建筑垃圾进行清除．开工后，附近居民主动加入劳动中，使清除行动的速度比原计划提高了，提前1小时完成了清除任务．设志愿者队伍原计划每小时清除x吨垃圾，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，边，分别与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点M，N（M，N不重合）．给出下面的结论：①；②；③；④设，，若，则．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
12．已知，是关于x的方程的两根，则的值为　 　．
13．一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为　 　．
14．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为　 　．
15．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则　 　．
16．如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．“中国航天日”是每年的4月24日，是为了纪念1970年4月24日中国成功发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”，为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校近期组织了全校学生都参与的航天知识竞赛．竞赛结束后，随机抽取部分学生成绩，并根据分数分成5个等级进行整理，绘制了如下统计表和统计图．
等级 成绩/分 人数
A 25
B m
C n
D 15
E 80分以下 10
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了________名学生的成绩，________，________．
（2）扇形统计图中等级B所对应的圆心角是多少度？
（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的竞赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全县的航天知识竞赛，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率．
20．如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
21．为深入贯彻落实党中央、国务院决策部署，大力提振消费，国家颁布了《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》（简称“国补”），对空调在内的多种家电产品给予补贴，对空调的补贴的具体标准为一级能效产品补贴售价的，二级能效产品补贴售价的．据了解，某品牌每台一级能效的空调售价比每台二级能效的空调贵1000元，在领取“国补”后，一台一级能效的空调比一台二级能效的空调只贵600元．
（1）该品牌一级、二级能效的空调每台的售价分别为多少元？
（2）售货员介绍，同等条件下，该品牌的一级能效空调每天比二级能效空调少耗电度．电价大约为元/度，按每年使用空调180天算，算上空调本身的价格（国补后的），请问最少几年后使用一级能效的空调会更划算？（结果取整数）
22．交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，）
23．如图1，在矩形中，，，点E在上，且，垂足为点P．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图2，将沿翻折，点C的对应点为点，连接，交于点F，求的面积．
24．已知抛物线（，为常数）经过点．
（1）若抛物线与轴交于点．
①求该抛物线的函数表达式；
②已知点和点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
（2）若，且对于任意实数，都有，将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），若有直线，在这条直线上一定存在点，使得是直角，请求出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是2026．
【分析】
根据相反数的定义：绝对值相等，正负号相反的两个数即可解答.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：选项A
球体无论从哪个方向观察，得到的视图均为圆．因此球体的主视图是圆．
选项B
三棱锥从正面观察，得到的视图是三角形．因此三棱锥的主视图是三角形．
选项C
圆锥从正面观察，看到的是由底面直径和母线组成的三角形．因此圆锥的主视图是三角形．
选项D
长方体从正面观察，得到的视图是长方形．因此长方体的主视图是长方形．
综上，主视图为圆的是选项A．
【分析】
根据主视图的定义：从物体的正面看所得到的平面图形即可解答.
3．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵本次调查的对象是初中毕业生的身高，不是初中毕业生本身，
∴总体是40000名初中毕业生的身高，不是40000名初中毕业生，A错误；
个体是每名初中毕业生的身高，不是每名初中毕业生，B错误；
∵样本容量是样本中包含的个体的数目，是一个数字，
∴样本容量是2000，不是2000名学生，C错误；
本次调查是从总体中随机抽取部分学生进行分析，属于抽样调查，D正确．
分析】
根据统计中总体、个体、样本容量及抽样调查的概念，然后逐一分析选项即可．
4．【答案】C
【知识点】负整数指数幂；单项式除以单项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：选项A：，A错误．
选项B：，B错误．
选项C：根据负整数指数幂的运算法则，可得，符合运算法则，C正确．
选项D：，D错误．
【分析】
分别根据合并同类项法则，去括号法则，负整数指数幂的性质，单项式除以单项式法则，则逐一验证选项即可得到结果．
5．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：设的对顶角为，则，
∵，
∴，
∵，
∴．
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补得到，再根据对顶角相等即可解答．
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
是的直径，
，
，
，
与都是所对的圆周角，
．
【分析】
利用”直径所对的圆周角是直角“这一性质求出辅助角的度数，再根据”同弧所对的圆周角相等“将已知角转化为待求角即可.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】A. 若添加，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD为菱形，故不符合题意；
B.若添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C.若添加平分，则有∠DAC=∠BAC，
∵平行四边形ABCD中，AD//CB，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BCA =∠BAC，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
D. 若添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形ABCD是矩形，故符合题意，
故选D．
【分析】
依据矩形的判定定理，对各个选项逐一判断分析就可以得出结论.
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，直线与直线关于直线对称，
在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴点C的坐标为．
【分析】
通过作辅助线，利用点关于直线的对称性求出反射光线所在的直线解析式，进而求得点C坐标.
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵原计划每小时清除吨垃圾，总重量为100吨．
∴原计划完成任务的时间为小时．
∵实际清除速度比原计划提高了，
∴实际每小时清除吨，实际完成任务的时间为小时．
∵实际提前1小时完成任务，即原计划时间比实际时间多1小时，
∴可得方程．
【分析】
先根据工作总量和工作效率分别求出原计划于实际的工作时间，再依据”原计划时间比实际时间多1小时“的关系列方程即可.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
∵矩形的边，分别在x轴、y轴上，
则，，
点在上，点在上，且都在反比例函数图象上
，，
则，，，故①选项正确，符合题意；
则，
若，则，即，
题目未给出此条件，故②选项不正确，不符合题意；
依题意，，，
，
又∵，
，
∵
∴
∴
，
故③选项正确，符合题意；
，在上，
，，
若，则，
即，
即矩形为正方形，
∴
由③得，
，
综上所述，正确结论有①③④，共3个．
【分析】
利用反比例函数y=中的k的几何意义判断面积关系，设出点C坐标，进而表示出M、N的坐标，利用相似三角形判定平行关系，最后利用m=n推导出矩形的邻边相等，结合平行线的性质判断垂直关系即可.
11．【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两根，
∴，，
．
【分析】
根据根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后代入计算即可.
13．【答案】12
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解： 一组数据，，，，的平均数是，
，
解得．
【分析】
根据平均数的定义列方程求解即可．
14．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
【分析】
根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，进而得到为的中点，再结合N是AB的中点，利用三角形中位线定理求解．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
点在边上，
，
在中，，
．
【分析】
根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解．
16．【答案】
【知识点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，如图所示，
设圆O的半径为r，则，
∵，
∴，
∵，过圆心点O，，
∴，
∵在中，
∴，解得：，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长度为，
∴该图形的周长是．
故答案为：．
【分析】
通过设半径为未知数，利用勾股定理建立方程犰虎圆的半径，进而确定圆心角的大小，最后计算图形的周长即可.
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算出零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，化简二次根式，最后进行加减运算即可．
18．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先算括号里面的，再将除法转化为乘法进行约分，最后将a的值代入即可．
19．【答案】（1），，
（2）解：，
∴等级B所对应的圆心角是；

（3）解：设八年级一班的两位学生用1、2表示，八年级二班的两位学生用3、4表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，选出的2名学生恰好来自同一个班级的结果数有4种，
∴选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率是．

【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴本次调查随机抽取了名学生的成绩，
，
；
【分析】
（1）先根据等级D的人数和它对应的占比，计算出本次调查一共抽取的总人数，再用总人数乘以等级C的占比，算出等级C的人数，最后用总人数减去A、C、D三个等级的人数，就可以得到等级B的人数；
（2）先计算出等级在总样本中所占的百分比，再用这个百分比乘以，就能得到扇形统计图中等级B对应的圆心角度数；
（3）先画出树状图，列出所有等可能发生的结果，再找出满足题目要求的结果数量，最后根据概率公式计算出对应事件的概率即可.
（1）解：，
∴本次调查随机抽取了名学生的成绩，
，
；
（2）解：，
∴等级B所对应的圆心角是；
（3）解：设八年级一班的两位学生用1、2表示，八年级二班的两位学生用3、4表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，选出的2名学生恰好来自同一个班级的结果数有4种，
∴选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率是．
20．【答案】（1）证明： ∵四边形是菱形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
∵
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，是等边三角形，
∴，
在中，
∵，
∴重合，
∴是直角三角形，
∴
又∵
∴
∵是等边三角形，
∴

【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出，，结合，进而可证明，得出，再由已知条件证明，得出，最后根据平行线的性质得出，通过等量代换，即可得证；
（2）通过作辅助线，由已知条件可先证明，是等边三角形，再证明，则，进而根据三线合一，即可求解．
（1）证明： ∵四边形是菱形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
∵
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，是等边三角形，
∴，
在中，
∵，
∴重合，
∴是直角三角形，
∴
又∵
∴
∵是等边三角形，
∴
21．【答案】（1）解：设该品牌一级能效空调每台售价为元，二级能效空调每台售价为元
根据题意列方程组得
解得
答：该品牌一级能效空调每台售价5000元．二级能效空调每台售价4000元
（2）解：设年后使用一级能效空调更划算．
国补后，一级能效空调价格为（元）．
二级能效空调价格为（元）．
一级能效每年比二级节省电费：（元）．
要使一级能效空调更划算，则累计节省的电费需要超过初始购买时多付的差价，故可列不等式
解得．
因为为整数，
所以的最小值为4．
答：最少4年后使用一级能效的空调会更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌一级能效空调和二级能效空调分别为x、y，根据题目中所给的两个等量关系列二元一次方程组．求解即可；
（2）设使用年数，计算每年节省的电费，根据一级能效总花费小于二级能效总花费列一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可．
（1）解：设该品牌一级能效空调每台售价为元，二级能效空调每台售价为元
根据题意列方程组得
解得
答：该品牌一级能效空调每台售价5000元．二级能效空调每台售价4000元；
（2）解：设年后使用一级能效空调更划算．
国补后，一级能效空调价格为（元）．
二级能效空调价格为（元）．
一级能效每年比二级节省电费：（元）．
要使一级能效空调更划算，则累计节省的电费需要超过初始购买时多付的差价，故可列不等式
解得．
因为为整数，
所以的最小值为4．
答：最少4年后使用一级能效的空调会更划算．
22．【答案】解：这辆汽车没有超速，理由如下：
如图，过点A作交延长线于点D，
根据题意得，，，
∴，
∴
∴这辆汽车的速度为
∴这辆汽车没有超速．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用正切函数求出水平距离，进而求出汽车行驶的路程，最后进行单位换算并比较速度即可.
23．【答案】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；

（3）解：过点作于点Q，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．

【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用矩形的直角性质和垂直定义，结合公共角，通过”两角分别相等“证明三角形相似．
（2）根据已知条件和勾股定理可求出BD的长，再根据，得到，求得，，利用，证明，列出比例式求解即可；
（3）过点作于点Q，求得，，，根据，解得；根据，得，最后利用面积公式求解即可．
（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：过点作于点Q，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
24．【答案】（1）解：①∵经过点，与轴交于点，
∴
解得：
∴；
②∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点关于对称的点的坐标为，
又∵点和点在该抛物线上，
∴当时，
又∵对于，都有，
解得：
（2）解：∵经过点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为
联立
消去得，
即
∵对于任意实数，都有
∴
即
∴
∴抛物线解析式为
∵将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），
∴直线与抛物线交于点，（在的右侧），
联立
解得：
∴
∴
设的中点为，则的纵坐标为
∵在这条直线上一定存在点，使得是直角
∴在以为直径的圆上，
当最大时，在点的正上方，轴且
∴的最大值为

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）①将已知点代入抛物线中，即可求解；
②由（1）的结论，得出抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，根据已知条件，得出当时，，结合题意，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）根据已给条件，联立解析式，进而可得判别式小于或等于0，得出，再根据直线的平移得出的坐标，结合直径所对的圆周角是直角，得出点在以为直径的圆上，进而求得最大值．
（1）解：①∵经过点，与轴交于点，
∴
解得：
∴；
②∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点关于对称的点的坐标为，
又∵点和点在该抛物线上，
∴当时，
又∵对于，都有，
解得：
（2）解：∵经过点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为
联立
消去得，
即
∵对于任意实数，都有
∴
即
∴
∴抛物线解析式为
∵将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），
∴直线与抛物线交于点，（在的右侧），
联立
解得：
∴
∴
设的中点为，则的纵坐标为
∵在这条直线上一定存在点，使得是直角
∴在以为直径的圆上，
当最大时，在点的正上方，轴且
∴的最大值为
1 / 1湖南株洲市石峰区2025-2026学年九年级下学期 中考一模数学试题
1．的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是2026．
【分析】
根据相反数的定义：绝对值相等，正负号相反的两个数即可解答.
2．以下几何体的主视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：选项A
球体无论从哪个方向观察，得到的视图均为圆．因此球体的主视图是圆．
选项B
三棱锥从正面观察，得到的视图是三角形．因此三棱锥的主视图是三角形．
选项C
圆锥从正面观察，看到的是由底面直径和母线组成的三角形．因此圆锥的主视图是三角形．
选项D
长方体从正面观察，得到的视图是长方形．因此长方体的主视图是长方形．
综上，主视图为圆的是选项A．
【分析】
根据主视图的定义：从物体的正面看所得到的平面图形即可解答.
3．某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生的身高进行统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．40000名初中毕业生是总体 B．每名初中毕业生是个体
C．2000名学生是样本容量 D．本次调查属于抽样调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵本次调查的对象是初中毕业生的身高，不是初中毕业生本身，
∴总体是40000名初中毕业生的身高，不是40000名初中毕业生，A错误；
个体是每名初中毕业生的身高，不是每名初中毕业生，B错误；
∵样本容量是样本中包含的个体的数目，是一个数字，
∴样本容量是2000，不是2000名学生，C错误；
本次调查是从总体中随机抽取部分学生进行分析，属于抽样调查，D正确．
分析】
根据统计中总体、个体、样本容量及抽样调查的概念，然后逐一分析选项即可．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂；单项式除以单项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：选项A：，A错误．
选项B：，B错误．
选项C：根据负整数指数幂的运算法则，可得，符合运算法则，C正确．
选项D：，D错误．
【分析】
分别根据合并同类项法则，去括号法则，负整数指数幂的性质，单项式除以单项式法则，则逐一验证选项即可得到结果．
5．如图，已知，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：设的对顶角为，则，
∵，
∴，
∵，
∴．
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补得到，再根据对顶角相等即可解答．
6．如图，是的直径，是的弦，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
是的直径，
，
，
，
与都是所对的圆周角，
．
【分析】
利用”直径所对的圆周角是直角“这一性质求出辅助角的度数，再根据”同弧所对的圆周角相等“将已知角转化为待求角即可.
7．如图，在中，对角线和相交于点，添加下列条件不能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】A. 若添加，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD为菱形，故不符合题意；
B.若添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C.若添加平分，则有∠DAC=∠BAC，
∵平行四边形ABCD中，AD//CB，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BCA =∠BAC，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
D. 若添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形ABCD是矩形，故符合题意，
故选D．
【分析】
依据矩形的判定定理，对各个选项逐一判断分析就可以得出结论.
8．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，直线与直线关于直线对称，
在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴点C的坐标为．
【分析】
通过作辅助线，利用点关于直线的对称性求出反射光线所在的直线解析式，进而求得点C坐标.
9．在争创国家卫生文明城市的活动中，某市组织志愿者队伍对某工地重达100吨的建筑垃圾进行清除．开工后，附近居民主动加入劳动中，使清除行动的速度比原计划提高了，提前1小时完成了清除任务．设志愿者队伍原计划每小时清除x吨垃圾，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵原计划每小时清除吨垃圾，总重量为100吨．
∴原计划完成任务的时间为小时．
∵实际清除速度比原计划提高了，
∴实际每小时清除吨，实际完成任务的时间为小时．
∵实际提前1小时完成任务，即原计划时间比实际时间多1小时，
∴可得方程．
【分析】
先根据工作总量和工作效率分别求出原计划于实际的工作时间，再依据”原计划时间比实际时间多1小时“的关系列方程即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，边，分别与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点M，N（M，N不重合）．给出下面的结论：①；②；③；④设，，若，则．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
∵矩形的边，分别在x轴、y轴上，
则，，
点在上，点在上，且都在反比例函数图象上
，，
则，，，故①选项正确，符合题意；
则，
若，则，即，
题目未给出此条件，故②选项不正确，不符合题意；
依题意，，，
，
又∵，
，
∵
∴
∴
，
故③选项正确，符合题意；
，在上，
，，
若，则，
即，
即矩形为正方形，
∴
由③得，
，
综上所述，正确结论有①③④，共3个．
【分析】
利用反比例函数y=中的k的几何意义判断面积关系，设出点C坐标，进而表示出M、N的坐标，利用相似三角形判定平行关系，最后利用m=n推导出矩形的邻边相等，结合平行线的性质判断垂直关系即可.
11．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
12．已知，是关于x的方程的两根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两根，
∴，，
．
【分析】
根据根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后代入计算即可.
13．一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为　 　．
【答案】12
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解： 一组数据，，，，的平均数是，
，
解得．
【分析】
根据平均数的定义列方程求解即可．
14．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
【分析】
根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，进而得到为的中点，再结合N是AB的中点，利用三角形中位线定理求解．
15．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
点在边上，
，
在中，，
．
【分析】
根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解．
16．如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，如图所示，
设圆O的半径为r，则，
∵，
∴，
∵，过圆心点O，，
∴，
∵在中，
∴，解得：，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长度为，
∴该图形的周长是．
故答案为：．
【分析】
通过设半径为未知数，利用勾股定理建立方程犰虎圆的半径，进而确定圆心角的大小，最后计算图形的周长即可.
17．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算出零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，化简二次根式，最后进行加减运算即可．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先算括号里面的，再将除法转化为乘法进行约分，最后将a的值代入即可．
19．“中国航天日”是每年的4月24日，是为了纪念1970年4月24日中国成功发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”，为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校近期组织了全校学生都参与的航天知识竞赛．竞赛结束后，随机抽取部分学生成绩，并根据分数分成5个等级进行整理，绘制了如下统计表和统计图．
等级 成绩/分 人数
A 25
B m
C n
D 15
E 80分以下 10
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了________名学生的成绩，________，________．
（2）扇形统计图中等级B所对应的圆心角是多少度？
（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的竞赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全县的航天知识竞赛，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率．
【答案】（1），，
（2）解：，
∴等级B所对应的圆心角是；

（3）解：设八年级一班的两位学生用1、2表示，八年级二班的两位学生用3、4表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，选出的2名学生恰好来自同一个班级的结果数有4种，
∴选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率是．

【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴本次调查随机抽取了名学生的成绩，
，
；
【分析】
（1）先根据等级D的人数和它对应的占比，计算出本次调查一共抽取的总人数，再用总人数乘以等级C的占比，算出等级C的人数，最后用总人数减去A、C、D三个等级的人数，就可以得到等级B的人数；
（2）先计算出等级在总样本中所占的百分比，再用这个百分比乘以，就能得到扇形统计图中等级B对应的圆心角度数；
（3）先画出树状图，列出所有等可能发生的结果，再找出满足题目要求的结果数量，最后根据概率公式计算出对应事件的概率即可.
（1）解：，
∴本次调查随机抽取了名学生的成绩，
，
；
（2）解：，
∴等级B所对应的圆心角是；
（3）解：设八年级一班的两位学生用1、2表示，八年级二班的两位学生用3、4表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，选出的2名学生恰好来自同一个班级的结果数有4种，
∴选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率是．
20．如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明： ∵四边形是菱形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
∵
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，是等边三角形，
∴，
在中，
∵，
∴重合，
∴是直角三角形，
∴
又∵
∴
∵是等边三角形，
∴

【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出，，结合，进而可证明，得出，再由已知条件证明，得出，最后根据平行线的性质得出，通过等量代换，即可得证；
（2）通过作辅助线，由已知条件可先证明，是等边三角形，再证明，则，进而根据三线合一，即可求解．
（1）证明： ∵四边形是菱形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
∵
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，是等边三角形，
∴，
在中，
∵，
∴重合，
∴是直角三角形，
∴
又∵
∴
∵是等边三角形，
∴
21．为深入贯彻落实党中央、国务院决策部署，大力提振消费，国家颁布了《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》（简称“国补”），对空调在内的多种家电产品给予补贴，对空调的补贴的具体标准为一级能效产品补贴售价的，二级能效产品补贴售价的．据了解，某品牌每台一级能效的空调售价比每台二级能效的空调贵1000元，在领取“国补”后，一台一级能效的空调比一台二级能效的空调只贵600元．
（1）该品牌一级、二级能效的空调每台的售价分别为多少元？
（2）售货员介绍，同等条件下，该品牌的一级能效空调每天比二级能效空调少耗电度．电价大约为元/度，按每年使用空调180天算，算上空调本身的价格（国补后的），请问最少几年后使用一级能效的空调会更划算？（结果取整数）
【答案】（1）解：设该品牌一级能效空调每台售价为元，二级能效空调每台售价为元
根据题意列方程组得
解得
答：该品牌一级能效空调每台售价5000元．二级能效空调每台售价4000元
（2）解：设年后使用一级能效空调更划算．
国补后，一级能效空调价格为（元）．
二级能效空调价格为（元）．
一级能效每年比二级节省电费：（元）．
要使一级能效空调更划算，则累计节省的电费需要超过初始购买时多付的差价，故可列不等式
解得．
因为为整数，
所以的最小值为4．
答：最少4年后使用一级能效的空调会更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌一级能效空调和二级能效空调分别为x、y，根据题目中所给的两个等量关系列二元一次方程组．求解即可；
（2）设使用年数，计算每年节省的电费，根据一级能效总花费小于二级能效总花费列一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可．
（1）解：设该品牌一级能效空调每台售价为元，二级能效空调每台售价为元
根据题意列方程组得
解得
答：该品牌一级能效空调每台售价5000元．二级能效空调每台售价4000元；
（2）解：设年后使用一级能效空调更划算．
国补后，一级能效空调价格为（元）．
二级能效空调价格为（元）．
一级能效每年比二级节省电费：（元）．
要使一级能效空调更划算，则累计节省的电费需要超过初始购买时多付的差价，故可列不等式
解得．
因为为整数，
所以的最小值为4．
答：最少4年后使用一级能效的空调会更划算．
22．交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，）
【答案】解：这辆汽车没有超速，理由如下：
如图，过点A作交延长线于点D，
根据题意得，，，
∴，
∴
∴这辆汽车的速度为
∴这辆汽车没有超速．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用正切函数求出水平距离，进而求出汽车行驶的路程，最后进行单位换算并比较速度即可.
23．如图1，在矩形中，，，点E在上，且，垂足为点P．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图2，将沿翻折，点C的对应点为点，连接，交于点F，求的面积．
【答案】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；

（3）解：过点作于点Q，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．

【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用矩形的直角性质和垂直定义，结合公共角，通过”两角分别相等“证明三角形相似．
（2）根据已知条件和勾股定理可求出BD的长，再根据，得到，求得，，利用，证明，列出比例式求解即可；
（3）过点作于点Q，求得，，，根据，解得；根据，得，最后利用面积公式求解即可．
（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：过点作于点Q，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
24．已知抛物线（，为常数）经过点．
（1）若抛物线与轴交于点．
①求该抛物线的函数表达式；
②已知点和点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
（2）若，且对于任意实数，都有，将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），若有直线，在这条直线上一定存在点，使得是直角，请求出的最大值．
【答案】（1）解：①∵经过点，与轴交于点，
∴
解得：
∴；
②∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点关于对称的点的坐标为，
又∵点和点在该抛物线上，
∴当时，
又∵对于，都有，
解得：
（2）解：∵经过点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为
联立
消去得，
即
∵对于任意实数，都有
∴
即
∴
∴抛物线解析式为
∵将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），
∴直线与抛物线交于点，（在的右侧），
联立
解得：
∴
∴
设的中点为，则的纵坐标为
∵在这条直线上一定存在点，使得是直角
∴在以为直径的圆上，
当最大时，在点的正上方，轴且
∴的最大值为

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）①将已知点代入抛物线中，即可求解；
②由（1）的结论，得出抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，根据已知条件，得出当时，，结合题意，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）根据已给条件，联立解析式，进而可得判别式小于或等于0，得出，再根据直线的平移得出的坐标，结合直径所对的圆周角是直角，得出点在以为直径的圆上，进而求得最大值．
（1）解：①∵经过点，与轴交于点，
∴
解得：
∴；
②∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点关于对称的点的坐标为，
又∵点和点在该抛物线上，
∴当时，
又∵对于，都有，
解得：
（2）解：∵经过点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为
联立
消去得，
即
∵对于任意实数，都有
∴
即
∴
∴抛物线解析式为
∵将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），
∴直线与抛物线交于点，（在的右侧），
联立
解得：
∴
∴
设的中点为，则的纵坐标为
∵在这条直线上一定存在点，使得是直角
∴在以为直径的圆上，
当最大时，在点的正上方，轴且
∴的最大值为
1 / 1

展开更多......

收起↑