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2026年湖南长沙市岳麓区湖南师大附中教育集团九年级 中考一模数学练习
1．湘江是长沙的“母亲河”．以湘江警戒水位为基准（记为米），汛期水位上升米记作米，则枯水期水位下降米，应记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵水位上升米记作米，
∴水位下降米，应记作米．
【分析】
正负数是用来表示具有相反意义的量，已知水位上升用正数表示，水位下降就用负数表示.
2．某模型在进行一次小型数据处理任务时，共处理了条数据记录．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，该鼓（鼓身上的金属忽略不计）从正面看到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该鼓从正面看的形状图是，
故选：A．
【分析】
需从不同方向看几何体，通过观察立体图形即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意．
【分析】
根据合并同类项，单项式除法，积的乘方，平方差公式运算法则，逐一判断各选项的运算是否正确．
5．如图，直线，相交于点，，则（　　）
A．130° B．100° C．60° D．50°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
【分析】
根据邻补角的性质，两角之和为，即可求出．
6．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解为， 方程组的解表示两条直线的交点坐标，
∴ 直线 与 的交点坐标为．
故选：A．
【分析】
根据二元一次方程组的解与两条直线交点坐标的关系，直接得出交点坐标即可.
7．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92， 96， 94， 95， 88， 95. 这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．92， 94 B．95， 95 C．94， 95 D．95， 96
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：先将这组数据95，92，96，94，95，88，95按照从小到大的顺序排列为：88，92，94，95，95，95，96 。组数据一共有7个，即数据个数为奇数，处于中间位置的数是第四个数95，所以这组数据的中位数是95。一组数据中出现次数最多的数据叫做众数
88出现1次；92出现1次；94出现1次；95出现3次；96出现1次
因为95出现的次数最多，所以这组数据的众数是95 。
故答案为：B.
【分析】根据中位数和众数的定义，分别求出这组数据的中位数和众数。
8．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作图过程可知，，，可知判定的依据是，
故选B．
【分析】
通过尺规作图，找出和中相等的边和角，从而确定判定全等的依据即可.
9．如图，四边形是的内接四边形，连接对角线，交于点，且，为的直径，若，，则的长为（　　）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
，，
，．
，
，，
，
．
故选：C．
【分析】
连接半径构造直角三角形，由已知条件可得到OC=6，进而得出OE=3，利用垂径定理可得CD=2CE，最后利用勾股定理求出CD即可.
10．有一组数字不重复的三位数密码，老师给出5组数：875，273，109，965，403，其中每一组数与真正的密码恰好在同一个数位有一个相同的数字，则这个密码是（　　）
A．803 B．205 C．469 D．869
【答案】B
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：对各选项逐一验证：
A选项803：与965对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除；
C选项469：与875对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除；
D选项869：与403对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除；
B选项205：逐一验证所有数组：
∵与875，仅个位数字5相同，符合要求；
与273，仅百位数字2相同，符合要求；
与109，仅十位数字0相同，符合要求；
与965，仅个位数字5相同，符合要求；
与403，仅十位数字0相同，符合要求；
且密码三个数字不重复，满足所有条件．
∴正确答案为B．
【分析】
需先假设密码的个位和十位数字，结合五组书的数位特征确定可能的密码形式，再验证选项是否满足条件即可.
11．若 有意义，则x的取值范围是 　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2.
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义条件，即被开方数（式）大于等于零，得x-2≥0，解之即可确定x的取值范围.
12．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，（矩形的对角线相等且互相平分），
∴．
故答案为：2．
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得 BD=AC=2OA，代入 OA=1 计算得出 BD=2。
13．分式方程的解为　 　 ．
【答案】x=9
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得
3（x-3）=2x
解之：x=9，
经检验x=9是原方程的根
∴原方程的解为x=9.
故答案为：x=9.
【分析】方程两边同时乘以x（x-3），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
14．若扇形的弧长为，半径为4，则该扇形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，.
故答案为：.
【分析】
根据扇形的面积公式，将已知的弧长和半径代入计算即可.
15．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于　 　度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【分析】
首先理解切线与半径之间的夹角为90°，然后利用圆心角和圆周角的关系及三角形内角和为180°的定理计算度数即可.
16．从这四个数中任取一个数作为的值，则关于的一元二次方程 有实数根的概率为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：当时，一元二次方程有实数根，
解得或，
∴符合条件的值有和，
∵从这四个数中任取一个数作为的值，共有种结果，
∴一元二次方程有实数根的概率为．
【分析】
根据一元二次方程根的判别式求出的值，再从给定的四个数中找出符合条件的b值，最后用符号条件的b值个数除以总个数即可求解．
17．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算乘方、开方、再算乘除，最后进行加减运算即可.
18．先化简，再求值： ，其中满足．
【答案】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行约分，再根据已知条件求出化简后的式子值即可.
19．我国生产的无人机畅销世界，在航拍、测绘等领域广受好评．摄影爱好者小王使用无人机进行城市航拍时，发现一栋特色建筑物．如图所示，从无人机所在位置A 观测建筑物顶部B 的仰角为 ，观测底部C的俯角为，且无人机A 到该建筑物的水平距离为10米，请你帮小王计算该建筑物的高度．（结果保留根号）
【答案】由题意可知，，，，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴，
∴（米），
∴米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
通过已知的仰角和俯角及水平距离，分别在两个直角三角形中求出相应边的长度，进而得到建筑物的高度即可.
20．为传承湖湘文化，弘扬非遗魅力，长沙某学校举办“指尖非遗·青春传韵”校园文化竞赛，设置湘绣创意、长沙童谣传唱、岳麓山传说讲述、长沙糖画制作四大特色项目，评选出一、二、三等奖和优秀奖．赛后统计获奖情况，部分数据绘制成如图所示的统计表和扇形统计图．
等级 频数 频率
一等奖
二等奖
三等奖
优秀奖
请你根据以图表提供的信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的 ， ；
（2）扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数 ；
（3）为扩大非遗文化宣传，学校计划从获得一等奖的选手中，随机抽取人担任校园“非遗文化推广员”，其中王梦（湘绣创意项目）、李雪（长沙糖画制作项目）都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中王梦、李雪二人的概率．
【答案】（1）；
（2）
（3）获得一等奖的有人，其余三人用、、表示，列表得：
王梦 李雪
、 、 、王梦 、李雪
、 、 、王梦 、李雪
、 、 、王梦 、李雪
王梦 王梦、 王梦、 王梦、 王梦、李雪
李雪 李雪、 李雪、 李雪、 李雪、王梦
∵共有种等可能的情况，恰好是王梦、李雪的有种情况，
∴恰好选中王梦和李雪两位同学的概率．

【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
观察统计表知，二等奖的有人，频率为，故参赛的总人数为人，
故（人），
．
（2）
由（1）可得三等奖的频率为，
故．
【分析】
（1）根据频数和频率的关系，先计算出本次参赛的总人数，再用总人数乘一等奖对应的频率，即可得到的值；再用三等奖的人数除以参赛总人数，就可以计算出的值；
（2）用三等奖对应的频率乘，就能计算出三等奖对应扇形圆心角的度数；
（3）通过列表法即可列举出所有等可能的结果，进而计算出恰好抽到指定两人的概率.
（1）观察统计表知，二等奖的有人，频率为，故参赛的总人数为人，
故（人），
．
（2）由（1）可得三等奖的频率为，
故．
（3）获得一等奖的有人，其余三人用、、表示，列表得：
王梦 李雪
、 、 、王梦 、李雪
、
、 、王梦 、李雪
、 、
、王梦 、李雪
王梦 王梦、 王梦、 王梦、
王梦、李雪
李雪 李雪、 李雪、 李雪、 李雪、王梦
∵共有种等可能的情况，恰好是王梦、李雪的有种情况，
∴恰好选中王梦和李雪两位同学的概率．
21．如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知AB=AC，根据等腰三角形两底角相等可得；又因为，给等式两边同时减去，即可得到。结合已知AB=AC、AD=AE，可通过边角边判定定理证明，即可得到对应边BD=CE，完成结论证明；
（2）已知，结合第一问，可得。由AB=AC，结合三角形内角和，可算出=70°，再根据全等三角形对应角相等，得到。又因为AD=AE，可得=，即可算出的度数，最后通过-得到的度数.
（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．
22．2026年是红军长征胜利90周年，某校初三年级开展红色研学，筹备甲、乙两种研学包，其中甲包含1张长征路线图和3枚纪念章，乙包含2张长征路线图和2枚纪念章．
（1）若学校有100张长征路线图，200枚纪念章，恰好能搭配甲、乙两种研学包各多少个？
（2）若计划共搭配90个研学包，且乙包数量不低于甲包的一半，至少需要准备多少张长征路线图？
【答案】（1）解：设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，
根据题意，得，
解得，
答：恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个；
（2）解：设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，
由题意得，
解得，
设需要准备的长征路线图总数为w张，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m取最大值60时，w有最小值，最小值为．
答：至少需要准备120张长征路线图．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，根据题目中的等量关系，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，根据“乙包数量不低于甲包的一半”，可得不等式求得m的范围，再根据路线图数量表达式求最小值即可.
（1）解：设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，
根据题意，得，
解得，
答：恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个；
（2）解：设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，
由题意得，
解得，
设需要准备的长征路线图总数为w张，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m取最大值60时，w有最小值，最小值为．
答：至少需要准备120张长征路线图．
23．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定得证结论；
（2）在中，解直角三角形求得，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后在中，运用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
24．中央广播电视总台马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）．
例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段（如，，等）的中点均在对角线所在的直线上．因此，正方形是“骐骥图形”，直线是它的一条“驰骋轴”．
（1）请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”）：
①梯形；（　　）
②六边形；（　　）
③双曲线（　　）
（2）由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，（点在点的左侧），其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”l上一动点．
①若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标；
②在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②；③
（2）①对于抛物线，，
当时，，
解得，，；
即抛物线与x轴的交点为，．
抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的函数图象是轴对称图形，
故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
∴“驰骋轴”与轴交于点．
设点的坐标为，由（1）①可得，的“驰骋轴”为的中线，
故分别取、、的中点、、，连接、、，如图：
则是的中位线，，
故点在轴上，点的横坐标是．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
②过点作交于点，如图：
设点的坐标为，
当时，、、三点共线，故该情况不存在；
当时，在中，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴．
在中，，
即当取最小值时，的值最大；
∵，且，
当时，，
即时，的值最小，最小值为，
此时的值最大，的最大值为．
所以的最大值为，点的坐标为或．

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理；求正切值；相似三角形的判定-AA；三角形的中线
【解析】【解答】
（1）
①在梯形中，延长、交于点，取的中点，连接；作平行于边的线段，分别交边于点、，交边于点、，与、分别交于点、，如图：
即，，，是的中线．
∵，，
∴，，，，
∴，，，，
故，，
∴点是的中点，点是的中点，
故点、在的中线上，
同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边，上，且平行于的所有截线段（如，等）的中点，均在的中线所在的直线上．即的中线为这个图形的“驰骋轴”．
故梯形是“骐骥图形”．
②在六边形中，取的中点；作平行于边的线段，分别交边于点，交边于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图：
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
但、、三点不共线，
故六边形不是“骐骥图形”．
③∵双曲线的函数图象是轴对称图形，
故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
故双曲线的函数图象是“骐骥图形”．
【分析】
（1）① 结合相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，再对照题目给出的“骐骥图形”定义进行推导分析，即可得到该命题的结论；
② 结合“骐骥图形”的定义，再分析六边形的图形特征，就能判断该命题的正误，得到对应结论；
③ 结合“骐骥图形”的定义，再利用双曲线图象本身的中心对称性分析，即可得出该命题的结论；
（2）
① 结合抛物线的图形性质和“骐骥图形”的定义，可以推得抛物线的对称轴就是对应图形的“驰骋轴”；再结合(1)得到的结论，可以推得的“驰骋轴”就是的中线，对的三条中线分别进行分类讨论，就可以计算得到点M对应的坐标。
②过点作，交AM于点，构造直角三角形。先借助勾股定理与三角形面积公式求出垂线段的长度，再利用相似三角形的判定定理与性质求出线段的长度，结合正切的定义可以推导出。之后根据二次根式的化简性质与完全平方公式，可以得到当时，取得最小值，由此即可求出的最大值．
（1）①在梯形中，延长、交于点，取的中点，连接；作平行于边的线段，分别交边于点、，交边于点、，与、分别交于点、，如图：
即，，，是的中线．
∵，，
∴，，，，
∴，，，，
故，，
∴点是的中点，点是的中点，
故点、在的中线上，
同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边，上，且平行于的所有截线段（如，等）的中点，均在的中线所在的直线上．即的中线为这个图形的“驰骋轴”．
故梯形是“骐骥图形”．
②在六边形中，取的中点；作平行于边的线段，分别交边于点，交边于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图：
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
但、、三点不共线，
故六边形不是“骐骥图形”．
③∵双曲线的函数图象是轴对称图形，
故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
故双曲线的函数图象是“骐骥图形”．
（2）①对于抛物线，，
当时，，
解得，，；
即抛物线与x轴的交点为，．
抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的函数图象是轴对称图形，
故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
∴“驰骋轴”与轴交于点．
设点的坐标为，由（1）①可得，的“驰骋轴”为的中线，
故分别取、、的中点、、，连接、、，如图：
则是的中位线，，
故点在轴上，点的横坐标是．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
②过点作交于点，如图：
设点的坐标为，
当时，、、三点共线，故该情况不存在；
当时，在中，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴．
在中，，
即当取最小值时，的值最大；
∵，且，
当时，，
即时，的值最小，最小值为，
此时的值最大，的最大值为．
所以的最大值为，点的坐标为或．
25．如图1，在中，，，点 D 为边 上一点，且，经过D，B，C三点的圆交边AC 于点E，连接，交于点F，连接．
（1）当 时，求证：是等腰直角三角形；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当时，求的长．
【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形；
（2）过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，
∵，，
∴圆心在直线上，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上，
∴圆心是的垂直平分线和直线的交点，
∴点O即为这个圆的圆心，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）过点C作于G，过点E作交于点，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
（1）
解：证明：∵，
∴，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形；
（2）
过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，
∵，，
∴圆心在直线上，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上，
∴圆心是的垂直平分线和直线的交点，
∴点O即为这个圆的圆心，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
过点C作于G，过点E作交于点，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【分析】
（1）由推导出是直径，进而得到，证明即可得证；
（2）利用BE=BC确定圆心位置，通过构造等腰直角三角形和勾股定理求出线段长度，最后利用余弦定义求解即可；
（3）过点C作于G，过点E作于G，则结合得到，从而证明，求出，得到，则，，继而得解．
（1）解：证明：∵，
∴，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形；
（2）过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，
∵，，
∴圆心在直线上，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上，
∴圆心是的垂直平分线和直线的交点，
∴点O即为这个圆的圆心，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点C作于G，过点E作交于点，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
1 / 12026年湖南长沙市岳麓区湖南师大附中教育集团九年级 中考一模数学练习
1．湘江是长沙的“母亲河”．以湘江警戒水位为基准（记为米），汛期水位上升米记作米，则枯水期水位下降米，应记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．某模型在进行一次小型数据处理任务时，共处理了条数据记录．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，该鼓（鼓身上的金属忽略不计）从正面看到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，直线，相交于点，，则（　　）
A．130° B．100° C．60° D．50°
6．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92， 96， 94， 95， 88， 95. 这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．92， 94 B．95， 95 C．94， 95 D．95， 96
8．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是的内接四边形，连接对角线，交于点，且，为的直径，若，，则的长为（　　）
A． B．9 C． D．
10．有一组数字不重复的三位数密码，老师给出5组数：875，273，109，965，403，其中每一组数与真正的密码恰好在同一个数位有一个相同的数字，则这个密码是（　　）
A．803 B．205 C．469 D．869
11．若 有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为　 　．
13．分式方程的解为　 　 ．
14．若扇形的弧长为，半径为4，则该扇形的面积为　 　．
15．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于　 　度时，AC才能成为⊙O的切线．
16．从这四个数中任取一个数作为的值，则关于的一元二次方程 有实数根的概率为　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值： ，其中满足．
19．我国生产的无人机畅销世界，在航拍、测绘等领域广受好评．摄影爱好者小王使用无人机进行城市航拍时，发现一栋特色建筑物．如图所示，从无人机所在位置A 观测建筑物顶部B 的仰角为 ，观测底部C的俯角为，且无人机A 到该建筑物的水平距离为10米，请你帮小王计算该建筑物的高度．（结果保留根号）
20．为传承湖湘文化，弘扬非遗魅力，长沙某学校举办“指尖非遗·青春传韵”校园文化竞赛，设置湘绣创意、长沙童谣传唱、岳麓山传说讲述、长沙糖画制作四大特色项目，评选出一、二、三等奖和优秀奖．赛后统计获奖情况，部分数据绘制成如图所示的统计表和扇形统计图．
等级 频数 频率
一等奖
二等奖
三等奖
优秀奖
请你根据以图表提供的信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的 ， ；
（2）扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数 ；
（3）为扩大非遗文化宣传，学校计划从获得一等奖的选手中，随机抽取人担任校园“非遗文化推广员”，其中王梦（湘绣创意项目）、李雪（长沙糖画制作项目）都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中王梦、李雪二人的概率．
21．如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．2026年是红军长征胜利90周年，某校初三年级开展红色研学，筹备甲、乙两种研学包，其中甲包含1张长征路线图和3枚纪念章，乙包含2张长征路线图和2枚纪念章．
（1）若学校有100张长征路线图，200枚纪念章，恰好能搭配甲、乙两种研学包各多少个？
（2）若计划共搭配90个研学包，且乙包数量不低于甲包的一半，至少需要准备多少张长征路线图？
23．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
24．中央广播电视总台马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）．
例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段（如，，等）的中点均在对角线所在的直线上．因此，正方形是“骐骥图形”，直线是它的一条“驰骋轴”．
（1）请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”）：
①梯形；（　　）
②六边形；（　　）
③双曲线（　　）
（2）由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，（点在点的左侧），其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”l上一动点．
①若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标；
②在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，在中，，，点 D 为边 上一点，且，经过D，B，C三点的圆交边AC 于点E，连接，交于点F，连接．
（1）当 时，求证：是等腰直角三角形；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵水位上升米记作米，
∴水位下降米，应记作米．
【分析】
正负数是用来表示具有相反意义的量，已知水位上升用正数表示，水位下降就用负数表示.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该鼓从正面看的形状图是，
故选：A．
【分析】
需从不同方向看几何体，通过观察立体图形即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意．
【分析】
根据合并同类项，单项式除法，积的乘方，平方差公式运算法则，逐一判断各选项的运算是否正确．
5．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
【分析】
根据邻补角的性质，两角之和为，即可求出．
6．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解为， 方程组的解表示两条直线的交点坐标，
∴ 直线 与 的交点坐标为．
故选：A．
【分析】
根据二元一次方程组的解与两条直线交点坐标的关系，直接得出交点坐标即可.
7．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：先将这组数据95，92，96，94，95，88，95按照从小到大的顺序排列为：88，92，94，95，95，95，96 。组数据一共有7个，即数据个数为奇数，处于中间位置的数是第四个数95，所以这组数据的中位数是95。一组数据中出现次数最多的数据叫做众数
88出现1次；92出现1次；94出现1次；95出现3次；96出现1次
因为95出现的次数最多，所以这组数据的众数是95 。
故答案为：B.
【分析】根据中位数和众数的定义，分别求出这组数据的中位数和众数。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作图过程可知，，，可知判定的依据是，
故选B．
【分析】
通过尺规作图，找出和中相等的边和角，从而确定判定全等的依据即可.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
，，
，．
，
，，
，
．
故选：C．
【分析】
连接半径构造直角三角形，由已知条件可得到OC=6，进而得出OE=3，利用垂径定理可得CD=2CE，最后利用勾股定理求出CD即可.
10．【答案】B
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：对各选项逐一验证：
A选项803：与965对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除；
C选项469：与875对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除；
D选项869：与403对比，三个数位均无相同数字，不满足条件，排除；
B选项205：逐一验证所有数组：
∵与875，仅个位数字5相同，符合要求；
与273，仅百位数字2相同，符合要求；
与109，仅十位数字0相同，符合要求；
与965，仅个位数字5相同，符合要求；
与403，仅十位数字0相同，符合要求；
且密码三个数字不重复，满足所有条件．
∴正确答案为B．
【分析】
需先假设密码的个位和十位数字，结合五组书的数位特征确定可能的密码形式，再验证选项是否满足条件即可.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2.
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义条件，即被开方数（式）大于等于零，得x-2≥0，解之即可确定x的取值范围.
12．【答案】2
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，（矩形的对角线相等且互相平分），
∴．
故答案为：2．
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得 BD=AC=2OA，代入 OA=1 计算得出 BD=2。
13．【答案】x=9
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得
3（x-3）=2x
解之：x=9，
经检验x=9是原方程的根
∴原方程的解为x=9.
故答案为：x=9.
【分析】方程两边同时乘以x（x-3），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，.
故答案为：.
【分析】
根据扇形的面积公式，将已知的弧长和半径代入计算即可.
15．【答案】60
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【分析】
首先理解切线与半径之间的夹角为90°，然后利用圆心角和圆周角的关系及三角形内角和为180°的定理计算度数即可.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：当时，一元二次方程有实数根，
解得或，
∴符合条件的值有和，
∵从这四个数中任取一个数作为的值，共有种结果，
∴一元二次方程有实数根的概率为．
【分析】
根据一元二次方程根的判别式求出的值，再从给定的四个数中找出符合条件的b值，最后用符号条件的b值个数除以总个数即可求解．
17．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算乘方、开方、再算乘除，最后进行加减运算即可.
18．【答案】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行约分，再根据已知条件求出化简后的式子值即可.
19．【答案】由题意可知，，，，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴，
∴（米），
∴米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
通过已知的仰角和俯角及水平距离，分别在两个直角三角形中求出相应边的长度，进而得到建筑物的高度即可.
20．【答案】（1）；
（2）
（3）获得一等奖的有人，其余三人用、、表示，列表得：
王梦 李雪
、 、 、王梦 、李雪
、 、 、王梦 、李雪
、 、 、王梦 、李雪
王梦 王梦、 王梦、 王梦、 王梦、李雪
李雪 李雪、 李雪、 李雪、 李雪、王梦
∵共有种等可能的情况，恰好是王梦、李雪的有种情况，
∴恰好选中王梦和李雪两位同学的概率．

【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
观察统计表知，二等奖的有人，频率为，故参赛的总人数为人，
故（人），
．
（2）
由（1）可得三等奖的频率为，
故．
【分析】
（1）根据频数和频率的关系，先计算出本次参赛的总人数，再用总人数乘一等奖对应的频率，即可得到的值；再用三等奖的人数除以参赛总人数，就可以计算出的值；
（2）用三等奖对应的频率乘，就能计算出三等奖对应扇形圆心角的度数；
（3）通过列表法即可列举出所有等可能的结果，进而计算出恰好抽到指定两人的概率.
（1）观察统计表知，二等奖的有人，频率为，故参赛的总人数为人，
故（人），
．
（2）由（1）可得三等奖的频率为，
故．
（3）获得一等奖的有人，其余三人用、、表示，列表得：
王梦 李雪
、 、 、王梦 、李雪
、
、 、王梦 、李雪
、 、
、王梦 、李雪
王梦 王梦、 王梦、 王梦、
王梦、李雪
李雪 李雪、 李雪、 李雪、 李雪、王梦
∵共有种等可能的情况，恰好是王梦、李雪的有种情况，
∴恰好选中王梦和李雪两位同学的概率．
21．【答案】（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知AB=AC，根据等腰三角形两底角相等可得；又因为，给等式两边同时减去，即可得到。结合已知AB=AC、AD=AE，可通过边角边判定定理证明，即可得到对应边BD=CE，完成结论证明；
（2）已知，结合第一问，可得。由AB=AC，结合三角形内角和，可算出=70°，再根据全等三角形对应角相等，得到。又因为AD=AE，可得=，即可算出的度数，最后通过-得到的度数.
（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．
22．【答案】（1）解：设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，
根据题意，得，
解得，
答：恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个；
（2）解：设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，
由题意得，
解得，
设需要准备的长征路线图总数为w张，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m取最大值60时，w有最小值，最小值为．
答：至少需要准备120张长征路线图．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，根据题目中的等量关系，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，根据“乙包数量不低于甲包的一半”，可得不等式求得m的范围，再根据路线图数量表达式求最小值即可.
（1）解：设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，
根据题意，得，
解得，
答：恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个；
（2）解：设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，
由题意得，
解得，
设需要准备的长征路线图总数为w张，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m取最大值60时，w有最小值，最小值为．
答：至少需要准备120张长征路线图．
23．【答案】（1）证明：∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定得证结论；
（2）在中，解直角三角形求得，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后在中，运用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
24．【答案】（1）①；②；③
（2）①对于抛物线，，
当时，，
解得，，；
即抛物线与x轴的交点为，．
抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的函数图象是轴对称图形，
故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
∴“驰骋轴”与轴交于点．
设点的坐标为，由（1）①可得，的“驰骋轴”为的中线，
故分别取、、的中点、、，连接、、，如图：
则是的中位线，，
故点在轴上，点的横坐标是．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
②过点作交于点，如图：
设点的坐标为，
当时，、、三点共线，故该情况不存在；
当时，在中，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴．
在中，，
即当取最小值时，的值最大；
∵，且，
当时，，
即时，的值最小，最小值为，
此时的值最大，的最大值为．
所以的最大值为，点的坐标为或．

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理；求正切值；相似三角形的判定-AA；三角形的中线
【解析】【解答】
（1）
①在梯形中，延长、交于点，取的中点，连接；作平行于边的线段，分别交边于点、，交边于点、，与、分别交于点、，如图：
即，，，是的中线．
∵，，
∴，，，，
∴，，，，
故，，
∴点是的中点，点是的中点，
故点、在的中线上，
同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边，上，且平行于的所有截线段（如，等）的中点，均在的中线所在的直线上．即的中线为这个图形的“驰骋轴”．
故梯形是“骐骥图形”．
②在六边形中，取的中点；作平行于边的线段，分别交边于点，交边于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图：
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
但、、三点不共线，
故六边形不是“骐骥图形”．
③∵双曲线的函数图象是轴对称图形，
故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
故双曲线的函数图象是“骐骥图形”．
【分析】
（1）① 结合相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，再对照题目给出的“骐骥图形”定义进行推导分析，即可得到该命题的结论；
② 结合“骐骥图形”的定义，再分析六边形的图形特征，就能判断该命题的正误，得到对应结论；
③ 结合“骐骥图形”的定义，再利用双曲线图象本身的中心对称性分析，即可得出该命题的结论；
（2）
① 结合抛物线的图形性质和“骐骥图形”的定义，可以推得抛物线的对称轴就是对应图形的“驰骋轴”；再结合(1)得到的结论，可以推得的“驰骋轴”就是的中线，对的三条中线分别进行分类讨论，就可以计算得到点M对应的坐标。
②过点作，交AM于点，构造直角三角形。先借助勾股定理与三角形面积公式求出垂线段的长度，再利用相似三角形的判定定理与性质求出线段的长度，结合正切的定义可以推导出。之后根据二次根式的化简性质与完全平方公式，可以得到当时，取得最小值，由此即可求出的最大值．
（1）①在梯形中，延长、交于点，取的中点，连接；作平行于边的线段，分别交边于点、，交边于点、，与、分别交于点、，如图：
即，，，是的中线．
∵，，
∴，，，，
∴，，，，
故，，
∴点是的中点，点是的中点，
故点、在的中线上，
同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边，上，且平行于的所有截线段（如，等）的中点，均在的中线所在的直线上．即的中线为这个图形的“驰骋轴”．
故梯形是“骐骥图形”．
②在六边形中，取的中点；作平行于边的线段，分别交边于点，交边于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图：
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
但、、三点不共线，
故六边形不是“骐骥图形”．
③∵双曲线的函数图象是轴对称图形，
故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
故双曲线的函数图象是“骐骥图形”．
（2）①对于抛物线，，
当时，，
解得，，；
即抛物线与x轴的交点为，．
抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的函数图象是轴对称图形，
故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
∴“驰骋轴”与轴交于点．
设点的坐标为，由（1）①可得，的“驰骋轴”为的中线，
故分别取、、的中点、、，连接、、，如图：
则是的中位线，，
故点在轴上，点的横坐标是．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
②过点作交于点，如图：
设点的坐标为，
当时，、、三点共线，故该情况不存在；
当时，在中，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴．
在中，，
即当取最小值时，的值最大；
∵，且，
当时，，
即时，的值最小，最小值为，
此时的值最大，的最大值为．
所以的最大值为，点的坐标为或．
25．【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形；
（2）过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，
∵，，
∴圆心在直线上，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上，
∴圆心是的垂直平分线和直线的交点，
∴点O即为这个圆的圆心，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）过点C作于G，过点E作交于点，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
（1）
解：证明：∵，
∴，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形；
（2）
过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，
∵，，
∴圆心在直线上，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上，
∴圆心是的垂直平分线和直线的交点，
∴点O即为这个圆的圆心，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
过点C作于G，过点E作交于点，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【分析】
（1）由推导出是直径，进而得到，证明即可得证；
（2）利用BE=BC确定圆心位置，通过构造等腰直角三角形和勾股定理求出线段长度，最后利用余弦定义求解即可；
（3）过点C作于G，过点E作于G，则结合得到，从而证明，求出，得到，则，，继而得解．
（1）解：证明：∵，
∴，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形；
（2）过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，
∵，，
∴圆心在直线上，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上，
∴圆心是的垂直平分线和直线的交点，
∴点O即为这个圆的圆心，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点C作于G，过点E作交于点，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
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