资源简介

四川省泸州市合江县2026年春期第一次诊断性监测 九年级数学
1．，4，0，四个数中，是无理数的是（　　）
A． B．4 C．0 D．
2．据国家统计局发布数据显示，年我国国内生产总值约为亿元，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．实数的值在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．某校举行“书香校园”读书活动，随机调查了10名学生一周的课外阅读时间（单位：小时），分别为：3，4，5，5，6，4，5，7，4，6，则这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．，5 B．，4 C．5，5 D．5，4
7．在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．1cm
8．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
10．如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于(　　)
A．55° B．70° C．110° D．125°
12．如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．4的算术平方根是　 　．
14．如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　．
15．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为　 　．
16．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，若，则的值为　 　．
17．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为　 　．
18．计算：．
19．先化简，再求值：，其中a满足的整数．
20．某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率．
21．为了更好治理和净化运河，保护环境，运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．
　 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求a，b的值；
（2）由于受资金限制，运河综合治理指挥部决定购买污水处理设备的资金不超过110万元，问每月最多能处理污水多少吨？
22．如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732)
23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求的面积．
24．如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，都是整数，属于有理数．
是无限不循环小数，属于无理数．
【分析】
依据初中阶段对无理数的定义——无限不循环小数才是无理数，而有理数是所有整数与分数的统称，对给出的每个数分别判断就可以得到答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将表示为科学记数法时，满足，要使，则小数点向左移动了位，
∴，
即用科学记数法表示为．
故选：B.
【分析】
科学记数法的标准表示形式为，其中需要满足，是整数，确定出和的数值就能完成解题。当原数的绝对值大于等于10时，是正整数，并且的绝对值和原数小数点移动的位数相等.
3．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B.
【分析】
根据中心对称图形的定义：将一个图形绕某一点旋转，若旋转后的图形可以和原图形完全重合，该图形就是中心对称图形.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：与不是同类项，不能合并，故A选项错误．
，故B选项正确．
，故C选项错误．
，故D选项错误．
故选：B．
【分析】
依据合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则，逐一判断每个选项的计算是否正确.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴实数的值在2和3之间．
【分析】
先确定的大致取值范围，再据此推导出的范围.
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵这组数据的总和为，数据总个数为，
∴平均数为
将这组数据从小到大排序得：，
∵数据总个数为，为偶数，中位数为排序后第个和第个数据的平均数，其中第个数据为，第个数据为，
∴中位数为
因此这组数据的平均数为，中位数为．
故选：A.
【分析】
先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再将数据按大小顺序排列后，根据中位数的定义求出中位数即可.
7．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【解答】如图所示，
CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB=8cm，CD=4cm．
∵CD⊥AB，
∴CP=
CD=2．
根据勾股定理，得
OP==2（cm)．
故选A．
【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．解题关键是正确理解圆中过一点的最长的弦和最短的弦．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：联立得，即，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
【分析】
将直线和抛物线的解析式联立，即可得到一个关于x的一元二次方程。因为直线与抛物线只有一个交点，说明这个一元二次方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式计算，即可求出k的值.
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可得，，
，
又，
，
，
，
由折叠可得，，
，
是等边三角形，
的周长为，
故选C．
【分析】
结合平行四边形的性质和图形折叠的性质，可以得到，接下来再证明是等边三角形，最后通过计算即可得到最终结果.
10．【答案】B
【知识点】求余弦值；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】
先利用勾股定理求出三角形三边、、的长度，再根据勾股定理的逆定理证明，最后将对应边长代入余弦的定义式即可计算出结果.
11．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360° 90° 90° 110°＝70°．
故选B．
【分析】
依据圆周角定理，作出该圆周角所对弧对应的圆心角：连接OA与OB，计算得到∠AOB＝110°，再结合切线的性质与四边形内角和定理，即可求出对应结果.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.抛物线开口向上，，抛物线交轴的负半轴，故，则，故 A 选项不正确，不符合题意；
B. 抛物线对称轴是直线，则，则，故，则 B 选项不正确，不符合题意；
C. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，则另一个交点坐标为，则当时，，故 C 选项正确，符合题意；
D.当时，则，由于，代入后得，故 D 错误，不符合题意.
【分析】
先通过抛物线的开口方向判断系数的符号，再根据抛物线与轴交点的位置判断和的大小关系；已知对称轴为，据此推导和的关系，再根据抛物线与轴的交点个数判断根的判别式的符号，最后逐一验证各个结论是否正确即可.
13．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】利用全等三角形的对应边相等可得，由CF=EF-CE即可求解．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
首先利用勾股定理计算可得，再结合已知条件平行于，可推导出比例关系，据此就可以计算出的长度.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为，，
∴，，
∴，
∴．
当时，判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，满足题意．
【分析】
对于一元二次方程，根据韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积的表达式，，之后将这两个结果整体代入已知等式，求解出参数后，再验证结果是否满足方程有实根的要求即可．
17．【答案】．
【知识点】反比例函数的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过作轴，过作轴于，
则，
∵顶点，分别在反比例函数与的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【分析】
过点作轴，垂足为C，再过点作轴，垂足为，由此可以得到。结合反比例函数的几何性质，我们可以得到，。进一步可证得 △BOD ∽ △OAC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，计算后得到，最后结合三角函数的定义即可推导出最终结论.
18．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别完成乘方运算、零指数幂运算、绝对值化简以及特殊角三角函数值的计算，最终按照实数混合运算的规则计算出最终结果即可.
19．【答案】解：原式
，
∵分式有意义，
∴，，，
∴，，，
∵满足的整数，
∴的值可以为0或2，
∴当时，原式，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对括号内的分式进行通分化简，再把原式中的除法运算改写为乘法运算，然后对可以因式分解的多项式进行因式分解，最后通过约分将原式化为最简分式；之后结合a是满足的整数，同时要保证原分式有意义的条件，确定出可取值的a，再代入化简后的式子计算即可得到结果.
20．【答案】（1）24；150°
（2）∵C班的作品数量为10套，
故补全条形统计图如下：
（3）依题意可得到树状图：
∴P（抽取的作品在两个不同班级）=．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，
∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，
故C班的扇形的圆心角的度数为150°
故答案为24；150°；
【分析】
（1）已知B班的作品数量和它占总征集作品数的比例，据此可以计算出第一批抽取的4个班一共征集的作品总件数；再算出C班的作品数量，进而得到C班作品数占总数的比例，最后就能求出C班对应扇形的圆心角度数；
（2）根据算出的C班作品数量，就可以将统计图补充完整；
（3）根据题意画出树状图，再结合概率公式就可以计算出对应概率.
21．【答案】解：（1）根据题意，得，
解得；
（2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，能处理污水y吨，
∵12x+10（10﹣x）≤110，
∴0≤x≤5且x为整数，
∵y＝220x+180（10﹣x）＝40x+1800，
∴y随x的增大而增大，
当x＝5时，y＝40×5+1800＝2000（吨），
所以最多能处理污水2000吨．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)该题存在两个明确的等量关系：第一是A型设备的单价比B型设备的单价多2万元，即A型设备价格减去B型设备价格等于2万元；第二是3台B型设备的总价格比2台A型设备的总价格多6万元，即3台B型设备价格减去2台A型设备价格等于6万元，根据这两个等量关系即可列出方程组求解该问题。
(2) 设购买A型设备的数量为x台，则购买B型设备的数量为(10-x)台，再设该购设备方案每小时能处理污水y吨，先根据题意列出关于总预算的不等式，求出x的可行取值范围，再写出每小时处理污水量y和购买A型设备数量x的函数关系式，最后结合一次函数的性质即可得到最优方案.
22．【答案】解：由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km，
在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝，tanB＝＝1，
∴AM＝，BM＝h，
∵AM+BM＝AB＝10，
∴，
解得：h＝15﹣5≈6；
答：h约为6km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用三角函数分别在两个直角三角形中表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列出方程求解.
23．【答案】（1）解：将点代入得，
解得：，
∴，
把代入得，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式的解析式为；

（2）或
（3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，
把代入得，
∴，则，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】
（2）
解：∵，，
∴由图可知，当或时，，
∴当或时，；
【分析】
（1）先求解得到点A、点B的坐标，再把A、B两点的坐标代入一次函数解析式，计算得到k和b的具体数值，就能得到一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应自变量x的取值范围即可；（3）设直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，先求出直线AB和x轴、y轴的交点坐标，再利用面积关系计算，即可得到结果.
（1）解：将点代入得，
解得：，
∴，
把代入得，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式的解析式为；
（2）解：∵，，
∴由图可知，当或时，，
∴当或时，；
（3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，
把代入得，
∴，则，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴
．
24．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，由等边对等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设半径为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴的长为6．
【知识点】垂径定理的实际应用；切线的判定；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）已知AB=BC，OB是圆O的半径，根据垂径定理的推论可以得到OBAC，由此可推出 则， 替换后可得，，结合已知条件，进一步得到 则 ，由此可证明AP是圆O的切线。
2）如图2，设OB与AC的交点为M，连接OD，过圆心O作ONDB，交DB于点N。首先证明是等边三角形，可得AB=OB=OA，=60°，设圆的半径为r，那么BM=r，因OB=OD且ON DB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BN=3。接着可证明 ，根据相似三角形的性质，对应边成比例可得，代入线段长度整理求解得或（舍去） ，最后根据 ，代入数值计算即可得到最终结果.
25．【答案】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，
∴点的坐标为，
把点A的坐标代入得，，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为，即；
在中，当时，，解得，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
在中，当时，，
解得，，
∴，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；

（2）解：过点作轴交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

（3）点P的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；线段上的两点间的距离；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：由（1）得，
∴；
当时，则点P的横坐标为或，
∴此时点P的坐标为或；
当时，则点D在的垂直平分线上，
∴的中点的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，设，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【分析】
（1）先写出平移后的抛物线解析式，据此求出点A的坐标，再将点A坐标代入平移后的抛物线解析式，即可求出的值；接着结合的面积为5，先求出点的纵坐标，进一步即可得到点D的坐标，最后根据A、D两点的坐标，用待定系数法就能求出直线AD的解析式；
（2）过点E作轴，交直线于点，根据面积的和差关系可得，以此可以构建出关于点E横坐标的二次函数，最后利用二次函数的性质即可求出三角形ACE面积的最大值；
（3）先根据两点间距离公式计算出；接下来分三种情况分类讨论：分别是当时、当时、当时，分别计算求解即可得到点P的坐标．
（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，
∴点的坐标为，
把点A的坐标代入得，，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为，即；
在中，当时，，解得，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
在中，当时，，
解得，，
∴，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
（3）解：由（1）得，
∴；
当时，则点P的横坐标为或，
∴此时点P的坐标为或；
当时，则点D在的垂直平分线上，
∴的中点的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，设，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
1 / 1四川省泸州市合江县2026年春期第一次诊断性监测 九年级数学
1．，4，0，四个数中，是无理数的是（　　）
A． B．4 C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，都是整数，属于有理数．
是无限不循环小数，属于无理数．
【分析】
依据初中阶段对无理数的定义——无限不循环小数才是无理数，而有理数是所有整数与分数的统称，对给出的每个数分别判断就可以得到答案.
2．据国家统计局发布数据显示，年我国国内生产总值约为亿元，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将表示为科学记数法时，满足，要使，则小数点向左移动了位，
∴，
即用科学记数法表示为．
故选：B.
【分析】
科学记数法的标准表示形式为，其中需要满足，是整数，确定出和的数值就能完成解题。当原数的绝对值大于等于10时，是正整数，并且的绝对值和原数小数点移动的位数相等.
3．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B.
【分析】
根据中心对称图形的定义：将一个图形绕某一点旋转，若旋转后的图形可以和原图形完全重合，该图形就是中心对称图形.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：与不是同类项，不能合并，故A选项错误．
，故B选项正确．
，故C选项错误．
，故D选项错误．
故选：B．
【分析】
依据合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则，逐一判断每个选项的计算是否正确.
5．实数的值在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴实数的值在2和3之间．
【分析】
先确定的大致取值范围，再据此推导出的范围.
6．某校举行“书香校园”读书活动，随机调查了10名学生一周的课外阅读时间（单位：小时），分别为：3，4，5，5，6，4，5，7，4，6，则这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．，5 B．，4 C．5，5 D．5，4
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵这组数据的总和为，数据总个数为，
∴平均数为
将这组数据从小到大排序得：，
∵数据总个数为，为偶数，中位数为排序后第个和第个数据的平均数，其中第个数据为，第个数据为，
∴中位数为
因此这组数据的平均数为，中位数为．
故选：A.
【分析】
先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再将数据按大小顺序排列后，根据中位数的定义求出中位数即可.
7．在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．1cm
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【解答】如图所示，
CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB=8cm，CD=4cm．
∵CD⊥AB，
∴CP=
CD=2．
根据勾股定理，得
OP==2（cm)．
故选A．
【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．解题关键是正确理解圆中过一点的最长的弦和最短的弦．
8．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：联立得，即，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
【分析】
将直线和抛物线的解析式联立，即可得到一个关于x的一元二次方程。因为直线与抛物线只有一个交点，说明这个一元二次方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式计算，即可求出k的值.
9．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可得，，
，
又，
，
，
，
由折叠可得，，
，
是等边三角形，
的周长为，
故选C．
【分析】
结合平行四边形的性质和图形折叠的性质，可以得到，接下来再证明是等边三角形，最后通过计算即可得到最终结果.
10．如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求余弦值；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】
先利用勾股定理求出三角形三边、、的长度，再根据勾股定理的逆定理证明，最后将对应边长代入余弦的定义式即可计算出结果.
11．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于(　　)
A．55° B．70° C．110° D．125°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360° 90° 90° 110°＝70°．
故选B．
【分析】
依据圆周角定理，作出该圆周角所对弧对应的圆心角：连接OA与OB，计算得到∠AOB＝110°，再结合切线的性质与四边形内角和定理，即可求出对应结果.
12．如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.抛物线开口向上，，抛物线交轴的负半轴，故，则，故 A 选项不正确，不符合题意；
B. 抛物线对称轴是直线，则，则，故，则 B 选项不正确，不符合题意；
C. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，则另一个交点坐标为，则当时，，故 C 选项正确，符合题意；
D.当时，则，由于，代入后得，故 D 错误，不符合题意.
【分析】
先通过抛物线的开口方向判断系数的符号，再根据抛物线与轴交点的位置判断和的大小关系；已知对称轴为，据此推导和的关系，再根据抛物线与轴的交点个数判断根的判别式的符号，最后逐一验证各个结论是否正确即可.
13．4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】利用全等三角形的对应边相等可得，由CF=EF-CE即可求解．
15．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
首先利用勾股定理计算可得，再结合已知条件平行于，可推导出比例关系，据此就可以计算出的长度.
16．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为，，
∴，，
∴，
∴．
当时，判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，满足题意．
【分析】
对于一元二次方程，根据韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积的表达式，，之后将这两个结果整体代入已知等式，求解出参数后，再验证结果是否满足方程有实根的要求即可．
17．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为　 　．
【答案】．
【知识点】反比例函数的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过作轴，过作轴于，
则，
∵顶点，分别在反比例函数与的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【分析】
过点作轴，垂足为C，再过点作轴，垂足为，由此可以得到。结合反比例函数的几何性质，我们可以得到，。进一步可证得 △BOD ∽ △OAC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，计算后得到，最后结合三角函数的定义即可推导出最终结论.
18．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别完成乘方运算、零指数幂运算、绝对值化简以及特殊角三角函数值的计算，最终按照实数混合运算的规则计算出最终结果即可.
19．先化简，再求值：，其中a满足的整数．
【答案】解：原式
，
∵分式有意义，
∴，，，
∴，，，
∵满足的整数，
∴的值可以为0或2，
∴当时，原式，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对括号内的分式进行通分化简，再把原式中的除法运算改写为乘法运算，然后对可以因式分解的多项式进行因式分解，最后通过约分将原式化为最简分式；之后结合a是满足的整数，同时要保证原分式有意义的条件，确定出可取值的a，再代入化简后的式子计算即可得到结果.
20．某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率．
【答案】（1）24；150°
（2）∵C班的作品数量为10套，
故补全条形统计图如下：
（3）依题意可得到树状图：
∴P（抽取的作品在两个不同班级）=．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，
∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，
故C班的扇形的圆心角的度数为150°
故答案为24；150°；
【分析】
（1）已知B班的作品数量和它占总征集作品数的比例，据此可以计算出第一批抽取的4个班一共征集的作品总件数；再算出C班的作品数量，进而得到C班作品数占总数的比例，最后就能求出C班对应扇形的圆心角度数；
（2）根据算出的C班作品数量，就可以将统计图补充完整；
（3）根据题意画出树状图，再结合概率公式就可以计算出对应概率.
21．为了更好治理和净化运河，保护环境，运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．
　 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求a，b的值；
（2）由于受资金限制，运河综合治理指挥部决定购买污水处理设备的资金不超过110万元，问每月最多能处理污水多少吨？
【答案】解：（1）根据题意，得，
解得；
（2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，能处理污水y吨，
∵12x+10（10﹣x）≤110，
∴0≤x≤5且x为整数，
∵y＝220x+180（10﹣x）＝40x+1800，
∴y随x的增大而增大，
当x＝5时，y＝40×5+1800＝2000（吨），
所以最多能处理污水2000吨．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)该题存在两个明确的等量关系：第一是A型设备的单价比B型设备的单价多2万元，即A型设备价格减去B型设备价格等于2万元；第二是3台B型设备的总价格比2台A型设备的总价格多6万元，即3台B型设备价格减去2台A型设备价格等于6万元，根据这两个等量关系即可列出方程组求解该问题。
(2) 设购买A型设备的数量为x台，则购买B型设备的数量为(10-x)台，再设该购设备方案每小时能处理污水y吨，先根据题意列出关于总预算的不等式，求出x的可行取值范围，再写出每小时处理污水量y和购买A型设备数量x的函数关系式，最后结合一次函数的性质即可得到最优方案.
22．如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732)
【答案】解：由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km，
在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝，tanB＝＝1，
∴AM＝，BM＝h，
∵AM+BM＝AB＝10，
∴，
解得：h＝15﹣5≈6；
答：h约为6km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用三角函数分别在两个直角三角形中表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列出方程求解.
23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：将点代入得，
解得：，
∴，
把代入得，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式的解析式为；

（2）或
（3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，
把代入得，
∴，则，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】
（2）
解：∵，，
∴由图可知，当或时，，
∴当或时，；
【分析】
（1）先求解得到点A、点B的坐标，再把A、B两点的坐标代入一次函数解析式，计算得到k和b的具体数值，就能得到一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应自变量x的取值范围即可；（3）设直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，先求出直线AB和x轴、y轴的交点坐标，再利用面积关系计算，即可得到结果.
（1）解：将点代入得，
解得：，
∴，
把代入得，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式的解析式为；
（2）解：∵，，
∴由图可知，当或时，，
∴当或时，；
（3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，
把代入得，
∴，则，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴
．
24．如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，由等边对等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设半径为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴的长为6．
【知识点】垂径定理的实际应用；切线的判定；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）已知AB=BC，OB是圆O的半径，根据垂径定理的推论可以得到OBAC，由此可推出 则， 替换后可得，，结合已知条件，进一步得到 则 ，由此可证明AP是圆O的切线。
2）如图2，设OB与AC的交点为M，连接OD，过圆心O作ONDB，交DB于点N。首先证明是等边三角形，可得AB=OB=OA，=60°，设圆的半径为r，那么BM=r，因OB=OD且ON DB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BN=3。接着可证明 ，根据相似三角形的性质，对应边成比例可得，代入线段长度整理求解得或（舍去） ，最后根据 ，代入数值计算即可得到最终结果.
25．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，
∴点的坐标为，
把点A的坐标代入得，，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为，即；
在中，当时，，解得，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
在中，当时，，
解得，，
∴，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；

（2）解：过点作轴交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

（3）点P的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；线段上的两点间的距离；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：由（1）得，
∴；
当时，则点P的横坐标为或，
∴此时点P的坐标为或；
当时，则点D在的垂直平分线上，
∴的中点的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，设，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【分析】
（1）先写出平移后的抛物线解析式，据此求出点A的坐标，再将点A坐标代入平移后的抛物线解析式，即可求出的值；接着结合的面积为5，先求出点的纵坐标，进一步即可得到点D的坐标，最后根据A、D两点的坐标，用待定系数法就能求出直线AD的解析式；
（2）过点E作轴，交直线于点，根据面积的和差关系可得，以此可以构建出关于点E横坐标的二次函数，最后利用二次函数的性质即可求出三角形ACE面积的最大值；
（3）先根据两点间距离公式计算出；接下来分三种情况分类讨论：分别是当时、当时、当时，分别计算求解即可得到点P的坐标．
（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，
∴点的坐标为，
把点A的坐标代入得，，
∴，
∴平移后的抛物线的解析式为，即；
在中，当时，，解得，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
在中，当时，，
解得，，
∴，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
（3）解：由（1）得，
∴；
当时，则点P的横坐标为或，
∴此时点P的坐标为或；
当时，则点D在的垂直平分线上，
∴的中点的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，设，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
1 / 1

展开更多......

收起↑