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2026年四川绵阳市九年级第一次学科教育质量检测数学试题
1．6的相反数为（　　）
A．-6 B．6 C． D．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
5．如图是我国在2025年发行的一枚纪念币，其外形为正十二边形，则这枚纪念币外边缘十二个角的大小均为（　　）
A． B． C． D．
6．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
9．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（　　）
A．0 B．0.5 C．1 D．1.5
11．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．分解因式： 　 　.
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是　 　．
15．不等式组的解集是　 　．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是　 　．
17．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为　 　°．
18．如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则　 　．
19．计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中满足．
20．为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．
10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．
抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图
型号 A B
平均数 56 56
中位数 56 b
众数 a 57
方差 7.4 15.8
“优秀”等级所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　　，　　，　　．
（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？
21．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A，B的对应点分别是点D，E．
（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；
（2）如图②，当时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE为平行四边形？请说出你的结论并加以证明
22．某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．
（1）求两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
23．如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
24．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
（3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】6的相反数为：﹣6．
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义进行求解.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
解得．
故选：C．
【分析】利用二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零进行解题即可．
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同．
【分析】
根据立体图形三视图的特征，对题目中导弹的外形对应的三视图进行判断.
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 该纪念币外形为正十二边形
其边数
方法一：∵正十二边形的内角和为
每个内角的大小为
方法二：∵正十二边形的每个外角为
每个内角的大小为
【分析】
通过两种思路计算正十二边形的单个内角：一是先借助多边形内角和公式求出十二边形的总内角和，再除以边数得到单个内角；二是利用任意多边形的外角和恒为，先求出正十二边形的单个外角，再根据内角与外角互为邻补角的关系计算出内角.
6．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即：
．
故答案为：C
【分析】
根据题意倍数问题用乘法，求出积，然后用科学记数法表示即可解答．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
由作图可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】
连接，根据作图过程可以得到，因此是等边三角形，接下来可以通过SSS判定，再结合全等三角形的性质和三角形内角和定理就能求出的度数.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
【分析】
对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根。结合题目条件列出关于未知参数的等式，即可解出答案.
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵每秒旋转，8次一个循环，，
∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：
过点作轴于点E，由旋转的性质可知：，
∴，
∴点D的坐标为．
【分析】
首先先确定矩形对角线交点D到原点O的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转，旋转一周为，因此每旋转 8 次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得，说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对角线上，据此即可求出对应坐标.
10．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，
为的中点，为的中点 ，
为的中位线 ，
，
的半径为，即 ，
，
点在以为圆心，为半径的圆上 ，
，为的中点，
，
当点在线段上时，取得最小值，
的最小值为．
【分析】
通过构造中位线的方式确定动点M的轨迹，先取OP的中点N，连接MN，借助三角形中位线的性质得到MN的长度，由此可判断点M轨迹是以N为圆心、MN长为半径的圆，最后结合点与圆的位置关系，即可计算出OM的最小值.
11．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布总价896文，
∴绫布每尺价格为文；
∵罗布总价896文，
∴罗布每尺价格为文；
又∵绫布和罗布各一尺共值120文，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有(30-x)尺，根据总价除以数量等于单价得出绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，然后根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出方程即可.
12．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】
解：∵四边形是矩形，
∴，轴，轴，
又∵、是反比例函数图象上的动点，
∴，
∴，即与的面积一定相等，故①正确；
由①可得，
当与的面积相等时，如图，连接，
∴，
即，
∵，
∴假设不成立，故②不正确；
如图所示，
当、在的同侧时，可能是钝角三角形，故③不正确；
如图所示，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
【分析】
利用矩形的性质与反比例函数中的几何意义，对结论①②进行判断；再根据、是反比例函数图象上的动点这一条件，分析可得存在为钝角三角形的可能，以此判断结论③；最后结合等边三角形的性质与反比例函数的对称性，对结论④进行判断.
13．【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
【分析】
用列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再确定符合条件的事情数，最后用概率所求情况数与总情况数之比进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，移项得：，
不等式两边同乘得：；
解不等式②，移项得：，
合并同类项得：；
不等式组的解集为
【分析】
对于一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再找出所有解集的公共部分，就能得到不等式组的最终解集.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，
连接AD、BD，根据圆周角定理可得，
每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均
在网格交点上，
，
则，
，
故答案为：．
【分析】
依据圆周角定理，把转化到直角三角形当中，先通过勾股定理计算出三角形的各条边长，就可以求出的数值.
17．【答案】43
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，设与交于点K，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
设和的交点为点K，第一步先借助三角形内角和定理计算得到，再结合平行线的性质就可以求出最终结果.
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：设与交于点M，与交于点N，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴G是中点，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由折叠可知，
∴四边形是矩形，
设，则正方形边长为，
∴，
连接，
由折叠可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】
先证明，由全等三角形的性质可以得到，进一步推得，由此可以先得到四边形是平行四边形，同时四边形也是平行四边形，因此可得，由此可判定四边形是平行四边形；再结合折叠的性质，可知，因此有一个直角的平行四边形是矩形。设，可得，再利用相似三角形的性质，分别计算出与的长度，进而求出的面积，最后计算两者的比值即可.
19．【答案】（1）解：
；

（2）解：
，
∵，
∴，
∴原式．

【知识点】实数的绝对值；幂的乘方运算；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
() 先分别算出算式中每一部分的结果：包括算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方，最后再完成整体的加减运算；
() 先将原式中的除法运算改写为乘法运算，完成乘法计算后对分式进行约分，再结合已知条件得到，最后代入计算得到结果.
（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20．【答案】（1）55；57；40
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
【分析】
（1）结合题干信息，由众数、中位数概念即可求出、的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
（2）比较型、型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）；
（3）用样本估计总量，即可解答．
（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
21．【答案】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30，
∴∠CAD=∠CDA=(180 30)=75，
又∵∠DEC=∠ABC=90，
∴∠ADE=90°-75=15；
（2）∠FBC=30时，四边形BFDE为平行四边形，
∴∠FBC=∠ACB=30，
∴∠ABF=∠A=60，
∴BF=CF=AF，
∴是等边三角形，
∴BF=AB，
∵将ABC绕点C顺时针旋转60得到，
∴DE=AB，是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90，
∴∠CBE=∠BEC=60，
∴∠EBF=∠EBC-∠FBC=30，
∴∠DEB+∠EBF=180，
∴DE=BF，，
∴四边形BFDE为平行四边形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质.（1）根据旋转的性质可知：CA=CD，∠ECD=∠BCA=30，利用三角形的内角和定理可求出∠CAD的度数，再根据∠DEC=∠ABC=90，利用角的运算可求出∠ADE的度数 ；
（2）利用平行四边形的性质和等边三角形的性质可得：BF=AB，利用旋转的性质可得：DE=AB，是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90，利用等边三角形的性质可得：∠CBE=∠BEC=60，利用角的运算可得∠DEB+∠EBF=180，进而可得DE=BF，，利用平行四边形的判定定理可证明结论.
（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30，
∴∠CAD=∠CDA=(180 30)=75，
又∵∠DEC=∠ABC=90，
∴∠ADE=90°-75=15；
（2）∠FBC=30时，四边形BFDE为平行四边形，
∴∠FBC=∠ACB=30，
∴∠ABF=∠A=60，
∴BF=CF=AF，
∴是等边三角形，
∴BF=AB，
∵将ABC绕点C顺时针旋转60得到，
∴DE=AB，是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90，
∴∠CBE=∠BEC=60，
∴∠EBF=∠EBC-∠FBC=30，
∴∠DEB+∠EBF=180，
∴DE=BF，，
∴四边形BFDE为平行四边形．
22．【答案】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，
由题意可得，，
解得，
答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
（2）解：设种客房每间定价为元，
则，
∵，
∴当时，取最大值，元，
答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种客房每间的定价是元，B种客房每间的定价是元，结合题目给出的条件，就可以列出对应的二元一次方程组，进而求出两种客房的定价；
（2）设A种客房每间定价为元，设客房日营收的总金额为元，结合题目条件可以得到关于的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，就能求出利润最大时A种客房的定价.
（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，
由题意可得，，
解得，
答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
（2）解：设种客房每间定价为元，
则，
∵，
∴当时，取最大值，元，
答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
23．【答案】解：（1）∵点P在函数上，且点P的纵坐标为4，
∴，
∴x=6，
∴点P的坐标为（6，4），
∵点P在函数图象上，
∴，
∴m=24；
（2）∵，
∴△PDM为直角三角形，
∴tan∠PMD=，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，6+2t=6+2×1=8，4-t=4-1=3，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
综上所述，M点的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据点P的纵坐标为4易得点P的横坐标，再利用待定系数法即可求得m的值；
（2）根据题意可知△PDM为直角三角形，则tan∠PMD=，设，则，再利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可得出答案.
24．【答案】解：（1）连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．
∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．
（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=．
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OF，根据切线的性质，结合四边形内角和等于360°，可以得到∠M+∠FOH=180°；再结合三角形外角性质和平行线的性质，可推出∠M=∠C=2∠OAF ，最后利用互余关系进行角的计算，可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，根据圆周角定理，结合已知条件可以求出CH和AH的长度；设圆的半径为r，则OH=r-6，根据勾股定理即可列出关于r的一元一次方程，解出r后乘2就能得到直径的长度．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；

（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；

（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）通过待定系数法，计算得到该函数的解析式；
（2）过点轴，设垂足为点，设点，由此可以得到：，。再结合和面积相等的条件，推导出面积关系，最后列出方程即可解出对应结果。
（3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长．
（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
1 / 12026年四川绵阳市九年级第一次学科教育质量检测数学试题
1．6的相反数为（　　）
A．-6 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】6的相反数为：﹣6．
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义进行求解.
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
解得．
故选：C．
【分析】利用二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零进行解题即可．
4．2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同．
【分析】
根据立体图形三视图的特征，对题目中导弹的外形对应的三视图进行判断.
5．如图是我国在2025年发行的一枚纪念币，其外形为正十二边形，则这枚纪念币外边缘十二个角的大小均为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 该纪念币外形为正十二边形
其边数
方法一：∵正十二边形的内角和为
每个内角的大小为
方法二：∵正十二边形的每个外角为
每个内角的大小为
【分析】
通过两种思路计算正十二边形的单个内角：一是先借助多边形内角和公式求出十二边形的总内角和，再除以边数得到单个内角；二是利用任意多边形的外角和恒为，先求出正十二边形的单个外角，再根据内角与外角互为邻补角的关系计算出内角.
6．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即：
．
故答案为：C
【分析】
根据题意倍数问题用乘法，求出积，然后用科学记数法表示即可解答．
7．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
由作图可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】
连接，根据作图过程可以得到，因此是等边三角形，接下来可以通过SSS判定，再结合全等三角形的性质和三角形内角和定理就能求出的度数.
8．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
【分析】
对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根。结合题目条件列出关于未知参数的等式，即可解出答案.
9．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵每秒旋转，8次一个循环，，
∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：
过点作轴于点E，由旋转的性质可知：，
∴，
∴点D的坐标为．
【分析】
首先先确定矩形对角线交点D到原点O的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转，旋转一周为，因此每旋转 8 次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得，说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对角线上，据此即可求出对应坐标.
10．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（　　）
A．0 B．0.5 C．1 D．1.5
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，
为的中点，为的中点 ，
为的中位线 ，
，
的半径为，即 ，
，
点在以为圆心，为半径的圆上 ，
，为的中点，
，
当点在线段上时，取得最小值，
的最小值为．
【分析】
通过构造中位线的方式确定动点M的轨迹，先取OP的中点N，连接MN，借助三角形中位线的性质得到MN的长度，由此可判断点M轨迹是以N为圆心、MN长为半径的圆，最后结合点与圆的位置关系，即可计算出OM的最小值.
11．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布总价896文，
∴绫布每尺价格为文；
∵罗布总价896文，
∴罗布每尺价格为文；
又∵绫布和罗布各一尺共值120文，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有(30-x)尺，根据总价除以数量等于单价得出绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，然后根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出方程即可.
12．如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】
解：∵四边形是矩形，
∴，轴，轴，
又∵、是反比例函数图象上的动点，
∴，
∴，即与的面积一定相等，故①正确；
由①可得，
当与的面积相等时，如图，连接，
∴，
即，
∵，
∴假设不成立，故②不正确；
如图所示，
当、在的同侧时，可能是钝角三角形，故③不正确；
如图所示，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
【分析】
利用矩形的性质与反比例函数中的几何意义，对结论①②进行判断；再根据、是反比例函数图象上的动点这一条件，分析可得存在为钝角三角形的可能，以此判断结论③；最后结合等边三角形的性质与反比例函数的对称性，对结论④进行判断.
13．分解因式： 　 　.
【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
【分析】
用列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再确定符合条件的事情数，最后用概率所求情况数与总情况数之比进行计算即可.
15．不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，移项得：，
不等式两边同乘得：；
解不等式②，移项得：，
合并同类项得：；
不等式组的解集为
【分析】
对于一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再找出所有解集的公共部分，就能得到不等式组的最终解集.
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，
连接AD、BD，根据圆周角定理可得，
每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均
在网格交点上，
，
则，
，
故答案为：．
【分析】
依据圆周角定理，把转化到直角三角形当中，先通过勾股定理计算出三角形的各条边长，就可以求出的数值.
17．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为　 　°．
【答案】43
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，设与交于点K，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
设和的交点为点K，第一步先借助三角形内角和定理计算得到，再结合平行线的性质就可以求出最终结果.
18．如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：设与交于点M，与交于点N，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴G是中点，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由折叠可知，
∴四边形是矩形，
设，则正方形边长为，
∴，
连接，
由折叠可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】
先证明，由全等三角形的性质可以得到，进一步推得，由此可以先得到四边形是平行四边形，同时四边形也是平行四边形，因此可得，由此可判定四边形是平行四边形；再结合折叠的性质，可知，因此有一个直角的平行四边形是矩形。设，可得，再利用相似三角形的性质，分别计算出与的长度，进而求出的面积，最后计算两者的比值即可.
19．计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】（1）解：
；

（2）解：
，
∵，
∴，
∴原式．

【知识点】实数的绝对值；幂的乘方运算；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
() 先分别算出算式中每一部分的结果：包括算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方，最后再完成整体的加减运算；
() 先将原式中的除法运算改写为乘法运算，完成乘法计算后对分式进行约分，再结合已知条件得到，最后代入计算得到结果.
（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20．为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．
10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．
抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图
型号 A B
平均数 56 56
中位数 56 b
众数 a 57
方差 7.4 15.8
“优秀”等级所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　　，　　，　　．
（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？
【答案】（1）55；57；40
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
【分析】
（1）结合题干信息，由众数、中位数概念即可求出、的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
（2）比较型、型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）；
（3）用样本估计总量，即可解答．
（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
21．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A，B的对应点分别是点D，E．
（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；
（2）如图②，当时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE为平行四边形？请说出你的结论并加以证明
【答案】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30，
∴∠CAD=∠CDA=(180 30)=75，
又∵∠DEC=∠ABC=90，
∴∠ADE=90°-75=15；
（2）∠FBC=30时，四边形BFDE为平行四边形，
∴∠FBC=∠ACB=30，
∴∠ABF=∠A=60，
∴BF=CF=AF，
∴是等边三角形，
∴BF=AB，
∵将ABC绕点C顺时针旋转60得到，
∴DE=AB，是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90，
∴∠CBE=∠BEC=60，
∴∠EBF=∠EBC-∠FBC=30，
∴∠DEB+∠EBF=180，
∴DE=BF，，
∴四边形BFDE为平行四边形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质.（1）根据旋转的性质可知：CA=CD，∠ECD=∠BCA=30，利用三角形的内角和定理可求出∠CAD的度数，再根据∠DEC=∠ABC=90，利用角的运算可求出∠ADE的度数 ；
（2）利用平行四边形的性质和等边三角形的性质可得：BF=AB，利用旋转的性质可得：DE=AB，是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90，利用等边三角形的性质可得：∠CBE=∠BEC=60，利用角的运算可得∠DEB+∠EBF=180，进而可得DE=BF，，利用平行四边形的判定定理可证明结论.
（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30，
∴∠CAD=∠CDA=(180 30)=75，
又∵∠DEC=∠ABC=90，
∴∠ADE=90°-75=15；
（2）∠FBC=30时，四边形BFDE为平行四边形，
∴∠FBC=∠ACB=30，
∴∠ABF=∠A=60，
∴BF=CF=AF，
∴是等边三角形，
∴BF=AB，
∵将ABC绕点C顺时针旋转60得到，
∴DE=AB，是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90，
∴∠CBE=∠BEC=60，
∴∠EBF=∠EBC-∠FBC=30，
∴∠DEB+∠EBF=180，
∴DE=BF，，
∴四边形BFDE为平行四边形．
22．某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．
（1）求两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
【答案】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，
由题意可得，，
解得，
答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
（2）解：设种客房每间定价为元，
则，
∵，
∴当时，取最大值，元，
答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种客房每间的定价是元，B种客房每间的定价是元，结合题目给出的条件，就可以列出对应的二元一次方程组，进而求出两种客房的定价；
（2）设A种客房每间定价为元，设客房日营收的总金额为元，结合题目条件可以得到关于的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，就能求出利润最大时A种客房的定价.
（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，
由题意可得，，
解得，
答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
（2）解：设种客房每间定价为元，
则，
∵，
∴当时，取最大值，元，
答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
23．如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】解：（1）∵点P在函数上，且点P的纵坐标为4，
∴，
∴x=6，
∴点P的坐标为（6，4），
∵点P在函数图象上，
∴，
∴m=24；
（2）∵，
∴△PDM为直角三角形，
∴tan∠PMD=，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，6+2t=6+2×1=8，4-t=4-1=3，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
综上所述，M点的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据点P的纵坐标为4易得点P的横坐标，再利用待定系数法即可求得m的值；
（2）根据题意可知△PDM为直角三角形，则tan∠PMD=，设，则，再利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可得出答案.
24．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度．
【答案】解：（1）连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．
∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．
（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=．
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OF，根据切线的性质，结合四边形内角和等于360°，可以得到∠M+∠FOH=180°；再结合三角形外角性质和平行线的性质，可推出∠M=∠C=2∠OAF ，最后利用互余关系进行角的计算，可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，根据圆周角定理，结合已知条件可以求出CH和AH的长度；设圆的半径为r，则OH=r-6，根据勾股定理即可列出关于r的一元一次方程，解出r后乘2就能得到直径的长度．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
（3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；

（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；

（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）通过待定系数法，计算得到该函数的解析式；
（2）过点轴，设垂足为点，设点，由此可以得到：，。再结合和面积相等的条件，推导出面积关系，最后列出方程即可解出对应结果。
（3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长．
（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
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