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2026年四川德阳市罗江区九年级初中数学毕业诊断试题
1．-2的倒数是（　　）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵（-2）×（- ）=1，
∴-2的倒数是- ．故选A．
【分析]：乘积是1的两个数互为倒数,0除外;根据倒数的概念即可选出答案.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意．
【分析】
根据整式运算里的幂的运算法则以及完全平方公式，对每个选项逐一计算，就能得到正确答案.
3．据报道， 2026年“元旦”假期全国国内旅游出游合计142000000人次，数字142000000用科学记数法表示是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．对神舟十五号飞船部件的检查适合采用抽样调查
B．甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
C．一组数据，，，，，的众数是，中位数是
D．某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：、对神舟十五号飞船部件的检查适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
、甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定，正确，符合题意；
C、一组数据，，，，，的众数是，中位数是，故本选项不符合题意
、某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意．
故选：．
【分析】
先根据概率计算公式、调查方式的选择原则、算术平均数与方差的定义，以及众数和中位数的相关定义，再逐一分析每个选项，就能得到正确结论.
5．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】
先根据角的和差关系计算出的度数，再结合平行线的性质，得到=，进而完成求解.
6．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】设买甜果x个，苦果y个，根据题意列二元一次方程组即可．
7．如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【知识点】矩形的性质；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
∴，
∴；
又四边形是矩形，
∴．
【分析】
通过构造直角三角形，结合三角函数计算出相关线段的长度，再利用矩形对角线的性质得到最终结果.
8．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理的实际应用；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解：如图，作交于点，作于点，
设，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点到水面的距离为，
∴，则，
∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理得，，即，
整理得：，
解得：，
∴或，
∵，
∴点是的中点，即，
∴或，
则水面宽度为或．
【分析】
通过圆心O作于点D，过点A作于点E，过O作于点F，设，首先可推得四边形是矩形，因此得到，再证明，可得到对应边相等，即，之后结合勾股定理列出关于x的方程，即可解出与的长度，最后结合垂径定理计算，即可得到题目所求的结果．
9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】
解：，，
，，，，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
由①②可得、分别是以和为周期的数列，
当为奇数时，，此时，，等式成立；
当为偶数时，，此时，，等式成立，故③正确．
综上所述，结论正确的有3个．
【分析】
根据题目给出的条件逐步分析，再对各个选项逐一判断正误.
10．如图，抛物线的图像交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵抛物线的图像经过点，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的图像交x轴于点、，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，故②错误；
∵对称轴为直线，
∴，
∵、，
∴，，，
对于抛物线，当时，可得，
∴，
∴，
当时，由勾股定理得，
即，解得或（舍去），
当时，由勾股定理得，
即，解得或（舍去），
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，可得，则，
如图所示，取点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，
最小值为线段的长，
由勾股定理得，故④错误，
∴正确的有1个．
【分析】
根据题意可知，抛物线经过点，把点B坐标代入抛物线解析式，就可以判断结论①；先求出抛物线的对称轴，整理可得，进一步计算可以得到，结合已知条件，可以推出，据此即可判断结论②；已知抛物线对称轴为直线，可以推出，又点C坐标为，可得，接下来分和两种不同情况，分别计算得到的值，就可以判断结论③；我们取点，连接，可以证明，根据相似三角形对应边成比例，可得，变形后得到，因此，根据两点之间线段最短可知，当P点落在线段上时，，也就是可以取得最小值，最小值就是线段的长度，之后利用勾股定理计算出的长度，就可以判断结论④．
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：.
【分析】
先提取公因式，再结合平方差公式完成分解.
12．关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于的一元二次方程有实数根
则且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程定义以及根与判别式的关系可得，且，然后求解即可．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，
∴∠GAB=360°÷6=60°，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴S扇形FAB=，
故答案为：12π．
【分析】
延长FA，交⊙A于点G，如图所示：已知ABCDEF是正六边形，且AB=6，由正多边形外角和为360°，可得∠GAB=360°÷6=60°；正六边形的内角∠FAB和∠GAB互补，因此∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，最后代入扇形面积公式计算即可得到对应面积.
14．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为　 　米．
【答案】5.2
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：米，米，米，如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则，米，米，（米）．，，∴即，解得米，米，又（米），（米）．故答案为：5.2．
【分析】
通过添加辅助线构造出相似三角形，再借助相似三角形对应边成比例的性质，计算桔槔支架的高度.
15．如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
如图：以为原点建立坐标系，
则，，，，
设直线的解析式为，
，解得，
所以直线的解析式为，
则可设
为的中点，
，即，
，
则当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
【分析】
根据题目条件，我们以为原点建立平面直角坐标系，之后通过待定系数法推导出直线的解析式，进而可设出点F坐标为，再利用中点坐标公式得到G点坐标为，最后结合两点间距离公式，将所求距离转化为二次函数，利用二次函数的性质求解最值即可.
16．计算与化简求值
（1）；
（2），其中．
【答案】（1）解：
；

（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的加减法；有理数的乘方法则；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）按照有理数乘方的计算规则、绝对值的性质，结合特殊角的三角函数值对各项分别化简，再进行加减运算就能得到结果；
（2）先对原式括号内的两项进行通分，再按照同分母分式的减法法则计算出括号内的结果；之后利用分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再通过约分把原式化为最简分式，最后把给定的x值代入最简式中计算，就可以得到最终结果.
（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
17．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）400，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
【分析】
（1）用C等级的人数除以C等级对应的百分比，计算出本次抽取的总人数；再用总人数减去A、B、C三个等级的人数，得到D等级的人数，据此就可以补全条形统计图。
（2）估计全校合格以上等级的人数时，用学校的总人数乘以样本中B等级人数所占的百分比即可得到结果；
（3）通过画树状图可以列出所有等可能出现的结果，再从中找出满足题目要求的结果数量，最后结合概率公式计算出对应事件的概率即可.
（1）解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，（在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点．
（1）求a，k的值；
（2）将直线l向下平移n个单位，平移后直线与x轴相交于点E，连接，若与x轴所形成的锐角为，求n的值．
【答案】（1）解：如图1，
作于M，
，
，
，
，D恰好是线段的三等分点，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由知，直线l：，
由题意得，
解得：，
∴点D坐标为，
将直线l向下平移n个单位后的解析式为，
令，则，
，
作于点H，当点E在点H左侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
当点E在点H右侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
综上所述，或．
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）过点C作，垂足为M，可证得，根据相似三角形的性质可得比例关系，再结合C、D是线段的三等分点，计算得到点C的坐标，代入反比例函数与双曲线的解析式即可求出a和k的值；
（2）先根据三等分点的性质求出点D的坐标，再结合点D的纵坐标得到点E的坐标，根据DE与x轴夹角为锐角整理得到关于n的方程，解方程即可得到n的值.
（1）解：如图1，
作于M，
，
，
，
，D恰好是线段的三等分点，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由知，直线l：，
由题意得，
解得：，
∴点D坐标为，
将直线l向下平移n个单位后的解析式为，
令，则，
，
作于点H，当点E在点H左侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
当点E在点H右侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
综上所述，或．
19．综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．
【答案】解：（1）如图，过点E作于点F，
∴，，
∴；
（2）如图，过点D作于点G，连接，
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，
由（1）知，
∴，即，
∵，
∴，
∴点A在的平分线上，即平分．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；角平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）如图，过点作，垂足为，结合平行四边形和三角形的面积公式；据此即可推导出对应结论；
（2）过点作，垂足为点，再连接。先证明四边形是矩形，由此得到边的关系，计算得到。设，那么，最后结合勾股定理即可计算求出对应结论；
（3）先连接，再过点作，垂足为，作，垂足为，只需证明，即可证得需要的结论．
20．为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元．
（1）服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？
（2）若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元；
（2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，
根据题意得：，
，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件服装乙的进价为元，那么每件服装甲的进价就是元，结合题目给出的数量关系列出分式方程，求解后检验即可得到最终结果；
（2）设每件服装甲的售价为元，总利润为元，根据题意可以得到利润表达式，整理配方后可得，这个二次函数的抛物线开口向下，所以最大值出现在抛物线的顶点位置，顶点对应的就是最大利润.
（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元；
（2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，
根据题意得：，
，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元．
21．如图，是⊙的直径，是的中点，连接并延长到点，使，是的中点，连接并延长交延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若交于点，连接，且，求的长．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵是的直径，点是的中点，
∴，，
根据垂径定理得，
在中，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径
，∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，，
∵是⊙的切线，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形，由勾股定理得，
∵是的直径，
∴，即，
由三角形面积公式得，
∴．

【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）首先根据C是弧AB的中点，结合垂径定理的推论可以得到，再借助三角形中位线定理证明，由此可以推导出，最后结合切线的判定定理即可完成证明；
（2）先结合给出的⊙O半径的长度，计算得到的长，再通过全等三角形得到的长度，之后利用勾股定理算出的长度，最后根据“直径所对的圆周角为直角”的性质，结合三角形的等面积法即可求出的长度．
（1）解：连接，如图所示：
∵是的直径，点是的中点，
∴，，
根据垂径定理得，
在中，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径
，∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，，
∵是⊙的切线，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形，由勾股定理得，
∵是的直径，
∴，即，
由三角形面积公式得，
∴．
22．如图所示，抛物线的解析式为．
（1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标；
（3）如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值．
【答案】（1）该抛物线的解析式为
（2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示：
由（1）可知：抛物线的解析式为，点，
∴令时，则有，解得：，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线的解析式得：，
解得：，
∴；

（3）
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）由题意可联立得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图，
作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为．
【分析】
（1）利用待定系数法，将点代入函数进行求解即可；
（2）设直线AP与y轴的交点为D，过点D作DE⊥AC于点E，根据第（1）问的结论可以得到点A坐标为(-2，0)，点B坐标为(3，0)，由此可证△AOC∽△DEC，可得对应边成比例，据此可推得点D的坐标为(0，1)，进一步求出直线AP的解析式，最后联立直线AP与抛物线的解析式，即可求出点P的坐标；（3）根据题意可设得到点M坐标为(k，k+2)，点N坐标为(k+4，k+6)，分别计算OM、ON的长度：
由此可知，OM+ON可以转化为：直线y=x上的动点(k，k)，到两个定点(0，-2)、(-4，-6)的距离之和，利用最短路径相关知识即可求解该最值问题.
（1）解：把点代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示：
由（1）可知：抛物线的解析式为，点，
∴令时，则有，解得：，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线的解析式得：，
解得：，
∴；
（3）解：由题意可联立得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图，
作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为．
1 / 12026年四川德阳市罗江区九年级初中数学毕业诊断试题
1．-2的倒数是（　　）
A． B． C．-2 D．2
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．据报道， 2026年“元旦”假期全国国内旅游出游合计142000000人次，数字142000000用科学记数法表示是(　　)
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．对神舟十五号飞船部件的检查适合采用抽样调查
B．甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
C．一组数据，，，，，的众数是，中位数是
D．某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖
5．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．4
8．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，抛物线的图像交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．因式分解：　 　．
12．关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　 　．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为　 　米．
15．如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是　 　．
16．计算与化简求值
（1）；
（2），其中．
17．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，（在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点．
（1）求a，k的值；
（2）将直线l向下平移n个单位，平移后直线与x轴相交于点E，连接，若与x轴所形成的锐角为，求n的值．
19．综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．
20．为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元．
（1）服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？
（2）若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润．
21．如图，是⊙的直径，是的中点，连接并延长到点，使，是的中点，连接并延长交延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若交于点，连接，且，求的长．
22．如图所示，抛物线的解析式为．
（1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标；
（3）如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵（-2）×（- ）=1，
∴-2的倒数是- ．故选A．
【分析]：乘积是1的两个数互为倒数,0除外;根据倒数的概念即可选出答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意．
【分析】
根据整式运算里的幂的运算法则以及完全平方公式，对每个选项逐一计算，就能得到正确答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：、对神舟十五号飞船部件的检查适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
、甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定，正确，符合题意；
C、一组数据，，，，，的众数是，中位数是，故本选项不符合题意
、某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意．
故选：．
【分析】
先根据概率计算公式、调查方式的选择原则、算术平均数与方差的定义，以及众数和中位数的相关定义，再逐一分析每个选项，就能得到正确结论.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】
先根据角的和差关系计算出的度数，再结合平行线的性质，得到=，进而完成求解.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】设买甜果x个，苦果y个，根据题意列二元一次方程组即可．
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
∴，
∴；
又四边形是矩形，
∴．
【分析】
通过构造直角三角形，结合三角函数计算出相关线段的长度，再利用矩形对角线的性质得到最终结果.
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理的实际应用；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解：如图，作交于点，作于点，
设，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点到水面的距离为，
∴，则，
∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理得，，即，
整理得：，
解得：，
∴或，
∵，
∴点是的中点，即，
∴或，
则水面宽度为或．
【分析】
通过圆心O作于点D，过点A作于点E，过O作于点F，设，首先可推得四边形是矩形，因此得到，再证明，可得到对应边相等，即，之后结合勾股定理列出关于x的方程，即可解出与的长度，最后结合垂径定理计算，即可得到题目所求的结果．
9．【答案】D
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】
解：，，
，，，，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
由①②可得、分别是以和为周期的数列，
当为奇数时，，此时，，等式成立；
当为偶数时，，此时，，等式成立，故③正确．
综上所述，结论正确的有3个．
【分析】
根据题目给出的条件逐步分析，再对各个选项逐一判断正误.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵抛物线的图像经过点，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的图像交x轴于点、，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，故②错误；
∵对称轴为直线，
∴，
∵、，
∴，，，
对于抛物线，当时，可得，
∴，
∴，
当时，由勾股定理得，
即，解得或（舍去），
当时，由勾股定理得，
即，解得或（舍去），
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，可得，则，
如图所示，取点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，
最小值为线段的长，
由勾股定理得，故④错误，
∴正确的有1个．
【分析】
根据题意可知，抛物线经过点，把点B坐标代入抛物线解析式，就可以判断结论①；先求出抛物线的对称轴，整理可得，进一步计算可以得到，结合已知条件，可以推出，据此即可判断结论②；已知抛物线对称轴为直线，可以推出，又点C坐标为，可得，接下来分和两种不同情况，分别计算得到的值，就可以判断结论③；我们取点，连接，可以证明，根据相似三角形对应边成比例，可得，变形后得到，因此，根据两点之间线段最短可知，当P点落在线段上时，，也就是可以取得最小值，最小值就是线段的长度，之后利用勾股定理计算出的长度，就可以判断结论④．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：.
【分析】
先提取公因式，再结合平方差公式完成分解.
12．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于的一元二次方程有实数根
则且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程定义以及根与判别式的关系可得，且，然后求解即可．
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，
∴∠GAB=360°÷6=60°，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴S扇形FAB=，
故答案为：12π．
【分析】
延长FA，交⊙A于点G，如图所示：已知ABCDEF是正六边形，且AB=6，由正多边形外角和为360°，可得∠GAB=360°÷6=60°；正六边形的内角∠FAB和∠GAB互补，因此∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，最后代入扇形面积公式计算即可得到对应面积.
14．【答案】5.2
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：米，米，米，如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则，米，米，（米）．，，∴即，解得米，米，又（米），（米）．故答案为：5.2．
【分析】
通过添加辅助线构造出相似三角形，再借助相似三角形对应边成比例的性质，计算桔槔支架的高度.
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
如图：以为原点建立坐标系，
则，，，，
设直线的解析式为，
，解得，
所以直线的解析式为，
则可设
为的中点，
，即，
，
则当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
【分析】
根据题目条件，我们以为原点建立平面直角坐标系，之后通过待定系数法推导出直线的解析式，进而可设出点F坐标为，再利用中点坐标公式得到G点坐标为，最后结合两点间距离公式，将所求距离转化为二次函数，利用二次函数的性质求解最值即可.
16．【答案】（1）解：
；

（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的加减法；有理数的乘方法则；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）按照有理数乘方的计算规则、绝对值的性质，结合特殊角的三角函数值对各项分别化简，再进行加减运算就能得到结果；
（2）先对原式括号内的两项进行通分，再按照同分母分式的减法法则计算出括号内的结果；之后利用分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再通过约分把原式化为最简分式，最后把给定的x值代入最简式中计算，就可以得到最终结果.
（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
17．【答案】（1）400，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
【分析】
（1）用C等级的人数除以C等级对应的百分比，计算出本次抽取的总人数；再用总人数减去A、B、C三个等级的人数，得到D等级的人数，据此就可以补全条形统计图。
（2）估计全校合格以上等级的人数时，用学校的总人数乘以样本中B等级人数所占的百分比即可得到结果；
（3）通过画树状图可以列出所有等可能出现的结果，再从中找出满足题目要求的结果数量，最后结合概率公式计算出对应事件的概率即可.
（1）解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．
18．【答案】（1）解：如图1，
作于M，
，
，
，
，D恰好是线段的三等分点，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由知，直线l：，
由题意得，
解得：，
∴点D坐标为，
将直线l向下平移n个单位后的解析式为，
令，则，
，
作于点H，当点E在点H左侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
当点E在点H右侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
综上所述，或．
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）过点C作，垂足为M，可证得，根据相似三角形的性质可得比例关系，再结合C、D是线段的三等分点，计算得到点C的坐标，代入反比例函数与双曲线的解析式即可求出a和k的值；
（2）先根据三等分点的性质求出点D的坐标，再结合点D的纵坐标得到点E的坐标，根据DE与x轴夹角为锐角整理得到关于n的方程，解方程即可得到n的值.
（1）解：如图1，
作于M，
，
，
，
，D恰好是线段的三等分点，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由知，直线l：，
由题意得，
解得：，
∴点D坐标为，
将直线l向下平移n个单位后的解析式为，
令，则，
，
作于点H，当点E在点H左侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
当点E在点H右侧时，
与x轴所形成的锐角为，
∴，
，
，
解得：，
综上所述，或．
19．【答案】解：（1）如图，过点E作于点F，
∴，，
∴；
（2）如图，过点D作于点G，连接，
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，
由（1）知，
∴，即，
∵，
∴，
∴点A在的平分线上，即平分．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；角平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）如图，过点作，垂足为，结合平行四边形和三角形的面积公式；据此即可推导出对应结论；
（2）过点作，垂足为点，再连接。先证明四边形是矩形，由此得到边的关系，计算得到。设，那么，最后结合勾股定理即可计算求出对应结论；
（3）先连接，再过点作，垂足为，作，垂足为，只需证明，即可证得需要的结论．
20．【答案】（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元；
（2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，
根据题意得：，
，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件服装乙的进价为元，那么每件服装甲的进价就是元，结合题目给出的数量关系列出分式方程，求解后检验即可得到最终结果；
（2）设每件服装甲的售价为元，总利润为元，根据题意可以得到利润表达式，整理配方后可得，这个二次函数的抛物线开口向下，所以最大值出现在抛物线的顶点位置，顶点对应的就是最大利润.
（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元；
（2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，
根据题意得：，
，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元．
21．【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵是的直径，点是的中点，
∴，，
根据垂径定理得，
在中，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径
，∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，，
∵是⊙的切线，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形，由勾股定理得，
∵是的直径，
∴，即，
由三角形面积公式得，
∴．

【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）首先根据C是弧AB的中点，结合垂径定理的推论可以得到，再借助三角形中位线定理证明，由此可以推导出，最后结合切线的判定定理即可完成证明；
（2）先结合给出的⊙O半径的长度，计算得到的长，再通过全等三角形得到的长度，之后利用勾股定理算出的长度，最后根据“直径所对的圆周角为直角”的性质，结合三角形的等面积法即可求出的长度．
（1）解：连接，如图所示：
∵是的直径，点是的中点，
∴，，
根据垂径定理得，
在中，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径
，∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，，
∵是⊙的切线，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形，由勾股定理得，
∵是的直径，
∴，即，
由三角形面积公式得，
∴．
22．【答案】（1）该抛物线的解析式为
（2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示：
由（1）可知：抛物线的解析式为，点，
∴令时，则有，解得：，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线的解析式得：，
解得：，
∴；

（3）
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）由题意可联立得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图，
作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为．
【分析】
（1）利用待定系数法，将点代入函数进行求解即可；
（2）设直线AP与y轴的交点为D，过点D作DE⊥AC于点E，根据第（1）问的结论可以得到点A坐标为(-2，0)，点B坐标为(3，0)，由此可证△AOC∽△DEC，可得对应边成比例，据此可推得点D的坐标为(0，1)，进一步求出直线AP的解析式，最后联立直线AP与抛物线的解析式，即可求出点P的坐标；（3）根据题意可设得到点M坐标为(k，k+2)，点N坐标为(k+4，k+6)，分别计算OM、ON的长度：
由此可知，OM+ON可以转化为：直线y=x上的动点(k，k)，到两个定点(0，-2)、(-4，-6)的距离之和，利用最短路径相关知识即可求解该最值问题.
（1）解：把点代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示：
由（1）可知：抛物线的解析式为，点，
∴令时，则有，解得：，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线的解析式得：，
解得：，
∴；
（3）解：由题意可联立得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图，
作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为．
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