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第1节 基本立体图形及几何体的表面积与体积
一、单选题
1.圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为(　　)
A.8π B.12π
C.16π D.20π
2.用斜二测画法画水平放置的△ABC，其直观图△A'B'C'如图所示，其中B'O'＝C'O'＝2.若原△ABC的周长为10，则A'O'＝(　　)
A. B.
C. D.
3.(2026·绍兴质检)有这样一个古算题:“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何 ”，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺 ”(注:1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为(　　)
A.2丈4尺 B.2丈5尺
C.2丈6尺 D.2丈8尺
4.(2026·邵阳模拟)已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为(　　)
A. B.
C. D.
5.(2026·西安模拟)已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为(　　)
A. B.1
C. D.2
6.(2026·秦皇岛模拟)如图，某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该储存仓的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.2π
7.(2026·赤峰模拟)在体积为9的三棱锥P－ABC中，＝2＝2，则三棱锥A－BDE的体积为(　　)
A.6 B.5
C.4 D.3
8.(2026·潍坊质检)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，O为四边形ACC1A1对角线的交点，设四棱锥O－BCC1B1的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V2，则V1∶V2等于(　　)
A.2∶3 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶6
二、多选题
9.下列说法中正确的是(　　)
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.长方体是直四棱柱
C.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
10.如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，AD＝2，用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D'，其中∠x'A'y'＝45°，则下列说法正确的是 (　　)
A.A'D'＝2
B.A'B'＝4
C.四边形A'B'C'D'为等腰梯形
D.四边形A'B'C'D'的周长为6＋4
11.(2026·南昌模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为6，点P为线段A1B上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有(　　)
A.三棱锥P－C1CD B.三棱锥P－B1D1D
C.三棱锥P－D1B1C D.三棱锥P－D1AC
三、填空题
12.(2026·攀枝花模拟)已知母线长为10的圆台的表面积为210π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝3r，则R＝　　　　.
13.(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为　　　　.
14.(2026·南京调研)我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”.已知三棱锥O－ABC中，AB＝3，D，E，F分别在棱OA，OB，OC上，且截面DEF与底面ABC平行，DE＝2，则三棱锥O－ABC与三棱锥O－DEF的相对积之比为　　　　.
第1节 基本立体图形及几何体的表面积与体积
一、单选题
1.圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为(　　)
A.8π B.12π
C.16π D.20π
答案　C
解析　因为圆柱的母线长为4，底面半径为2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×22×4＝16π.
2.用斜二测画法画水平放置的△ABC，其直观图△A'B'C'如图所示，其中B'O'＝C'O'＝2.若原△ABC的周长为10，则A'O'＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图△A'B'C'画出原图△ABC，
因为B'O'＝C'O'＝2，可得BO＝CO＝B'O'＝C'O'＝2，
所以2AB＝10－4＝6，即AB＝3，
则AO＝，
所以A'O'＝.
3.(2026·绍兴质检)有这样一个古算题:“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何 ”，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺 ”(注:1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为(　　)
A.2丈4尺 B.2丈5尺
C.2丈6尺 D.2丈8尺
答案　C
解析　取圆木两个的侧面展开图如图，在Rt△ABC中，BC(即圆木的高)长24尺，
AB＝5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为＝26(尺)，即为2丈6尺.
4.(2026·邵阳模拟)已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设圆锥的母线长为l，可得底面圆的周长为2π·1＝2π，
由题意可得l·2π＝4π，解得l＝4，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为.
5.(2026·西安模拟)已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为(　　)
A. B.1
C. D.2
答案　A
解析　将
正三棱锥S－ABC的侧面沿侧棱SB剪开并展开在同一平面内，如图，连接BB'，
当E，F分别为BB'与SA，SC的交点时，△BEF的周长最小，此时BB'＝，
而SB＝SB'＝1，SB2＋SB'2＝2＝BB'2，
则∠BSB'＝90°，∠ASB＝30°，
所以三棱锥的侧面积为3×SA×SBsin 30°＝.故选A.
6.(2026·秦皇岛模拟)如图，某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该储存仓的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.2π
答案　C
解析　设圆锥的底面圆半径为r，
由侧面积是2π，得πr·2＝2π，解得r＝1，
圆锥的高h＝，
则圆柱的高为2，
所以该储存仓的体积为V＝π×12×＋π×12×2π.
7.(2026·赤峰模拟)在体积为9的三棱锥P－ABC中，＝2＝2，则三棱锥A－BDE的体积为(　　)
A.6 B.5
C.4 D.3
答案　C
解析　如图所示，因为＝2＝2，
可得D，E分别是BC，BP上靠近C，P的三等分点，所以，
又因为三棱锥A－BCP和三棱锥A－BDE的高相等，且VP－ABC＝VA－BCP＝9，
所以，可得VA－BDE＝VA－BCP＝4.
8.(2026·潍坊质检)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，O为四边形ACC1A1对角线的交点，设四棱锥O－BCC1B1的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V2，则V1∶V2等于(　　)
A.2∶3 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶6
答案　B
解析　因为O为四边形ACC1A1对角线的交点，所以O为CA1的中点，
所以V1＝
＝()
＝V2，
所以V1∶V2＝1∶3.
二、多选题
9.下列说法中正确的是(　　)
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.长方体是直四棱柱
C.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
答案　BD
解析　对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误;
对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确;
对于C，根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，故C错误;
对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确.
10.如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，AD＝2，用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D'，其中∠x'A'y'＝45°，则下列说法正确的是 (　　)
A.A'D'＝2
B.A'B'＝4
C.四边形A'B'C'D'为等腰梯形
D.四边形A'B'C'D'的周长为6＋4
答案　BC
解析　由题意可画出其直观图如图，
其中A'B'∥C'D'，A'B'＝AB＝4，C'D'＝CD＝2，A'D'＝AD＝，故A错误，B正确;
过点D'，C'分别作D'M⊥A'B'，C'N⊥A'B'，垂足分别为M，N，
故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin 45°＝1，
NB'＝A'B'－C'D'－A'M＝1，故B'C'＝，
则四边形A'B'C'D'为等腰梯形，故C正确;
故四边形A'B'C'D'的周长为4＋2＋2＝6＋2，即D错误.
11.(2026·南昌模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为6，点P为线段A1B上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有(　　)
A.三棱锥P－C1CD B.三棱锥P－B1D1D
C.三棱锥P－D1B1C D.三棱锥P－D1AC
答案　ACD
解析　记平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为V＝6，
对于A，由平行六面体的性质，A1B∥平面D1DCC1，故点P到平面D1DCC1的距离等于点B到平面D1DCC1的距离，故×V＝1，故A正确;
对于B，因为，底面面积固定，点P在线段A1B上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误;
对于C，因为A1B∥CD1，A1B 平面D1B1C，D1C 平面D1B1C，故A1B∥平面D1B1C，
点P到平面D1B1C的距离等于点B到平面D1B1C的距离，故×V＝1，故C正确;
对于D，因为A1B∥CD1，A1B 平面D1AC，D1C 平面D1AC，
故A1B∥平面D1AC，
点P到平面D1AC的距离等于点B到平面D1AC的距离，
故×V＝1，故D正确.
三、填空题
12.(2026·攀枝花模拟)已知母线长为10的圆台的表面积为210π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝3r，则R＝　　　　.
答案　9
解析　因为该圆台的表面积为210π，母线长l＝10，R＝3r，
所以π(r＋3r)×10＋πr2＋π×(3r)2＝210π，
解得r＝3(负值已舍去)，则R＝9.
13.(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为　　　　.
答案　1
解析　如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
＝2×2－2××2×1－×1×1＝，
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
所以
＝··D1A1
＝××2＝1.
14.(2026·南京调研)我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”.已知三棱锥O－ABC中，AB＝3，D，E，F分别在棱OA，OB，OC上，且截面DEF与底面ABC平行，DE＝2，则三棱锥O－ABC与三棱锥O－DEF的相对积之比为　　　　.
答案　
解析　设三棱锥O－ABC、三棱锥O－DEF
的体积分别为V1，V2，表面积分别为S1，S2，高分别为h1，h2，
因为，所以，
，
，
则×，
，
则三棱锥O－ABC与三棱锥O－DEF的相对积之比为×.

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