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第2节　与球有关的切、接问题
一、单选题
1.棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为(　　)
A.1 B.
C. D.2
2.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A.π B.3π
C.6π D.8π
3.正方体的外接球与内切球的表面积比值为 (　　)
A. B.3
C.3 D.
4.已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为(　　)
A.π B.25π
C.27π D.100π
5.(2026·绵阳模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA⊥CB，AB＝CC1＝2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(　　)
A. B.
C.8π D.
6.(2026·济南调研)若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为S1，S2，侧面积为S，则(　　)
A.S2＝S1S2 B.S＝S1＋S2
C. D.S＝2
7.已知三棱锥S－ABC，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，若三棱锥外接球的表面积为28π，则此三棱锥的体积为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
8.(2026·广州调研)在三棱锥P－ABC中，△PAB，△ABC均为边长为2的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的外接球表面积为(　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
9.(2026·昆明诊断)已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有(　　)
A.圆台的母线长为4 B.圆台的体积为26π
C.圆台的表面积为26π D.球O的表面积为12π
10.设棱长为 a的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h，r，R，则下列结论正确的是(　　)
A.h＝R＋r B.R＝3r
C.r＝a D.R＝a
11.(2026·兰州诊断)如图所示，长方体ABCD－EFGH的表面积为6，AE＝1，则 (　　)
A.该长方体不可能为正方体
B.该长方体体积的最大值为1
C.若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥H－AFC的体积为
D.该长方体外接球表面积的最小值为3π
三、填空题
12.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.
13.把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为　　　　 .
14.在三棱锥A－BCD中，∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝3，AB＝6，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为　　　　.
第2节　与球有关的切、接问题
一、单选题
1.棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为(　　)
A.1 B.
C. D.2
答案　C
解析　因正方体的体对角线长l＝×2＝2，
所以正方体的外接球的直径2R＝2，则R＝.
2.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A.π B.3π
C.6π D.8π
答案　C
解析　由题可知该圆柱底面直径为
＝2，
所以底面半径为，
所以圆柱体积为π×()2×2＝6π.
3.正方体的外接球与内切球的表面积比值为 (　　)
A. B.3
C.3 D.
答案　C
解析　设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R，内切球的半径为r，
则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，
即2R＝a，所以R＝，
正方体内切球的直径为正方体的棱长，
即2r＝a，即r＝，所以，
所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为＝3.
4.已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为(　　)
A.π B.25π
C.27π D.100π
答案　D
解析　设圆台的高为h，
则(32＋3×4＋42)h＝，
解得h＝1，
设圆台外接球半径为R，则R≥4，球心到圆台上、下底面圆距离分别为>1，，
因此＝1，或＝1(舍去)，
解得R2＝25，
所以该圆台外接球的表面积为4πR2＝100π.
5.(2026·绵阳模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA⊥CB，AB＝CC1＝2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(　　)
A. B.
C.8π D.
答案　A
解析　如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，
则长方体的体对角线|A1B|＝＝2，为该三棱柱外接球的直径，
所以其半径为R＝，
球O的体积为V＝πR3＝π×2π，故选A.
6.(2026·济南调研)若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为S1，S2，侧面积为S，则(　　)
A.S2＝S1S2 B.S＝S1＋S2
C. D.S＝2
答案　C
解析　设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径R，且棱台的高是2R，
则四棱台的体积为V＝RS1＋RS2＋RS＝(S1＋S2＋)·2R.
得S＝S1＋S2＋2＝()2，
即，
故选C.
7.已知三棱锥S－ABC，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，若三棱锥外接球的表面积为28π，则此三棱锥的体积为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
所以∠ABC＝∠ACB＝30°，
S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×2×2×，
设△ABC外接圆的半径为r，
则2r＝＝4，即r＝2，
设三棱锥外接球的半径为R，4πR2＝28π，
解得R＝(负值舍去);
因为SA⊥平面ABC，
把三棱锥S－ABC补成直三棱柱(图略)，
可得R2＝r2＋，
即7＝4＋，
解得SA＝2(负值舍去)，
所以V三棱锥S－ABC＝S△ABC·SA＝××2＝2.
8.(2026·广州调研)在三棱锥P－ABC中，△PAB，△ABC均为边长为2的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的外接球表面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如图，取AB的中点E，连接PE，CE，
则PE⊥AB，CE⊥AB，
由平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE 平面PAB，CE 平面ABC，
得PE⊥平面ABC，CE⊥平面PAB.
取△PAB的外心O1，△ABC的外心O2，
分别过O1，O2作平面PAB、平面ABC的垂线交于点O，O即为球心，连接OC，
于是OO1∥CE，OO2∥PE，四边形OO1EO2为平行四边形，CO2＝，OO2＝O1E＝，
因此三棱锥P－ABC的外接球半径R满足R2＝OC2＝C＋O，
所以三棱锥P－ABC的外接球表面积
S＝4πR2＝.
二、多选题
9.(2026·昆明诊断)已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有(　　)
A.圆台的母线长为4 B.圆台的体积为26π
C.圆台的表面积为26π D.球O的表面积为12π
答案　ACD
解析　画出圆台的轴截面，如图所示.
则四边形ABCD是等腰梯形，且DN＝1，AM＝3，内切圆圆心即球心O，
所以圆台的母线长为AD＝AE＋ED＝AM＋DN＝3＋1＝4，A正确;
连接OA，OD和OE，则△AOD是直角三角形，且OE2＝AE·ED＝3，
所以球的半径r＝OE＝，
所以圆台的体积V＝π(12＋32＋)×2π，故B错误;
圆台的表面积S＝π×(12＋32)＋π×(1＋3)×4＝26π，故C正确;
球O的表面积S'＝4π×()2＝12π，故D正确.
10.设棱长为 a的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h，r，R，则下列结论正确的是(　　)
A.h＝R＋r B.R＝3r
C.r＝a D.R＝a
答案　AB
解析　对于正四面体ABCD，其棱长为a，过A作AH⊥平面BCD，
显然H为平面BCD的中心，连接HD，如图所示.
在△AHD中，HD＝×a＝a，
故可得h＝AH＝a;
不妨设内切球球心为O，
连接OA，OB，OC，OD，
又正四面体A－BCD的表面积S＝4×a2＝a2，
由等体积法可得VA－BCD＝rS，
即×a2×a＝r×a2，
解得r＝a;
在棱长为a的
正方体中，其外接球即为正四面体ABCD的外接球，
故R＝×a＝a;
对于A，R＋r＝a＋a＝a＝h，故A正确;
对于B，R＝a＝3×a＝3r，故B正确;
对于C，D，显然错误.
11.(2026·兰州诊断)如图所示，长方体ABCD－EFGH的表面积为6，AE＝1，则 (　　)
A.该长方体不可能为正方体
B.该长方体体积的最大值为1
C.若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥H－AFC的体积为
D.该长方体外接球表面积的最小值为3π
答案　BD
解析　对于A，当长方体的所有棱长都为1时，表面积为6，长方体为正方体，错误;
对于B，设AD＝a，AB＝b，
则2(ab＋a＋b)＝6，ab＋a＋b＝3，
V长方体＝ab·1＝ab＝3－(a＋b)≤3－2，
解得0当且仅当a＝b时取“＝”，故长方体体积的最大值为1，正确;
对于C，当长方体底面的一条边长为2时，可得与其相邻的边长为，
VH－AFC＝V长方体－4VF－ABC
＝2××1－4××2×××1＝，错误;
对于D，设AD＝a，AB＝b.
长方体外接球的直径为其体对角线，长为，
S球＝4πR2＝4π
＝π(a2＋b2＋1)，
因为ab＋a＋b＝3，所以a＋b＝3－ab，
则y＝a2＋b2＋1＝(a＋b)2－2ab＋1
＝(3－ab)2－2ab＋1＝(ab)2－8ab＋10，
＝(ab－4)2－6，
又0所以外接球表面积的最小值为3π，正确.
三、填空题
12.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.
答案　20π
解析　根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示，
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，
即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，
此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，
所以该球的表面积
S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.
13.把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为　　　　 .
答案　－2
解析　如图，点E为下层三个球中的一个球的球心，连接各球的球心，可得到棱长为4的正四面体，这个正四面体的外接球的球心O就是放入空隙的最大半径的小球的球心，
连接OE，OE与球E的交点为K，正四面体的外接球半径R＝，
即OE＝，
故OK＝－2，
所以所求的最大半径为－2.
14.在三棱锥A－BCD中，∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝3，AB＝6，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为　　　　.
答案　72π
解析　由题意知∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝3，AB＝6，
在△ABC中，由余弦定理可得
AC＝＝＝3，
所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，
在△ABD中，由余弦定理可得
AD＝＝＝3，
所以AD2＋BD2＝AB2，则AD⊥BD，
取AB的中点O，则在Rt△ABC和Rt△ABD中，OA＝OB＝OC＝OD，
则三棱锥A－BCD外接球的球心为O，其半径为＝3，
所以三棱锥A－BCD外接球的表面积为4π·＝4π×(3)2＝72π.

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