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第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有(　　)
A.1条或2条 B.2条或3条
C.只有2条 D.1条或2条或3条
2.若直线上有两个点在平面外，则(　　)
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
3.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　)
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
5.(2026·济南模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，AB的中点，则下列直线与EF成异面直线的是(　　)
A.A1B1 B.CC1
C.CD1 D.BB1
6.如图，已知正四棱锥P－ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　)
A. B.－
C. D.－
7.如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中错误的是 (　　)
A.M，N，P，Q四点共面
B.∠QME＝∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
二、多选题
8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面
9.如图，G，H，M，N是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 (　　)
三、填空题
10.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β＝l，m α，n β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　.
11.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.
12.(2026·吴忠质检)如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且，EF＝，则AB与CD所成角的大小为　　　　.
四、解答题
13.如图所示，△ABC在平面α外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，求证:P，Q，R三点在同一直线上.
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点.求证:
(1)直线AM与CN在同一平面上;
(2)直线AM，BB1和CN交于一点.
第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有(　　)
A.1条或2条 B.2条或3条
C.只有2条 D.1条或2条或3条
答案　D
解析　当平面α过平面β与平面γ的交线时，这三个平面有1条交线;
当β∥γ时，平面α与平面β，γ各有1条交线，这三个平面有2条交线;
当平面α，β，γ两两相交时，这三个平面有3条交线.故选D.
2.若直线上有两个点在平面外，则(　　)
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
答案　D
解析　根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.
3.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　)
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
答案　C
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB∥DC，AB和DD1是异面直线，
DC∩DD1＝D，
故直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，
则b与c可能相交，不一定是异面直线，故A，D错误;
AB∥DC，AB和B1C1是异面直线，DC和B1C1是异面直线，
故直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c可能是异面直线，故B错误;
直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则由平行公理得b与c不可能是平行直线，故C正确.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　AB与CC1不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线，
与AB平行且与CC1相交的有CD，C1D1，与AB相交且与CC1平行的有AA1，BB1，
与AB相交也与CC1相交的有BC，
所以共有5条.
5.(2026·济南模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，AB的中点，则下列直线与EF成异面直线的是(　　)
A.A1B1 B.CC1
C.CD1 D.BB1
答案　B
解析　由图可知A1B1，BB1与EF均在平面ABB1A1内，故A，D不符合题意;
CC1位于平面CDD1C1内，EF位于平面ABB1A1内，平面CDD1C1∥平面ABB1A1，
故CC1与EF不相交;
又CC1∥AA1，EF与AA1相交，故EF与CC1不平行，
则EF与CC1异面，B正确;
连接A1B，则CD1∥A1B，
又EF∥A1B，故EF∥CD1，C不符合题意，故选B.
6.如图，已知正四棱锥P－ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　C
解析　连接AC，取AC的中点O，
连接BO，EO，
由题意知，EO∥PC，则异面直线BE与PC所成角为∠BEO(或其补角)，
在△BOE中，EO＝PC＝1，OB＝AC＝，BE＝PA＝，
则cos∠BEO＝
＝，
则异面直线BE与PC所成角的余弦值为.
7.如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中错误的是 (　　)
A.M，N，P，Q四点共面
B.∠QME＝∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
答案　D
解析　因为M，N分别是AB，BC的中点，
所以MN∥AC，且MN＝AC，
同理，QP∥AC，且QP＝AC，
所以MN∥QP，且MN＝QP，
所以四边形MNPQ为平行四边形，
所以M，N，P，Q四点共面，故A正确，D错误;
由等角定理知，∠QME＝∠DBC，故B正确;
所以由等角定理可知，∠QME＝∠DBC，∠QEM＝∠DCB，∠MQE＝∠BDC，
所以△BCD∽△MEQ，故C正确.
二、多选题
8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面
答案　ABC
解析　∵M∈A1C，A1C 平面A1ACC1，
∴M∈平面A1ACC1，
又∵M∈平面AB1D1，
∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，
∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，
∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，
∴M在平面BB1D1D外，
即B，B1，O，M不共面，
故选ABC.
9.如图，G，H，M，N是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 (　　)
答案　BD
解析　对于A，连接GM，
∵G，M为所在棱的中点，
∴GM∥HN，∴直线GH与MN共面，
故A错误;
对于B，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，
∴直线GH与MN异面，故B正确;
对于C，如图，连接GM，
∵G，M为所在棱的中点，
∴GM∥AB，又AB∥HN，
∴GM∥HN，
∴直线GH与MN共面，故C错误;
对于D，G，M，N共面，
但H 平面GMN，
∴GH与MN异面，故D正确.
三、填空题
10.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β＝l，m α，n β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　.
答案　P∈l
解析　∵m α，n β，m∩n＝P，
∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，
∴点P在直线l上，
即P∈l.
11.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.
答案　3
解析　把平面展开图还原为原正方体，如图，
易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)，共有3对.
12.(2026·吴忠质检)如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且，EF＝，则AB与CD所成角的大小为　　　　.
答案　60°
解析　在平面ABD中，过E作EG∥AB，
交DB于点G，连接GF，
如图，
∵，∴，
又，∴，
则GF∥CD，
∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角，
在△EGF中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1，EF＝，
∴cos∠EGF＝＝－，
∴∠EGF＝120°，
∴AB与CD所成角的大小为60°.
四、解答题
13.如图所示，△ABC在平面α外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，求证:P，Q，R三点在同一直线上.
证明　由AB∩α＝P，可知点P∈AB，且AB 平面ABC，
可知点P∈平面ABC，又P∈α，
所以点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可得，点Q，R均在平面ABC与平面α的交线上，
所以P，Q，R三点共线.
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点.求证:
(1)直线AM与CN在同一平面上;
(2)直线AM，BB1和CN交于一点.
证明　(1)如图，连接MN，A1C1.
∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
∵四边形A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，
∴MN∥AC，∴A，M，N，C四点共面，
即AM和CN共面.
(2)由(1)得，MN∥AC且易知MN≠AC，
∴AM与CN相交，设交点为P，
∵P∈AM，AM 平面ABB1A1，
∴P∈平面ABB1A1;
又∵P∈CN，CN 平面BCC1B1，
∴P∈平面BCC1B1，
∵平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，
∴P∈BB1，∴AM，BB1，CN三线交于点P.

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