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第5节　空间直线、平面的垂直
一、单选题
1.(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　)
A.若m∥α，n α，则m∥n
B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D.若m α，α⊥β，则m⊥β
2.下列命题中正确的是 (　　)
A.如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C.如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
5.(2026·承德质检)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E是棱BC上的动点(包括端点)，则满足PE⊥DE的点E有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
6.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
7.(2026·烟台调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　)
A.有且仅有1条 B.有且仅有2条
C.有且仅有3条 D.有无数条
二、多选题
8.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
9.(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D
三、填空题
10.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是　　　　.
11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件:①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的　　　　时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).
12.已知A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，则当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝　　　　.
四、解答题
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若∠ABC＝60°，求证:平面PAB⊥平面PAE.
14.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，M为AC的中点.
(1)求证:平面PBC⊥平面PAB;
(2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN 若存在，求的值;若不存在，请说明理由.
第5节　空间直线、平面的垂直
一、单选题
1.(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　)
A.若m∥α，n α，则m∥n
B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D.若m α，α⊥β，则m⊥β
答案　C
解析　若m∥α，n α，则m∥n或m，n异面，A错误;
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，B错误;
若m∥α，m⊥β，则α⊥β，C正确;
若m α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m β，
D错误.
2.下列命题中正确的是 (　　)
A.如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C.如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案　C
解析　若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确.
3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
答案　C
解析　因为AB＝CB，且E是AC的中点，
所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.
因为AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.
4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
答案　A
解析　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.
∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.
5.(2026·承德质检)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E是棱BC上的动点(包括端点)，则满足PE⊥DE的点E有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案　B
解析　如图，连接AE.
由已知可得PE⊥DE，
PA⊥DE，
又PA∩PE＝P，
所以DE⊥平面PAE，
所以DE⊥AE，所以点E在以AD为直径的圆上，又由几何关系可知，以AD为直径的圆与直线BC相切，
故满足条件的点E只有1个.
6.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
答案　D
解析　由题意知SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，故SD⊥AC，
又四棱锥S－ABCD的底面为正方形，
即AC⊥BD，
而SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，
故AC⊥平面SBD，SB 平面SBD，
故AC⊥SB，A正确;
SD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
故SD⊥AD，
又四棱锥S－ABCD的底面为正方形，
即AD⊥CD，
而SD∩CD＝D，SD，CD 平面SCD，
故AD⊥平面SCD，SC 平面SCD，
故AD⊥SC，B正确;
由于AC⊥平面SBD，AC 平面SAC，
故平面SAC⊥平面SBD，C正确;
SD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
故SD⊥BD，若BD⊥SA，
而SD∩SA＝S，SD，SA 平面SAD，
故BD⊥平面SAD，又AD 平面SAD，
故BD⊥AD，即∠BDA＝90°，
这与正方形ABCD中∠BDA＝45°矛盾，D错误.
7.(2026·烟台调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　)
A.有且仅有1条 B.有且仅有2条
C.有且仅有3条 D.有无数条
答案　D
解析　如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，
连接DE，
当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下:
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，
又MD＝NE，
所以四边形MDEN为平行四边形，
所以MN∥DE.
因为DD1⊥平面ABCD，且DE 平面ABCD，
所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN.
所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，
此时满足条件的直线MN有无数条.
二、多选题
8.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
答案　BD
解析　对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直;
对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ ED＝E，CE，ED 平面CDE，所以AB⊥平面CDE;
对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直;
对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，
因为ED∩CE＝E，ED，CE 平面CDE，
所以AB⊥平面CDE.
9.(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D
答案　BD
解析　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，
则AA1⊥AD，
即·＝0，
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，
则AD⊥BC，即·＝0，
又 ，
所以·＝()···≠0，
则AD与A1C不垂直，故A错误;
因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，
所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，
因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，
则AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1 平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，B正确;
AB∥A1B1，AD与AB相交，
所以AD与A1B1异面，C错误;
CC1∥AA1，CC1 平面AA1D，AA1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，D正确.
三、填空题
10.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是　　　　.
答案　平行
解析　依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，故l⊥平面ABC，
又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC 平面ABC，故m⊥平面ABC，
∴l∥m.
11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件:①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的　　　　时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).
答案　②(或③)
解析　连接AC(图略)，∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD.
∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.
∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC 平面PAC，∴BD⊥PC.
当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
12.已知A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，则当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝　　　　.
答案　2
解析　取AB的中点为E，
连接DE，CE(图略).
由题意知DE⊥AB，当平面ADB⊥平面ABC时，平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ADB，
则DE⊥平面ABC.
因为CE 平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知可得DE＝，CE＝1，
所以在Rt△DEC中，CD＝＝2.
四、解答题
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若∠ABC＝60°，求证:平面PAB⊥平面PAE.
证明　(1)因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD，
所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
14.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，M为AC的中点.
(1)求证:平面PBC⊥平面PAB;
(2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN 若存在，求的值;若不存在，请说明理由.
(1)证明　因为平面PAC⊥平面ABC，PA 平面PAC，PA⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以PA⊥平面ABC，因为BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
又PA＝1，PC＝，PA⊥AC，
所以AC＝.
又AB＝BC＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，
所以AB⊥BC.又PA⊥BC，PA，AB是平面PAB内的两条相交直线，
所以BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB.
(2)解　存在，当时，PC⊥平面BMN，
过点M作MN⊥PC，垂足为N，连接BN，
由(1)知PA⊥平面ABC，
因为MB 平面ABC，所以PA⊥MB.
又M为AC的中点，AB＝BC＝1，
所以MB⊥AC，因为PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
所以MB⊥平面PAC.又PC 平面PAC，
所以MB⊥PC，因为MN⊥PC，MB，MN是平面BMN内的两条相交直线，
所以PC⊥平面BMN.
由已知得sin∠PCA＝，
又MC＝AC＝，
即，得MN＝，
又CN＝，
所以PN＝PC－CN＝，
所以，
故当时，PC⊥平面BMN.

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