资源简介

第6节　空间向量与线面位置关系
一、单选题
1.设x，y∈R，向量a＝(1，x，y)，b＝(2，－4，－2)，a∥b，则x＋y＝(　　)
A.－4 B.－3
C.－2 D.－1
2.若直线l的一个方向向量为a＝(1，－2，－1)，平面α的一个法向量为b＝(5，2，1)，则(　　)
A.l⊥α B.l∥α
C.l α D.l∥α或l α
3.已知a＝(1，0，1)，b＝(1，1，2)，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C.π D.
4.已知向量a＝(1，x，2)，b＝(0，1，2)，c＝(1，0，0)，若a，b，c共面，则x等于(　　)
A.－1 B.1
C.1或－1 D.1或0
5.已知O是坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则||＝(　　)
A.2 B.3
C.8 D.9
6.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A. B.
C. D.
7.在三棱锥P－ABC中，M是平面ABC内一点，且9＝8＋t＋5，则t＝(　　)
A. B.1
C.2 D.3
二、多选题
8.关于空间向量，以下说法正确的是(　　)
A.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B.已知两个向量a＝(1，m，3)，b＝(5，－1，n)，且a∥b，则mn＝－3
C.若a⊥b，且a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D.点M(3，2，1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3，2，1)
9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝2，D为B1C1的中点，则(　　)
A.A1D⊥B1C B.B1C⊥平面A1BD
C.AC1∥平面A1BD D.直线AC1与B1C所成角为
三、填空题
10.若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝　　　　.
11.如图所示，已知空间四边形O－ABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<>的值为　　 　.
12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，以D为坐标原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，已知P在平面A1B1C1D1上，若DP⊥平面ACD1，则点P的坐标是　　　　.
四、解答题
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证:
(1)PB∥平面EFH;
(2)PD⊥平面AHF.
14.如图所示，已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝θ，且θ∈.
(1)求证:CC1⊥BD;
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD 请给出证明.
第6节　空间向量与线面位置关系
一、单选题
1.设x，y∈R，向量a＝(1，x，y)，b＝(2，－4，－2)，a∥b，则x＋y＝(　　)
A.－4 B.－3
C.－2 D.－1
答案　B
解析　∵a∥b，∴，
∴x＝－2，y＝－1，则x＋y＝－3.
2.若直线l的一个方向向量为a＝(1，－2，－1)，平面α的一个法向量为b＝(5，2，1)，则(　　)
A.l⊥α B.l∥α
C.l α D.l∥α或l α
答案　D
解析　由题意可知，a·b＝1×5－2×2－1＝0，
则a⊥b，故l∥α或l α.
3.已知a＝(1，0，1)，b＝(1，1，2)，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C.π D.
答案　B
解析　设向量a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
因θ∈[0，π]，故θ＝，故选B.
4.已知向量a＝(1，x，2)，b＝(0，1，2)，c＝(1，0，0)，若a，b，c共面，则x等于(　　)
A.－1 B.1
C.1或－1 D.1或0
答案　B
解析　因为a，b，c共面，
所以存在实数λ，μ，使a＝λb＋μc，
所以(1，x，2)＝λ(0，1，2)＋μ(1，0，0)，
所以解得x＝1.
5.已知O是坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则||＝(　　)
A.2 B.3
C.8 D.9
答案　B
解析　向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，线段AB的中点为D，
则＝(0，2，3)，
而＝(2，4，4)，
于是＝(－2，－2，－1)，
所以||＝＝3.
6.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　＝－＝－，
故x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
7.在三棱锥P－ABC中，M是平面ABC内一点，且9＝8＋t＋5，则t＝(　　)
A. B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　因为9＝8＋t＋5＝8＋t＋5，
所以14＝8＋t＋5，
即，
又点M是平面ABC内一点，
所以＝1，解得t＝1.
二、多选题
8.关于空间向量，以下说法正确的是(　　)
A.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B.已知两个向量a＝(1，m，3)，b＝(5，－1，n)，且a∥b，则mn＝－3
C.若a⊥b，且a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D.点M(3，2，1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3，2，1)
答案　BCD
解析　对于A，若P，A，B，C四点共面，
则存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ，
即＝λ()＋μ()，
所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ，
且(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，
因为对空间中任意一点O有，
且≠1，
故P，A，B，C四点不共面，A错;
对于B，已知两个向量a＝(1，m，3)，
b＝(5，－1，n)，且a∥b，
设a＝kb，即(1，m，3)＝k(5，－1，n)，
则故mn＝－3，B对;
对于C，若a⊥b，且a＝(x1，y1，z1)，
b＝(x2，y2，z2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，C对;
对于D，点M(3，2，1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3，2，1)，D对.
9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝2，D为B1C1的中点，则(　　)
A.A1D⊥B1C B.B1C⊥平面A1BD
C.AC1∥平面A1BD D.直线AC1与B1C所成角为
答案　AC
解析　由题意，
以A为原点，以AB，AA1，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
可得A(0，0，0)，A1(0，2，0)，B(2，0，0)，
B1(2，2，0)，C(0，0，2)，
C1(0，2，2)，D(1，2，1)，
则＝(1，0，1)，＝(－2，－2，2)，＝(0，2，2)，＝(2，－2，0)，
对于A，由·＝1×(－2)＋0×(－2)＋1×2＝0，则A1D⊥B1C，故A正确;
对于B，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝2，得n＝(2，，－2)，
由于不存在实数λ，使得＝λn，则与n不平行，故B错误;
对于C，由·n＝0×2＋2×＋2×(－2)＝0，则⊥n，
因为AC1 平面A1BD，
所以AC1∥平面A1BD，故C正确;
对于D，由|cos<>|＝≠，
则直线AC1与B1C所成角不为，故D错误.
三、填空题
10.若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝　　　　.
答案　7
解析　因为空间中三点A(1，5，－2)，
B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，所以∥，
所以＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋2)，
所以，解得p＝3，q＝4，
所以p＋q＝7.
11.如图所示，已知空间四边形O－ABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<>的值为　　 　.
答案　0
解析　设＝a，＝b，＝c，
由已知条件得＝＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，
所以⊥，所以cos<>＝0.
12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，以D为坐标原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，已知P在平面A1B1C1D1上，若DP⊥平面ACD1，则点P的坐标是　　　　.
答案　
解析　由题意得，D(0，0，0)，A(1，0，0)，
C(0，2，0)，D1(0，0，1)，
则＝(－1，2，0)，＝(0，2，－1)，
因为点P在平面A1B1C1D1上，
所以设点P(m，n，1)，则＝(m，n，1).
若DP⊥平面ACD1，
则
解得所以点P的坐标是.
四、解答题
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证:
(1)PB∥平面EFH;
(2)PD⊥平面AHF.
证明　(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，
∴PB∥EH.
∵PB 平面EFH，且EH 平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)，
∴＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，
∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴⊥⊥，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF 平面AHF，
∴PD⊥平面AHF.
14.如图所示，已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝θ，且θ∈.
(1)求证:CC1⊥BD;
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD 请给出证明.
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
则＝a－b，
又底面ABCD是菱形，有|a|＝|b|，
则·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cos θ－|c|·|b|cos θ＝0，
∴⊥，则CC1⊥BD.
(2)解　要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥C1D且A1C⊥C1B.
欲使A1C⊥C1D，
则可证明·＝0，
即()·()＝0，
也就是()·()＝0，
即||2－||2＋||·||cos∠BCD－||||cos∠C1CB＝0，
由于∠C1CB＝∠BCD，显然当||＝||时，上式成立.
同理可得，当||＝||时，A1C⊥C1B.
因此，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.

展开更多......

收起↑