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第8节　向量法、几何法求空间距离
1.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.
(1)求B1到直线D1E的距离;
(2)求B1到平面D1EF的距离.
2.(2026·肇庆模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面APC⊥平面PCD.
(1)证明:CD⊥平面PAC;
(2)若AB＝PA＝BC＝3，E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离.
3.(2026·湖州调研)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.
(1)证明:OA⊥BC;
(2)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离.
4.(2026·长沙质检)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
第8节　向量法、几何法求空间距离
1.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.
(1)求B1到直线D1E的距离;
(2)求B1到平面D1EF的距离.
解　(1)以D为原点，
DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，＝(2，1，－2)，＝(0，－1，－2)，
所以B1到直线D1E的距离为＝2.
(2)由(1)得F(0，2，1)，＝(0，2，－1)，
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取y＝2，则x＝3，z＝4，得n＝(3，2，4)，
所以B1到平面D1EF的距离为
.
2.(2026·肇庆模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面APC⊥平面PCD.
(1)证明:CD⊥平面PAC;
(2)若AB＝PA＝BC＝3，E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离.
(1)证明　如图，在平面PAC内，过点A作AH⊥PC，交PC于点H.
因为平面APC⊥平面PCD，平面APC∩平面PCD＝PC，AH 平面PAC，AH⊥PC，
所以AH⊥平面PCD，又CD 平面PCD，
所以AH⊥CD.
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，因为PA∩AH＝A，PA，AH 平面PAC，
所以CD⊥平面PAC.
(2)解　法一　如图，连接BD交AC于点O，连接OE.
易知OE为△PBD的中位线，所以PB∥OE.
因为PB 平面AEC，OE 平面AEC，
所以PB∥平面AEC，所以PB到平面AEC的距离，即为点B到平面AEC的距离.
由(1)知CD⊥平面PAC，又AC 平面PAC，
所以CD⊥AC.
因为AB∥CD，所以AB⊥AC.
因为AB＝BC＝3，所以AC＝4.
因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，
因为CD⊥平面PAC，PC 平面PAC，
所以PC⊥CD，
所以△PAD，△PCD是直角三角形.
所以PD＝，
因为E是PD的中点，
所以AE＝CE＝PD＝，
则S△ACE＝×4×＝3，
S△ABC＝×3×4＝6.
设点B到平面AEC的距离为d，
则V三棱锥B－AEC＝S△ACE·d＝S△ABC·PA，解得d＝，
即PB到平面AEC的距离为.
法二　如图，
连接BD交AC于点O，连接OE.
易知OE为△PBD的中位线，所以PB∥OE.
因为PB 平面AEC，OE 平面AEC，
所以PB∥平面AEC，
所以PB到平面AEC的距离，
即为点B到平面AEC的距离.
由(1)知CD⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，
所以CD⊥AC.
因为AB∥CD，
所以AB⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD，
所以PA，AB，AC两两垂直.
以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，3)，
所以＝(0，4，0)，＝(0，0，3)，
＝(－3，4，0)，
()＝()＝.
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，则x＝1，y＝0，
所以平面AEC的一个法向量为n＝(1，0，1)，
则点B到平面AEC的距离d＝，即PB到平面AEC的距离为.
3.(2026·湖州调研)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.
(1)证明:OA⊥BC;
(2)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离.
(1)证明　因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以OA⊥BC.
(2)解　取OD的中点F，连接CF，
因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，
过点O作OM∥CF交BC于点M，
则OM⊥OD，
所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，－1，0)，C，E，
法一　则，
所以点E到直线BC的距离
d＝＝.
法二　又＝＝，
所以|cos<>|＝＝，
则sin<>＝，
所以点E到直线BC的距离为||sin<>＝×.
4.(2026·长沙质检)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).
设F(0，0，z).
∵由题意可得四边形AEC1F为平行四边形，
∴由，得(－2，0，z)＝(－2，0，2)，
∴z＝2，∴F(0，0，2)，
∴＝(－2，－4，2)，于是||＝2，
即BF＝2.
(2)设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，
由
得
取z＝1，则y＝－，x＝1，
∴n＝.
又＝(0，0，3)，
∴点C到平面AEC1F的距离d＝.

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