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浙江温州环大罗山联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科 试题
一、单选题
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A． B． C． D．
4．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试．已知考生甲答对每一题的概率均为，甲通过测试的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．某地GDP的年平均增长率为，按此增长率，该地GDP翻两番大约需要多少年（ ）
（参考数据：）
A．11年 B．22年 C．25年 D．33年
7．已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数与函数图象两个交点的坐标为，其中，当增大时，的值（ ）
A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、多选题
9．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下：
阳性 阴性 合计
荧光抗体法 150 200
常规培养法 80 200
合计 270 130 400
参考公式：，其中.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
下列表述正确的是（ ）
A．
B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异
C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异
D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若A和B是两个独立事件，则
B．设和B互为对立事件，则
C．若，则
D．若，则
11．已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式组的解集为
B．当时，不等式组的解集可以为的形式
C．不等式组的解集恰好为，那么
D．不等式组解集恰好为，那么
三、填空题
12．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 0.6
其中为常数，则__________.
13．的展开式中，含项的系数为__________．（用数字作答）
14．已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知的展开式的所有二项式系数之和为64，
(1)求的值；
(2)求展开式的常数项．
16．某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：
第天 1 2 3 4 5
高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明；
(2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度．
参考数据：.
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
17．某人进行3场比赛（任何一场比赛均分出胜负），规则如下：第1场获胜的概率为；若上一场获胜，则本场获胜的概率为；若上一场失败，则本场获胜的概率为.
(1)分别求第2场、第3场获胜的概率；
(2)设X为3场中获胜的总场数，求X的数学期望．
18．已知函数，其中为常数，且.
(1)若是奇函数，求的值；
(2)证明：在上有唯一的零点；
(3)设在上的零点为，证明：.
19．俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”．
(1)函数，求的“偏差”；
(2)函数，若的“偏差”为2，求的值；
(3)函数，若的“偏差”取最小值，求a，b的值，并求出“偏差”的最小值.
参考答案
1．C
解析：由题可知：，.
2．B
解析：显然当时，不等式不成立，故A错误；
，故B正确，D错误；
显然当时，不等式不成立，故C错误；
故选：B．
3．C
解析：每个同学报名都有3种情况，共有4个同学，则有种报名方法.
4．A
解析：设考生至少答对其中一道题为事件，则，.
5．B
解析：设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
6．B
解析：设该地原GDP为，需要年翻两番，则，所以.
两边取常用对数得，
所以.
因此大约需要年. 故选B.
7．A
解析：因为是偶函数，，在上单调递减，
所以在上单调递减．
，，
因为，所以，
所以，
所以，故．
8．B
解析：，即，
，又，，
，
，
，当的值增大时，减小，也减小，即的值减小．
9．ACD
解析：A，根据表格数据可知，，A正确；
B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，
零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误；
C，由题意得，
零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确；
D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D正确.
10．BCD
解析：A和B是两个独立事件，则，
，故A错误；
和B互为对立事件，则，即，故B正确；
易知，，
，故C正确；
，故D正确．
11．ABD
解析：由，可得，
A：当，显然，而，即不等式无实数解，对，
B：当，则，而，故，
所以不等式组的解集可以为的形式，对，
C、D：当不等式组解集恰好为，则，
所以，不等式的解集，即的解集为，
所以，可得，其中（此时不满足，舍），
所以或（舍），故，C错，D对.
12．0.4
解：，解得，
，
．
13．119
解：展开式中含有项的系数为：
．
14．
解析：函数定义域为，
，
，
关于直线对称，
当时，函数在上递增，在上递增，
所以在上递减，
又关于对称，所以在上递增.
由得，即，
等价于，解得.
15．(1)
(2)15
解析：（1）由，得；
（2），
，
∴展开式的常数项为.
16．(1)0.995，因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系
(2)，第7天这株幼苗的高度为4.5cm
解析：（1）由，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），，
所以关于的回归直线方程为，
当时，，由此预测第7天这株幼苗的高度为4.5cm.
17．(1)，
(2)
解析：【小问1】
第2场获胜的概率：
设表示“第i场获胜”，已知，则，
根据全概率公式：.
第3场获胜的概率：
已知，则，
根据全概率公式：.
【小问2】
方法1：
为3场中获胜的总场数，的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
，
.
（2）方法2：
设表示第场胜，表示第场败，则服从分布，
且.
根据数学期望具有线性性质：
.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1），易得的定义域为.
若是奇函数，则恒成立，
即，
化简得，解得，经检验满足题意，故；
（2）由题意，，
在上单调递增，
所以函数和在上都是连续增函数，
在上是连续增函数，
又，
∴由零点存在定理可知在上有唯一的零点；
（3）由在上的零点为，则，
，
即，
由（2）可知，，且在上单调递增，所以，
易知函数在上单调递减，
又，
，
.
19．(1)3
(2)
(3)，.
解析：（1），
因为，所以，则，
所以函数与的“偏差”为3；
（2）令，
是单调减函数，，
由题意，，且.
当，即时，，解得或，不符合；
当，即时，或，
解得或（舍），
所以；
（3），
方法1：构造平口单峰函数
，
，
构造，易知，
在处取得最小值4．
平口线切线：，（切点为）
最佳逼近直线为，
则：，
此时的“偏差”的最小值为.
方法2：斜口单峰函数
构造，计算端点值：，封口线斜率.
求导，令，解得切点横坐标，对应．
封口线方程：，切线方程：，
最佳逼近直线为，
则：，
此时的“偏差”的最小值为，
方法3：
，
则，
，
，当且仅当，
即取等，的“偏差”的最小值为．

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