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浙江省稽阳联谊学校2026届高三下学期4月联考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．70 D．56
3．已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．2026
6．已知数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A．1025 B．1023 C． D．
7．某无人机在风速为的西风（西风是从西面吹来的风）中，以的航速沿北偏西方向飞行，则当无风时无人机的航速和航向为（ ）
A．航速为，方向为北偏西 B．航速为，方向为北偏西
C．航速为，方向为北偏西 D．航速为，方向为北偏西
8．已知函数在内恰好有2027个零点，则实数与正整数的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
C．决定系数越小，模型的拟合效果越好
D．样本相关系数越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越强
10．设函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．在区间上单调递增
B．函数是奇函数
C．直线与曲线的公共点个数不相等
D．直线与曲线有且仅有一个公共点
11．已知四面体的内切球球心为，棱，的中点分别为，，若，，三点共线，则（ ）
A．点到的距离等于点到的距离 B．无法确定，的面积大小关系
C．，且 D．四面体的外接球球心恒在直线上
三、填空题
12．______．
13．已知等比数列的首项为2，若，，成等差数列，则的前项和为______．
14．已知双曲线，左顶点为，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，（在的上方），设点，，在轴上的投影分别为，，，直线平分，则双曲线的离心率为______．
四、解答题
15．已知的内角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
16．某中学数学竞赛培训共开设有代数、平面几何、数论、组合四门课程，要求代数、平面几何都要合格，且数论和组合至少有一门合格才能取得参加数学竞赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．
课程 代数 平面几何 数论 组合
合格的概率
(1)若已知甲同学取得参加数学竞赛的资格，求甲同学四门课程都合格的概率；
(2)记X表示三位同学中取得参加数学竞赛的资格的人数，求X的分布列及期望．
17．如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形．

(1)设为与的交点，在棱上，且．
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求三棱锥的体积；
(2)设是棱（不含端点）上一个动点，若平面与平面的夹角的余弦值是，求线段的长度．
18．已知椭圆的左焦点为，直线，动点到的距离与到直线的距离相等．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作斜率分别为，的直线，，且交于，两点，交于，两点，若直线平行于直线（，均在的右侧）．
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）求的取值范围．
19．已知函数．
(1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
(2)设正数满足，证明：．
参考答案
1．C
解析：先求解集合，解不等式，因式分解得，解得，即.
已知，根据交集定义得.
2．C
解析：的展开式的通项公式为，令得，
故，故系数为70．
3．B
解析：因为抛物线的标准方程为，
所以，，准线方程为，
因为是上一点，，，
所以，解得．
故选：B．
4．D
解析：圆的圆心，半径，直线过点，
而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
由，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
5．C
解析：因为是定义在上的奇函数，所以，
又因为，所以函数的图象关于直线对称.
所以，
所以，
所以函数是周期为8的周期函数，.
6．A
解析：因为，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列，
故，即，
令，得．
7．A
解析：设表示风速，表示有风时无人机的航速，表示无风时无人机的航速，如图所示．
由题，，，
，故，
又，
所以，在直角中，，则，
故航速为，方向为北偏西．
8．B
解析：法1：当，即时，此时，方程不成立，
因而可等价于，．
令，．显然函数的最小正周期为，且为奇函数，
故研究在时，图象与的交点情况即可．
由，故为图象的一条对称轴，
由复合函数的单调性可知，在区间上单调递增，且值域为．
在区间上单调递减，且值域为．
因为为奇函数，故当时，单调递减，值域为，
当时，单调递增，值域为，
因而在一个周期上，
当时，图象与在上无交点，在上有2个交点；
当时，图象与在上有2个交点，在上没有交点；
当时，图象与在与上均有2个交点；
由函数的周期性可知，当时，图象与在上总有偶数个交点，
从而不存在正整数，使得图象与在内恰有2027个交点．
又当或时，图象与在上有3个交点，
由周期性，所以有2025个解，
因而在必须有2个解，所以，．
法2：，令，
则．．故有两个根，
设为，，则，
在内恰好有2027个零点，
因为为奇数，所以为奇数，中有一个根为，
且，故需有两个根，
需，，满足要求，
此时时可产生3个根，故，
将代入得．
9．AB
解析：对于A，因为随机变量，
由正态分布的性质可得，故A正确；
对于B，残差平方和是指每个样本点的残差的平方和，残差平方和越小，说明模型对数据的预测值与实际值的偏差越小，拟合效果越好，故B正确；
对于C，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故C错误；
对于D，样本相关系数越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误.
10．BCD
解析：函数的定义域为R，求导得，
对于A，当时，，函数在上单调递减，A错误；
对于B，，
令函数，其定义域为R，，
函数是奇函数，B正确：
对于C，由，得或，函数在上单调递增，
在上单调递减，则，，
又，因此直线与曲线的公共点个数分别为3和2，C正确；
对于D，由消去得，，
令函数，求导得，
当且仅当时取等号，函数在R上单调递增， ，
函数有唯一零点，因此直线与曲线有且仅有一个公共点，D正确.
11．ACD
解析：为内切球球心，
到面和面距离相等．
在上，
．
，，
所以到面的距离与到面距离相等，即．
，
．
是两三角形的公共边，
、到的距离相等，同理、到的距离也相等，故A正确，B错误.
下证为、的公垂线．
设、在上的射影分别为、．
由，故可以认为、是在以为轴，以为半径的圆柱面上．
过的中点作平面与轴垂直，则这个平面平分线段，因此，这个平面过点．
设在圆柱上底面的射影为，则在上底面的射影为的中点．
因为，，
所以．
于是面，．
这说明是和的公垂线，即和的公垂线经过的中点．
同理，它们的公垂线也经过的中点．即为它们的公垂线，故正确.
下证的中垂面与相交．
否则，．
过分别作平面与垂直，则，，，
注意到，，，从而，，这与矛盾．
于是的中垂面与相交．
设中垂面与交于点，则．
又为的公垂线且、分别为、的中点，所以，．
故，即为四面体外接球的球心，且在上．故正确.
12．
解析：因为，所以.
13．或
解析：，，为等差数列，
则，
得或1，
所以或,
则或．
14．
解析：设，，，如图：
由题意知，，，，
因为在的上方，所以，
所以，，，
因为直线平分，所以，
所以，即，
所以，代入相应数据得，
整理得；①
因为切点弦的方程为，即，
联立切点弦与双曲线的方程得，
消去x得，所以，
代入①式得，所以，所以．
15．(1)
(2)
(3)
解析：（1）已知，由正弦定理得
，
，又，则，得，
由，故.
（2）由（1）知，，由余弦定理，则．
，，又，解得，.
（3）因为，，，由正弦定理得，且，则为锐角，故，
故.
16．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
解析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件，，，，则事件，，，相互独立．
记“甲同学取得参加数学竞赛的资格”为事件，则
，
记“甲同学四门课程都合格”为事件，故所求概率为．
（2）由题意知，的所有可能取值为，，，，．
所以的分布列为
0 1 2 3
故．（或）
17．(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；
(2)
解析：（1）（ⅰ），，
，
，，
，
平面，平面，
平面．
（ⅱ）取的中点，连接，则，

因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
；
（2）取的中点，因为平面，所以，
所以，，两两垂直，
所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．
所以，，
设平面的法向量为．
由，得，取，
即．
设，，
则，
同理：平面的法向量，
设平面与平面的所成角为，
则，解得，
所以．
故线段的长度为．
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
解析：（1）设，设点到直线的距离为，
，椭圆的左焦点为的坐标为，
，化简得．
（2）（ⅰ）如图，作出符合题意的图形，
法一：设直线，，
直线，，联立方程组，
得，得到，
联立方程组，得，
得到，
，，得到，
所以，
故，，
令，，可得，
得到，．
法二：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
根据焦半径公式得，可得，
而，得到，
，，得到，
则
，得证．
（ⅱ）由已知得，，
而，
，
结合图形可得，则，
，得，相似于，
得，令，由，得．
又，而
，所以，
解得，．
19．(1)
(2)证明见解析
解析：（1）因为，
所以，即，
所以.
令，则，
所以在上单调递增，且当时，，则，
所以实数的取值范围是．
（2）由（1）知，取，则成立，
所以，，，
以上个式子累加得．
右边得证；
令，在处的切线方程为，
构造函数，则，
当时，，所以在上单调递减，
同理，在上单调递增，
所以，即，
所以，，，
所以，
，，
累加可得
，左边得证.
综上，可得证．

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