资源简介

广东省佛山市2025-2026学年九年级模拟考试数学试卷
1．如图，小王某日收到微信红包20元，在超市扫码支付15元，此时收支情况是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意列式计算可得：
（元），
最终收支结余为元.
故答案为：C.
【分析】本题先根据题意得到收支对应的有理数，再通过有理数加法法则计算出最终的结果，即可得到收支情况.
2．数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；截一个几何体；简单几何体的三视图；中心投影
【解析】【解答】解：A、圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意；
B、竖直放置的圆柱的左视图是矩形，符合题意；
C、球体的截面是圆，不符合题意；
D、三角板的中心投影是三角形，不符合题意 ．
故答案为：B.
【分析】本题需要结合立体图形的展开图、三视图、截面以及投影的相关知识，分别根据圆锥、圆柱、球体和三角板各自的几何特点，对每个选项中得到的平面图形形状逐一判断，即可得到正确结果.
3．2025年是“十四五”规划收官之年，也是中国式现代化进程中具有重要意义的一年，国内生产总值首次跃上140万亿元新台阶，比上年增长．将140万亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将140万亿用科学记数法表示应为．
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原运算正确；
B、， 故此选项原运算错误；
C、， 故此选项原运算错误；
D、， 故此选项原运算错误．
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；由单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘的积作为积的因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此可判断C选项；由单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除的商作为商的因式，对于只在被除式含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此可判断D选项.
5．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵图中所示的是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形，
∴每个内角度数，
设该正多边形边数为n，
则120n=(n-2)×180
解得n=6
∴这种正多边形是正六边形．
故答案为：D.
【分析】由于正多边形每一个内角都相等，从而根据图形结合周角定义可求出该正多边形每一个内角的度数为120°，设该正多边形边数为n，则该正多边形内角和可表示为120n或(n-2)×180°，由该多边形内角和是定值列出方程，求解即可.
6．如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补，并结合∠A的度数可求出∠ACD的度数.
7．不透明的袋子中装有个红球、个绿球，这个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，有个红球分别用表示、个绿球用表示，
共有6种等可能结果，其中相同的有2种，
∴颜色相同的概率是，
故选：C ．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两个球颜色相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：圆弧经过，，三点，连接，，
圆心在和垂直平分线的交点，
半径．
故答案为：B.
【分析】连接AB、BC，利用方格纸的特点作出弦AB及BC的垂直平分线，由垂径定理的推论“垂直平分弦的直线一定经过圆心”可得AB、BC垂直平分线的交点一定是该圆弧所在圆的圆心，从而再结合方格纸的特点，利用勾股定理即可算出该圆弧所在圆的半径.
9．在力（单位：N）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：m），则力所做的功（单位：J）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示．在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，则力（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵物体在力的作用下的位移小于，
∴，解得；
即力大于5N．
故答案为：A.
【分析】由图象可知S与F之间是反比例函数关系，结合（10，50），由待定系数法求出s关于f的函数解析式，然后结合s＜100建立不等式，求解即可得出F的取值范围.
10．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：设生态保护区右下角的顶点为，
从村庄到公路不能穿过生态保护区，
到的最短路径需经过点，即路径为，
总路程为，
为定值，
要使总路程最短，只需最短，
点在直线上方，点在直线下方，
根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小，
即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征．
故答案为：A.
【分析】 设生态保护区右下角的顶点为A， 从M村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知M到P的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点A，总路程为MA+PA+PN，由于MA为定值，故要使总路程最短，只需要满足AP+PN最短，根据两点之间线段最短，故连接AN交直线l于点P，此时PN+AP=AN最短，观察图形即可得出结论.
11．计算：|﹣ |=　 　．
【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣ |= ．
故答案为： ．
【分析】根据一个负实数的绝对值等于它的相反数求解即可．本题考查了实数绝对值的定义：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．若 则m+n=　 　.
【答案】0
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对等式左边的多项式进行因式分解： x2 1=(x+1)(x 1) ；
将右边的式子展开： (x m)(x n)=x2 (m+n)x+mn
∵x2 1=(x m)(x n)，
∴x2 1=x2 (m+n)x+mn
根据多项式相等的条件，对应项的系数必须相等：
一次项系数： (m+n)=0
常数项：mn= 1
由一次项系数可得： m+n=0
故答案为：0 .
【分析】本题是一道基础的代数运算题，解题思路分为两步：首先因式分解，利用平方差公式，将等式左边的 x2 1 分解为(x+1)(x 1)。再对应系数相等：将等式右边的 (x m)(x n) 展开，得到标准的二次三项式形式，然后根据多项式相等时对应项系数相等的原则，直接读出一次项的系数关系，求出m+n 的值。
13．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为　 　．
【答案】51°
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵为圆的直径，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：51°.
【分析】连接AD，由直径所对的圆周角为90°得出∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等得出∠ADC=∠ABC=39°，从而利用那个角的和差可求出∠CDB的度数.
14．已知的一个平方根是，则的立方根是　 　．
【答案】4
【知识点】平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：根据平方根的定义可知，如果一个数的平方根是a，那么这个数就是a2，
∴，
∵，
再根据立方根的定义，即可得到的立方根是，也就是的立方根为．
故答案为：4.
【分析】如果一个数a2=x（x≥0），则a就是x的平方根，据此求出x的数值，再根据如果一个数b3=y，则b就是y的立方根可求出x的立方根.
15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为　 　．
【答案】15
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，从上到下，第1层共有1个小球，第2层共有3个小球，也就是，
第3层共有6个小球，也就是，
，
以此类推，第层的小球总数为个，
当时，计算可得第5层的小球个数为．
故答案为：15.
【分析】先结合题目给出的堆叠图形，整理各层小球数量和层数的规律，推导出第层的小球总数为，最后将代入计算得到结果即可．
16．如图，直线是一次函数的图象，求出函数的表达式．
【答案】解：由图象可知，直线经过点，，
把点，代入得：，
解得，
所以一次函数的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】根据函数的图象可得直线经过点，，然后将这两点坐标分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式.
17．低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业．佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的行程，经无人机配送缩短至，配送时间也较传统方式节省．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的3倍，求无人机的配送速度（单位：）．
【答案】解：设传统方式配送速度为，则无人机配送速度为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：无人机配送速度为
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设传统方式配送速度为xkm/h，则无人机配送速度为3xkm/h，根据路程除以速度等于时间及无人机配送比传统配送方式节省12min列出方程，求解并检验后再求出3x的值即可.
18．如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④．
（1）任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明．
（2）在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度．
【答案】（1）解：①③④ ②．（答案不唯一）
已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，．
求证：．
证明过程如下：
∵，，， ，
∴．
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，即．
由(1)可知，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）选择①③④作为条件，②作为结论：证明如下：由线段构成及等量加等量和相等推出BC=EF，从而利用“SAS”可判断出△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应边相等得出AC=DF；
（2）由三角形全等的对应角相等得出，由同位角相等，两直线平行推出，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出，最后由BC=EF=2可得出 ，求解得出EC，最后根据线段和差，由BE=BC-EC可算出答案.
（1）解：①③④ ②．（答案不唯一）
已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，．
求证：．
证明过程如下：
∵，，， ，
∴．
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：由(1)知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，即．
由(1)可知，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴．
19．某新能源汽车协会为研究用户对车型的偏好，针对三款同价位车型（A、B、C）开展调研．协会从200名潜在用户中随机抽取10名（编号为①～⑩），让其分别对三款车型的驾驶体验和外观设计进行评分（采用1～10分制，评分均为整数，分值越高表示满意度越高）．现收集数据如表1，并根据收集到的数据，绘制统计图表（表2和图1）．
表1：三款车型驾驶体验评分表
序号 车型 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
车型A 7 7 5 7 7 8 7 8 9 7
车型B 8 6 9 8 8 7 10 7 8 9
车型C 8 5 6 7 9 6 7 7 7 6
表2：三款车型驾驶体验、外观设计评分统计表
评分 车型 驾驶体验 外观设计
平均分 中位数 平均分 中位数
车型A 7.2 7 7.9 7
车型B 7.3 7
车型C 6.8 7 8
分析并应用数据：
（1）根据表1，表2中__________，__________，估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数；
（2）已知表2中车型C的外观设计评分中位数为8，且评分唯一众数为8，请结合这些统计量，推测车型C的外观设计平均分的最大值，说明理由并补全图1；
（3）调研发现，车型C的外观设计平均分实际为8.4分，部分用户对驾驶体验和外观设计的重视程度比例为，依据三款车型的综合平均得分，为这部分用户推荐一款车型．
【答案】（1）8；8
解：10位评分者中有②⑥⑧⑨四位给了车型A驾驶体验最高分，
估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数有人；
（2）解：已知车型C外观设计评分中位数为8分，则将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是8，前四个数不超过8，后四个数不小于8；
为使平均分变大，则前后各四个数都取大；
考虑唯一众数为8分，则当前四个数都取8、后四个数都取10时，平均分最大；
所以最大，
补全图如图所示：
（3）解：车型A得分：分，
车型B得分：分，
车型C得分：分，
因为，所以推荐车型B.
【知识点】统计表；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：；
车型B得分从小到大排序：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10；
第五个和第六个都是8，所以中位数；
故答案为：8；8；
【分析】（1）根据评分表提供的车型B的体验得分结合平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数及中位数是将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数可求出a、b的值；用200乘以样本中对车型A驾驶体验给出最高分的人数的占比即可估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数；
（2）根据中位数定义结合车型C的外观设计评分中位数为8可得将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是8，前四个数不超过8，后四个数不小于8，为使平均分变大，则前后各四个数都取大，结合唯一众数为8分，则当前四个数都取8、后四个数都取10时，平均分最大，从而再根据平均数计算方法求出C的最大值；进而不安全条形统计图即可；
（3）计算各车型加权平均数，再比较即可解答．
（1）解：；
车型B得分从小到大排序：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10；
第五个和第六个都是8，所以中位数；
10位评分者中有②⑥⑧⑨四位给了车型A驾驶体验最高分，
估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数有人；
（2）解：已知车型C外观设计评分中位数为8分，则将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是8，前四个数不超过8，后四个数不小于8；
为使平均分变大，则前后各四个数都取大；
考虑唯一众数为8分，则当前四个数都取8、后四个数都取10时，平均分最大；
所以最大，
补全图如图所示：
；
（3）解：车型A得分：分，
车型B得分：分，
车型C得分：分，
因为，所以推荐车型B．
20．已知抛物线（，为常数）．
（1）若抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，求该抛物线的表达式；
（2）若点、在抛物线上，当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式；
（2）解：∵点、在抛物线上，
∴，，
∴，
∴当时，，即，
∴或，
解得或．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，则，联立两方程求解即可；
（2）把点、分别代入，表示出y1与y2，然后根据整式减法法则求出y1-y2的值，进而将所得差利用十字相乘法分解因式，根据y1＜y2可得y1-y2＜0，从而整体代入列出关于字母b的不等式组，求解不等式组即可.
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式；
（2）解：∵点、在抛物线上，
∴，，
∴，
∴当时，，即，
∴或，
解得或．
21．初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究．
【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）：
停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度
平行式 6 2.4 3.8
斜停式 30° 5.3 2.4 3.8
45° 5.3 2.4 3.8
60° 5.3 2.4 4.2
垂直式 5.3 2.4 5.5
【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）：
，
30° 4.8 4.8
45° 5.5 3.4
60° 5.8 2.8
【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长，宽的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据：，）
【答案】解：方案一：平行式
沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：，
可设计个：
沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道，
最小宽度为：，
所以停车位数量为个；
方案二：垂直式
沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
方案三：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，
设此时车位数为个，
则，
解得，，取，故可设计停车位数量为8个；
方案四：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
方案五：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位14个.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据教学楼与围墙之间尺寸（长42m，宽9m）和三种停车方式（平行式、垂直式，斜停式）的车位尺寸，通道宽度要求分方案分别判断宽度可行性及计算出车位数，再比较即可得出答案.
22．已知在平面直角坐标系中，，点是直线上的动点，以为边作正方形，点，，，按顺时针方向排序．
（1）如图，若点在轴上，求点的坐标；
（2）当点不与原点重合时，
①连接，猜想与的数量关系，直接写出结论；
②过点作轴，垂足为，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
，
点在轴上，
轴，
点，
，
点在上，
当时，，
，
，
点坐标为，
轴，
点的坐标为；
（2）解：①或；
②是定值，．理由如下：
过点B作于点，过点作轴于点，过点A作交于点G，
当点B在第三象限时，
，
四边形是矩形，
，，
在正方形中，，，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，在直线上，
，，
，
，
；
当点B在第一象限时，如图
，
四边形是矩形，
，
同理可证，四边形是矩形，
，，
点在直线上，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
综上，为定值，．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正比例函数的性质
【解析】【解答】（2）解：①猜想：或．
当点在第一象限时，
证明：四边形是正方形，
，，
由（1）知，
在中，，
，
，
；
当点在第三象限时，
如图，在中，，
，
∵四边形ABCD是正方形，∴，即，
∴
【分析】（1）先根据点D在x轴上及正方形性质可得AB⊥x轴，根据点的坐标与图形性质可得A、B两点横坐标相同都为2，然后将x=2代入y=x可得y=2，则B(2，2)，再利用正方形的边长相等得出AD=AB=2，则可得D(4，0)，最后再根据正方形对边平行及点的坐标与图形性质可得到C(4，2)；
（2）①需分两种情况讨论：当点B在第一象限时，由正方形性质得，由（1）知是等腰直角三角形得∠AOB=45°，根据三角形的内角和定理、等量代换可推出∠ABO+∠BAC+∠OAB=180°，结合角的构成即可得出∠OAC+∠ABO=180°；当点在第三象限时， 由三角形内角和定理及（1）的结论得出∠ABO+∠OAB=45°，由角的构成及正方形的每一条对角线平分一组对角得出∠OAB+∠OAC=45°，从而由等式性质推出∠ABO=∠OAC；
②同样分两种情况：过作于，过作轴于，过作交于，当点B在第三象限时，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EBFH是矩形，由矩形对边相等得BF=EH；由正方形性质得AB=BC，由角的构成及同角的余角相等推出∠CBE=∠ABF，然后利用“AAS”证△BCE≌△BAG，由全等三角形的对应边相等得；由三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AOFG是矩形，由矩形对边相等得AG=OF；由在y=x上知△BOF是等腰直角三角形，得OF=BF=EH=CE，由线段和差及等量代换得出CH=2OF，用勾股定理得，故为定值；第一象限时同理可证．
（1）解：四边形是正方形，
，
点在轴上，
轴，
点，
，
点在上，
当时，，
，
，
点坐标为，
轴，
点的坐标为；
（2）解：①猜想：或．
当点在第一象限时，
证明：四边形是正方形，
，
，
由（1）知，
在中，，
，
，
；
当点在第三象限时，，
如图，在中，，
，
中，由（1）知，即，
，
，即
②是定值，．理由如下：
过点B作于点，过点作轴于点，过点A作交于点G，
当点B在第三象限时，
，
四边形是矩形，
，，
在正方形中，，，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，在直线上，
，，
，
，
；
当点B在第一象限时，如图
，
四边形是矩形，
，
同理可证，四边形是矩形，
，，
点在直线上，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
综上，为定值，．
23．【问题情境】
如图1，小王将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在折痕上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
【实践操作】
（1）尺规作图：当点与点重合时，在图2中作出折痕；
【问题解决】
（2）如图3，若，，点，，在同一条直线上，求的长；
【深入探究】
（3）在【问题情境】的折叠操作中，设，．从下列两个问题中任选一个进行解决：
①连接，当，满足什么数量关系时，与始终平行？请说明理由；
②若点是边的中点，求的最大值．
【答案】解：（1）如图，线段为所作；
（2）过点C作于点G，如图，
在矩形中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在矩形中，，
∴，
由折叠知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）选①，记与的交点为点，如图，
若与平行，则，
由折叠得，
∴，
∴AB=AO，
又，
∴为等边三角形，故，
∴在中，，即，
∴要使与平行，只需，
故当，且B与不重合时，与始终平行；
选②，过点E作，垂足为点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质可得折迹EF是BD的垂直平分线，从而利用尺规作线段垂直平分线的方法作出BD的垂直平分线即可；
（2）过点C作CG⊥BD于点G，由矩形性质得∠BCD=90°，CD=AB=4，从而利用勾股定理算出BD；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CDB∽△GDC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DG的长；由平行线的性质、折叠性质及对顶角相等可推出∠2=∠3=∠1=∠4，由等角对等边得出CB'=CD，由等腰三角形的三线合一得出DB'=2DG，最后根据BB'=BD-B'D可算出答案；
（3）选①，记AC与BD的交点为点O，若A'B'∥AC，由二直线平行，同位角相等得∠3=∠AOB，由折叠得∠2=∠3，则∠2=∠AOB，由等角对等边得出AB=AO，由矩形对角线相等且互相平分得出OA=OB，从而根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ABO为等边三角形，由等边三角形的每一个内角偶等于60°得出∠BAC=60°，在Rt△ABC中，由∠BAC的正切函数及特殊锐角三角函数值可得，从而即可得出结论；
选②，过E作EH⊥BC于H，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABHE是矩形，由矩形性质得EH=AB=a，由折叠性质得EF⊥BD，由直角三角形两锐角互余、角的构成、平角定义及同角的余角相等推出∠AEF=∠ADB，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△EHF∽△DAB，由相似三角形对应边成比例建立方程求得，据此计算即可求解．
1 / 1广东省佛山市2025-2026学年九年级模拟考试数学试卷
1．如图，小王某日收到微信红包20元，在超市扫码支付15元，此时收支情况是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．2025年是“十四五”规划收官之年，也是中国式现代化进程中具有重要意义的一年，国内生产总值首次跃上140万亿元新台阶，比上年增长．将140万亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形
6．如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．不透明的袋子中装有个红球、个绿球，这个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．在力（单位：N）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：m），则力所做的功（单位：J）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示．在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，则力（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
10．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
11．计算：|﹣ |=　 　．
12．若 则m+n=　 　.
13．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为　 　．
14．已知的一个平方根是，则的立方根是　 　．
15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为　 　．
16．如图，直线是一次函数的图象，求出函数的表达式．
17．低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业．佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的行程，经无人机配送缩短至，配送时间也较传统方式节省．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的3倍，求无人机的配送速度（单位：）．
18．如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④．
（1）任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明．
（2）在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度．
19．某新能源汽车协会为研究用户对车型的偏好，针对三款同价位车型（A、B、C）开展调研．协会从200名潜在用户中随机抽取10名（编号为①～⑩），让其分别对三款车型的驾驶体验和外观设计进行评分（采用1～10分制，评分均为整数，分值越高表示满意度越高）．现收集数据如表1，并根据收集到的数据，绘制统计图表（表2和图1）．
表1：三款车型驾驶体验评分表
序号 车型 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
车型A 7 7 5 7 7 8 7 8 9 7
车型B 8 6 9 8 8 7 10 7 8 9
车型C 8 5 6 7 9 6 7 7 7 6
表2：三款车型驾驶体验、外观设计评分统计表
评分 车型 驾驶体验 外观设计
平均分 中位数 平均分 中位数
车型A 7.2 7 7.9 7
车型B 7.3 7
车型C 6.8 7 8
分析并应用数据：
（1）根据表1，表2中__________，__________，估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数；
（2）已知表2中车型C的外观设计评分中位数为8，且评分唯一众数为8，请结合这些统计量，推测车型C的外观设计平均分的最大值，说明理由并补全图1；
（3）调研发现，车型C的外观设计平均分实际为8.4分，部分用户对驾驶体验和外观设计的重视程度比例为，依据三款车型的综合平均得分，为这部分用户推荐一款车型．
20．已知抛物线（，为常数）．
（1）若抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，求该抛物线的表达式；
（2）若点、在抛物线上，当时，求的取值范围．
21．初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究．
【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）：
停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度
平行式 6 2.4 3.8
斜停式 30° 5.3 2.4 3.8
45° 5.3 2.4 3.8
60° 5.3 2.4 4.2
垂直式 5.3 2.4 5.5
【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）：
，
30° 4.8 4.8
45° 5.5 3.4
60° 5.8 2.8
【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长，宽的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据：，）
22．已知在平面直角坐标系中，，点是直线上的动点，以为边作正方形，点，，，按顺时针方向排序．
（1）如图，若点在轴上，求点的坐标；
（2）当点不与原点重合时，
①连接，猜想与的数量关系，直接写出结论；
②过点作轴，垂足为，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
23．【问题情境】
如图1，小王将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在折痕上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
【实践操作】
（1）尺规作图：当点与点重合时，在图2中作出折痕；
【问题解决】
（2）如图3，若，，点，，在同一条直线上，求的长；
【深入探究】
（3）在【问题情境】的折叠操作中，设，．从下列两个问题中任选一个进行解决：
①连接，当，满足什么数量关系时，与始终平行？请说明理由；
②若点是边的中点，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意列式计算可得：
（元），
最终收支结余为元.
故答案为：C.
【分析】本题先根据题意得到收支对应的有理数，再通过有理数加法法则计算出最终的结果，即可得到收支情况.
2．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；截一个几何体；简单几何体的三视图；中心投影
【解析】【解答】解：A、圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意；
B、竖直放置的圆柱的左视图是矩形，符合题意；
C、球体的截面是圆，不符合题意；
D、三角板的中心投影是三角形，不符合题意 ．
故答案为：B.
【分析】本题需要结合立体图形的展开图、三视图、截面以及投影的相关知识，分别根据圆锥、圆柱、球体和三角板各自的几何特点，对每个选项中得到的平面图形形状逐一判断，即可得到正确结果.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将140万亿用科学记数法表示应为．
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原运算正确；
B、， 故此选项原运算错误；
C、， 故此选项原运算错误；
D、， 故此选项原运算错误．
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；由单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘的积作为积的因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此可判断C选项；由单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除的商作为商的因式，对于只在被除式含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵图中所示的是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形，
∴每个内角度数，
设该正多边形边数为n，
则120n=(n-2)×180
解得n=6
∴这种正多边形是正六边形．
故答案为：D.
【分析】由于正多边形每一个内角都相等，从而根据图形结合周角定义可求出该正多边形每一个内角的度数为120°，设该正多边形边数为n，则该正多边形内角和可表示为120n或(n-2)×180°，由该多边形内角和是定值列出方程，求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补，并结合∠A的度数可求出∠ACD的度数.
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，有个红球分别用表示、个绿球用表示，
共有6种等可能结果，其中相同的有2种，
∴颜色相同的概率是，
故选：C ．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两个球颜色相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：圆弧经过，，三点，连接，，
圆心在和垂直平分线的交点，
半径．
故答案为：B.
【分析】连接AB、BC，利用方格纸的特点作出弦AB及BC的垂直平分线，由垂径定理的推论“垂直平分弦的直线一定经过圆心”可得AB、BC垂直平分线的交点一定是该圆弧所在圆的圆心，从而再结合方格纸的特点，利用勾股定理即可算出该圆弧所在圆的半径.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵物体在力的作用下的位移小于，
∴，解得；
即力大于5N．
故答案为：A.
【分析】由图象可知S与F之间是反比例函数关系，结合（10，50），由待定系数法求出s关于f的函数解析式，然后结合s＜100建立不等式，求解即可得出F的取值范围.
10．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：设生态保护区右下角的顶点为，
从村庄到公路不能穿过生态保护区，
到的最短路径需经过点，即路径为，
总路程为，
为定值，
要使总路程最短，只需最短，
点在直线上方，点在直线下方，
根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小，
即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征．
故答案为：A.
【分析】 设生态保护区右下角的顶点为A， 从M村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知M到P的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点A，总路程为MA+PA+PN，由于MA为定值，故要使总路程最短，只需要满足AP+PN最短，根据两点之间线段最短，故连接AN交直线l于点P，此时PN+AP=AN最短，观察图形即可得出结论.
11．【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣ |= ．
故答案为： ．
【分析】根据一个负实数的绝对值等于它的相反数求解即可．本题考查了实数绝对值的定义：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．【答案】0
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对等式左边的多项式进行因式分解： x2 1=(x+1)(x 1) ；
将右边的式子展开： (x m)(x n)=x2 (m+n)x+mn
∵x2 1=(x m)(x n)，
∴x2 1=x2 (m+n)x+mn
根据多项式相等的条件，对应项的系数必须相等：
一次项系数： (m+n)=0
常数项：mn= 1
由一次项系数可得： m+n=0
故答案为：0 .
【分析】本题是一道基础的代数运算题，解题思路分为两步：首先因式分解，利用平方差公式，将等式左边的 x2 1 分解为(x+1)(x 1)。再对应系数相等：将等式右边的 (x m)(x n) 展开，得到标准的二次三项式形式，然后根据多项式相等时对应项系数相等的原则，直接读出一次项的系数关系，求出m+n 的值。
13．【答案】51°
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵为圆的直径，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：51°.
【分析】连接AD，由直径所对的圆周角为90°得出∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等得出∠ADC=∠ABC=39°，从而利用那个角的和差可求出∠CDB的度数.
14．【答案】4
【知识点】平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：根据平方根的定义可知，如果一个数的平方根是a，那么这个数就是a2，
∴，
∵，
再根据立方根的定义，即可得到的立方根是，也就是的立方根为．
故答案为：4.
【分析】如果一个数a2=x（x≥0），则a就是x的平方根，据此求出x的数值，再根据如果一个数b3=y，则b就是y的立方根可求出x的立方根.
15．【答案】15
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，从上到下，第1层共有1个小球，第2层共有3个小球，也就是，
第3层共有6个小球，也就是，
，
以此类推，第层的小球总数为个，
当时，计算可得第5层的小球个数为．
故答案为：15.
【分析】先结合题目给出的堆叠图形，整理各层小球数量和层数的规律，推导出第层的小球总数为，最后将代入计算得到结果即可．
16．【答案】解：由图象可知，直线经过点，，
把点，代入得：，
解得，
所以一次函数的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】根据函数的图象可得直线经过点，，然后将这两点坐标分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式.
17．【答案】解：设传统方式配送速度为，则无人机配送速度为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：无人机配送速度为
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设传统方式配送速度为xkm/h，则无人机配送速度为3xkm/h，根据路程除以速度等于时间及无人机配送比传统配送方式节省12min列出方程，求解并检验后再求出3x的值即可.
18．【答案】（1）解：①③④ ②．（答案不唯一）
已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，．
求证：．
证明过程如下：
∵，，， ，
∴．
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，即．
由(1)可知，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）选择①③④作为条件，②作为结论：证明如下：由线段构成及等量加等量和相等推出BC=EF，从而利用“SAS”可判断出△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应边相等得出AC=DF；
（2）由三角形全等的对应角相等得出，由同位角相等，两直线平行推出，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出，最后由BC=EF=2可得出 ，求解得出EC，最后根据线段和差，由BE=BC-EC可算出答案.
（1）解：①③④ ②．（答案不唯一）
已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，．
求证：．
证明过程如下：
∵，，， ，
∴．
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：由(1)知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，即．
由(1)可知，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴．
19．【答案】（1）8；8
解：10位评分者中有②⑥⑧⑨四位给了车型A驾驶体验最高分，
估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数有人；
（2）解：已知车型C外观设计评分中位数为8分，则将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是8，前四个数不超过8，后四个数不小于8；
为使平均分变大，则前后各四个数都取大；
考虑唯一众数为8分，则当前四个数都取8、后四个数都取10时，平均分最大；
所以最大，
补全图如图所示：
（3）解：车型A得分：分，
车型B得分：分，
车型C得分：分，
因为，所以推荐车型B.
【知识点】统计表；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：；
车型B得分从小到大排序：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10；
第五个和第六个都是8，所以中位数；
故答案为：8；8；
【分析】（1）根据评分表提供的车型B的体验得分结合平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数及中位数是将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数可求出a、b的值；用200乘以样本中对车型A驾驶体验给出最高分的人数的占比即可估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数；
（2）根据中位数定义结合车型C的外观设计评分中位数为8可得将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是8，前四个数不超过8，后四个数不小于8，为使平均分变大，则前后各四个数都取大，结合唯一众数为8分，则当前四个数都取8、后四个数都取10时，平均分最大，从而再根据平均数计算方法求出C的最大值；进而不安全条形统计图即可；
（3）计算各车型加权平均数，再比较即可解答．
（1）解：；
车型B得分从小到大排序：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10；
第五个和第六个都是8，所以中位数；
10位评分者中有②⑥⑧⑨四位给了车型A驾驶体验最高分，
估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数有人；
（2）解：已知车型C外观设计评分中位数为8分，则将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是8，前四个数不超过8，后四个数不小于8；
为使平均分变大，则前后各四个数都取大；
考虑唯一众数为8分，则当前四个数都取8、后四个数都取10时，平均分最大；
所以最大，
补全图如图所示：
；
（3）解：车型A得分：分，
车型B得分：分，
车型C得分：分，
因为，所以推荐车型B．
20．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式；
（2）解：∵点、在抛物线上，
∴，，
∴，
∴当时，，即，
∴或，
解得或．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，则，联立两方程求解即可；
（2）把点、分别代入，表示出y1与y2，然后根据整式减法法则求出y1-y2的值，进而将所得差利用十字相乘法分解因式，根据y1＜y2可得y1-y2＜0，从而整体代入列出关于字母b的不等式组，求解不等式组即可.
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式；
（2）解：∵点、在抛物线上，
∴，，
∴，
∴当时，，即，
∴或，
解得或．
21．【答案】解：方案一：平行式
沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：，
可设计个：
沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道，
最小宽度为：，
所以停车位数量为个；
方案二：垂直式
沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
方案三：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，
设此时车位数为个，
则，
解得，，取，故可设计停车位数量为8个；
方案四：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
方案五：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位14个.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据教学楼与围墙之间尺寸（长42m，宽9m）和三种停车方式（平行式、垂直式，斜停式）的车位尺寸，通道宽度要求分方案分别判断宽度可行性及计算出车位数，再比较即可得出答案.
22．【答案】（1）解：四边形是正方形，
，
点在轴上，
轴，
点，
，
点在上，
当时，，
，
，
点坐标为，
轴，
点的坐标为；
（2）解：①或；
②是定值，．理由如下：
过点B作于点，过点作轴于点，过点A作交于点G，
当点B在第三象限时，
，
四边形是矩形，
，，
在正方形中，，，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，在直线上，
，，
，
，
；
当点B在第一象限时，如图
，
四边形是矩形，
，
同理可证，四边形是矩形，
，，
点在直线上，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
综上，为定值，．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正比例函数的性质
【解析】【解答】（2）解：①猜想：或．
当点在第一象限时，
证明：四边形是正方形，
，，
由（1）知，
在中，，
，
，
；
当点在第三象限时，
如图，在中，，
，
∵四边形ABCD是正方形，∴，即，
∴
【分析】（1）先根据点D在x轴上及正方形性质可得AB⊥x轴，根据点的坐标与图形性质可得A、B两点横坐标相同都为2，然后将x=2代入y=x可得y=2，则B(2，2)，再利用正方形的边长相等得出AD=AB=2，则可得D(4，0)，最后再根据正方形对边平行及点的坐标与图形性质可得到C(4，2)；
（2）①需分两种情况讨论：当点B在第一象限时，由正方形性质得，由（1）知是等腰直角三角形得∠AOB=45°，根据三角形的内角和定理、等量代换可推出∠ABO+∠BAC+∠OAB=180°，结合角的构成即可得出∠OAC+∠ABO=180°；当点在第三象限时， 由三角形内角和定理及（1）的结论得出∠ABO+∠OAB=45°，由角的构成及正方形的每一条对角线平分一组对角得出∠OAB+∠OAC=45°，从而由等式性质推出∠ABO=∠OAC；
②同样分两种情况：过作于，过作轴于，过作交于，当点B在第三象限时，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EBFH是矩形，由矩形对边相等得BF=EH；由正方形性质得AB=BC，由角的构成及同角的余角相等推出∠CBE=∠ABF，然后利用“AAS”证△BCE≌△BAG，由全等三角形的对应边相等得；由三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AOFG是矩形，由矩形对边相等得AG=OF；由在y=x上知△BOF是等腰直角三角形，得OF=BF=EH=CE，由线段和差及等量代换得出CH=2OF，用勾股定理得，故为定值；第一象限时同理可证．
（1）解：四边形是正方形，
，
点在轴上，
轴，
点，
，
点在上，
当时，，
，
，
点坐标为，
轴，
点的坐标为；
（2）解：①猜想：或．
当点在第一象限时，
证明：四边形是正方形，
，
，
由（1）知，
在中，，
，
，
；
当点在第三象限时，，
如图，在中，，
，
中，由（1）知，即，
，
，即
②是定值，．理由如下：
过点B作于点，过点作轴于点，过点A作交于点G，
当点B在第三象限时，
，
四边形是矩形，
，，
在正方形中，，，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，在直线上，
，，
，
，
；
当点B在第一象限时，如图
，
四边形是矩形，
，
同理可证，四边形是矩形，
，，
点在直线上，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
综上，为定值，．
23．【答案】解：（1）如图，线段为所作；
（2）过点C作于点G，如图，
在矩形中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在矩形中，，
∴，
由折叠知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）选①，记与的交点为点，如图，
若与平行，则，
由折叠得，
∴，
∴AB=AO，
又，
∴为等边三角形，故，
∴在中，，即，
∴要使与平行，只需，
故当，且B与不重合时，与始终平行；
选②，过点E作，垂足为点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质可得折迹EF是BD的垂直平分线，从而利用尺规作线段垂直平分线的方法作出BD的垂直平分线即可；
（2）过点C作CG⊥BD于点G，由矩形性质得∠BCD=90°，CD=AB=4，从而利用勾股定理算出BD；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CDB∽△GDC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DG的长；由平行线的性质、折叠性质及对顶角相等可推出∠2=∠3=∠1=∠4，由等角对等边得出CB'=CD，由等腰三角形的三线合一得出DB'=2DG，最后根据BB'=BD-B'D可算出答案；
（3）选①，记AC与BD的交点为点O，若A'B'∥AC，由二直线平行，同位角相等得∠3=∠AOB，由折叠得∠2=∠3，则∠2=∠AOB，由等角对等边得出AB=AO，由矩形对角线相等且互相平分得出OA=OB，从而根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ABO为等边三角形，由等边三角形的每一个内角偶等于60°得出∠BAC=60°，在Rt△ABC中，由∠BAC的正切函数及特殊锐角三角函数值可得，从而即可得出结论；
选②，过E作EH⊥BC于H，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABHE是矩形，由矩形性质得EH=AB=a，由折叠性质得EF⊥BD，由直角三角形两锐角互余、角的构成、平角定义及同角的余角相等推出∠AEF=∠ADB，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△EHF∽△DAB，由相似三角形对应边成比例建立方程求得，据此计算即可求解．
1 / 1

展开更多......

收起↑