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福建泉州市泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ）
A．3 B． C．6 D．4
3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，已知，，，则角C为（ ）
A．45° B．105° C．45°或135° D．15°或 105°
6．如图，在中，，，且与交于点，设，则（ ）
A．-1 B． C． D．
7．如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．10
8．在中，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
C．若为虚数，则也为虚数
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．在中，为边上一点，且，则
B．对任意向量，，恒成立
C．非零向量，，，满足，，则
D．向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立
11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若是线段的中点，则四面体的体积为
B．若，则点的轨迹长度是
C．若存在点，使平面，则长度的最小值是
D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为
三、填空题
12．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.
13．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米．
14．已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________.
四、解答题
15．已知为虚数单位，复数．
(1)当实数取何值时，是纯虚数；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
16．已知平面向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.
(1)求证：点，，，四点共面
(2)求证：平面平面.
(3)在线段上是否存在一点，使得平面 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知中，角所对的边分别为，满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最大值；
(3)若，为线段上一点，满足，求的面积．
19．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：.
(1)已知向量，求；
(2)设向量，且，证明：；
(3)已知向量，若，求的值.
参考答案
1．A
【详解】，在第一象限
故选：A
2．A
【详解】根据斜二测画法得出，，，
将直观图还原，如下图.
四边形是直角梯形，
上、下底分别为，，高，
所以四边形的面积.
故选： A.
3．C
【详解】A：由，可知、可能平行或相交，A错误；
B：由，，可知、可能平行或异面，B错误；
C：由，，，可知，C正确；
D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误.
故选：C
4．B
【详解】由平面直角坐标系中，，，可得，
则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
5．D
【详解】由正弦定理得，即，
所以，故或，
当时，，
当时，.
故选：D
6．B
【详解】因为，，三点共线，且，所以
又因为，，三点共线，且，
所以，
可得，解得，，
所以.
7．D
【详解】由题意，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
所以四边形为平行四边形，则周长，
沿将相邻两四边形展开，
当，，三点共线时，最小，最小值为5，
所以周长的最小值为10.
8．B
【详解】在 中，设 ，，.
根据正弦定理 ，为三角形外接圆半径.
将条件 转化为边的关系：
左边: ，
右边：，
等式两边相等得： ，化简得.
结合余弦定理 ，
代入上式得:整理得 .
三角形面积 .
由，得，
代入面积公式：，
由基本不等式 ，得 ，即 (当且仅当 时取等号)，
此时 取得最大值 ，故 .
9．BCD
【详解】对于A，设，则，
又，故，故A错误；
对于选项B，由题意可知，，
所以，所以表示向量的复数为，故B正确；
对于C，因为为虚数，为实数，所以为虚数，即也为虚数，故C正确；
对于选项D，设复数，若复数满足，即，
则复数对应的点在以原点为圆心半径分别为1和的同心圆形成的圆环内，
所以复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确；
10．AC
【详解】对于A，，，
，故A正确.
对于B，若，不共线，则，，可构成三角形，则，故B错误；
对于C，为非零向量，当时，；
当时，，
，则，故C正确；
对于D，若，，则，共线，但不存在实数，使得，故D错误．
11．ABD
【分析】对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2，
所以，A正确.
对于B，若，又，且平面，
则，
点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧，
的轨迹长度为，B选项正确；
对于C，取线段的中点，线段的中点，
当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
，，平面，所以平面平面，
平面，平面，
此时有，，，，
所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误.
对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体，
则直径长为，
则球的表面积为，D正确.
12．
【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.
13．
【详解】由题设，
由正弦定理知，即，
所以米．
故答案为：．
14．
【详解】如图所示，由题知是的外心，取中点，连接，
可得，故.
因为，
所以，
由是的中线，可得，且，
故.
已知，可得：，
由，，可得，
将代入目标式：
，
设，则，为开口向上的二次函数，对称轴为，，
当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）；
当时，，但，故.因此的取值范围是.
15．(1)
(2)
【详解】（1）若复数z是纯虚数，则，
解得， 所以得.
（2）当时，，
把代入方程，
得，
整理得，，
所以，解得.
16．(1)或；
(2).
【详解】（1）由，得，由，设，
由，得，解得，
所以的坐标是或.
（2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围是.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，.
【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，
底面是平行四边形，.
，所以点，，，四点共面.
（2）由（1）知，因为平面，平面，平面.
，分别为，的中点，，
因为平面，平面，平面.
又，，平面，所以平面平面.
（3）线段上存在一点，使得平面，且.
证明如下：取的中点，连接，，，
因为，，分别是，，的中点，，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，此时．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以．
整理得：，
即，，
而,故，又因为，所以；
（2），，
由余弦定理可得：，
即，
又因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以周长，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为；
（3）如图所示：
设，
则，
在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
，
又因为与互补，
所以，
所以①，
在中，由余弦定理可得：
，
整理得，②
由①②可得：，
解得，
所以
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设的夹角为，则，
所以，
所以，
故.
（2）设的夹角为，
则，
所以
，
则，
于是，.
（3）由题意，，
则由（2）的公式可得：，
又，则得，

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