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2025-2026学年八年级数学下册期末复习检测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，）
1．下列说法中错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率介于0和1之间
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D．不可能事件发生的概率为0
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（ ）．
A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台
C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高
5．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（ ）
A． B． C． D．
6．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（ ）
A．152131 B．211331 C．132131 D．132115
7．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
9．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为
10．如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，）
11．为了估计塘中鱼的数量，老李先从鱼塘中捞出100条鱼，做上标记后放回．待有标记的鱼完全混合后，再捞出200条鱼，发现其中有5条有标记．那么估计塘中约有鱼____条．
12．若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____．
13．已知，，则的值为_____．
14．某校科技社团为了解本校学生对的使用情况，对使用进行作业答疑、资料查找、知识梳理、创意绘图的情况进行了抽样调查．将收集的数据绘制成如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中创意绘图部分对应的圆心角为．已知该校共有1500名学生，估计该校最常使用进行知识梳理的学生人数是_____人．
15．若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________．
16．在菱形中，，，点E，F分别在，上，点P在对角线上，连接，，则的最小值为____________．
17．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______．
18．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形纸片中，已知是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_________．
三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分.）
19．计算：
(1)； (2)．
20．下列是化简分式的两种方法的部分过程：
方法一： 方法二：
(1)请选择其中一种方法完成化简过程；(2)当时，求分式的值．
21．解答下列各题：
(1)解方程：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．
22．目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组对本校部分学生进行了相关情况调查并统计了相关数据．
【收集数据】该数学小组设计了如下调查问卷，随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交）
调查问卷
问题1：你最关注的应用领域是（ ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是 ．
【整理和描述数据】第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表；
第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成不完整的频数分布直方图如下图所示．
学生最关注的应用领域人数统计表
应用领域 划记 人数
A 正正正正正正 30
B 正正 12
C 正正正 15
D 3
(1)补全频数分布直方图；
【分析数据，解答问题】(2)该校共有2800名学生，请你估计最关注应用领域A的人数；
(3)请根据上述统计图表，给该校学生提出一个合理的建议．
23．（25-26九年级下·重庆·期中）某科技公司为训练多模态模型，需要采购两种数据：文本数据和图像数据．(1)公司用90元购买图像数据的数量比用同样金额购买文本数据的数量少3份．已知每份图像数据的单价是每份文本数据单价的1.5倍．求每份文本数据的单价是多少元？
(2)该公司的服务器集群每天同时处理两种数据．已知一次配套训练需要3份文本数据和2份图像数据，每台服务器每天可处理100份文本数据或200份图像数据．公司共有40台服务器，为使每天处理的两类数据数量恰好配套，应安排多少台服务器处理文本数据？
24．在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化：
请根据以上方法解决下列问题：
(1)计算：①______；②______．
(2)求出的值．
(3)已知，求的值．
25．在 ABC中，，将 ABC绕点A逆时针旋转得到．
(1)【问题解决】如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)【问题探究】如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，若，求面积的最大值．
26．已知正方形，点E，点F分别为射线，射线上的动点（E不与A重合，F不与B，C重合），连接，．
(1)如图1，当时，若，则 ；
(2)如图2，点E在线段上，且，请判断和的位置关系，并证明；
(3)若，将点D关于直线EF对称得到点M，请直接用等式表示线段，，的数量关系．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、必然事件一定发生，因此其发生的概率为，故A选项说法正确，不符合题意；
B、随机事件可能发生也可能不发生，因此其发生的概率介于和之间，故B选项说法正确，不符合题意；
C、概率为的事件，概率大于，说明该事件是可能发生的随机事件，仅发生可能性很小，并非不可能事件，故C选项说法错误，符合题意；
D、不可能事件一定不会发生，因此其发生的概率为，故D选项说法正确，不符合题意．
2．C
解：A、，故A错误；
B、，原分解未分解彻底，故B错误；
C、，分解符合要求，故C正确；
D、因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，不是乘积形式，不符合因式分解定义，故D错误．
3．B
解：选项A：，∴ A错误，该选项不符合题意；
选项B：，计算正确，∴ B正确，该选项符合题意；
选项C：与不是同类二次根式，不能合并，∴ C错误，该选项不符合题意；
选项D：，∴ D错误，该选项不符合题意．
4．C
解：对于选项A：9到12月共销售手机：（万台），故A正确；
对于选项B：10月A型号手机销售：（万台），故B正确；
对于选项C：9月A型号手机销量：（万台），11月A型号手机销量：（万台），12月A型号手机销量：（万台），
∵，∴A型号手机11月份的销量低于10月份，故C错误；
对于选项D：∵，∴四个月中，12月份A型号手机的销量最高，故D正确．
5．C
∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补，
∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补，
∵与角互补的角为， 与角互补的角为，
∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形．
6．C
解：，
∵，，∴，，
得到三个因式码为13，21，31，按从小到大顺序排列后连接得到密码132131．
7．D
解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为，∴甲走完全程的总时间为
∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为，
∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间，
因此列方程得．
8．B
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，故此选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴ 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项正确；
C、对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，故此选项错误；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，故此选项错误．
9．C
解：由题意，小长方形的长为，大长方形的长为，
小长方形的宽为，大长方形的宽为，
即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为，
大长方形的周长为，大长方形的面积为，
选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意；故选：C．
10．D
解：①∵四边形是正方形，是对角线，∴，
∵点在的延长线上，∴，故结论①正确；
②∵四边形是正方形，点在对角线上，
∴，，，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，故结论②正确；
③设，∴，在正方形中，，
在中，，
∵是的外角，∴，∴，
∴，∴，故结论③正确；
④过点作于点，如图所示：
∴，∴，由结论②正确得：，∴，
∵，，∴，
∴，∴是的中位线，∴，
在中，，，∴是等腰直角三角形，
∴，由勾股定理得：，
∴，∴，∴，
在正方形中，，∴．故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共个．故选：D．
二、填空题
11．4000
解：设鱼塘中约有鱼条，
根据题意可得比例关系：，解得：，
经检验是原方程的解，故估计鱼塘中约有鱼条．
12．2或4
平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差，
已知多项式为 ，其中 已是平方项，
因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数，
根据题意， 是不大于 的正整数，因此符合条件的正偶数为 和 ．
13．8
解：∵，，∴，
∴，故答案为：8．
14．
解：由扇形统计图得最常使用进行知识梳理的学生人数是：
（人）．
15．4
解：∵是方程的解，
原方程化为 ，即 ．整理得 ．
∴，故答案为：4．
16．
解：在上取点，使，连接，∵菱形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴当共线，且时，取得最小值，
∵菱形中，，，∴，，∴，
∵，∴，∴的最小值为．
17．
解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，
第二个单位分数的分母为 ，故 ．
对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ，
第二个单位分数的分母为，故 ．
故答案为：，．
18．或10
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图．
连接，在Rt ABC中，，，
沿折叠，使点B落在点处，，
当为直角三角形时，只能得到，点 共线，
，，设，则，
在Rt中，，解得．
②当点落在边上时，如图：此时为正方形．．故答案为：或10．
三、解答题（
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：方法一：
方法二：
；
（2）解：当时，原式．
21．（1）解：
去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为得，，
经检验，是分式方程的解．
（2）解：
．
（3）解：
．（10分）
22．（1）解：总人数为（人），
每周使用的时间在这一组的人数为（人），补全频数分布直方图如下：
；
（2）解：，即最关注应用领域A的人数为人；
（3）解：同学们每周使用的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率．
23．（1）解：设每份文本数据的单价为元，则每份图像数据的单价为元，
由题意可得：,解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴每份文本数据的单价为元；
（2）解：设应安排台服务器处理文本数据，则安排台服务器处理图像数据，
由题意可得：，解得：，
∴应安排台服务器处理文本数据．
24．（1）解：① ；
② ；
（2）解：根据题干结论，每一项可裂项为：，
；
（3）解：， 移项得：，两边平方：，
，，两边同乘得：，
代入所求代数式：．
25．（1）解：∵ ABC绕点A逆时针旋转得到，∴，，
∵，∴，∴和 ABC为等边三角形，
则，那么，四边形的形状为菱形；
（2）解：连接，如图，∵菱形，∴，平分，∴，
又∵，∴，∴，，
∴，由旋转的性质得，，∴，
∴，由（1）得， ABC是等边三角形，∴，
设，∴，
，∴，
∴；
（3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图，
∵菱形，，∴，由（1）得，是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
∴；由（2）得，，，
∴是等边三角形，∴，，∴，
∴，即，∴，
∴，∴，即，
设等边的边长为，则，
∵，∴，∴，
∴，∴，
当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，
当时，最小，此时是等边的高，∴，
∴，∴面积的最大值为．
26．（1）解：如图，过点E作交于点N，
在正方形中，，，
∵是正方形的对角线，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，
在中，，∴，
设，∴，
∴，∴，∴，∴．
（2）解：，证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，∴，，
在和中，，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
在四边形中，，
又∵，∴，
又∵，∴，∴．
（3）解：或，证明：①，
如图，延长至M，使得，连接，，，过点M作交延长线于点G，
由（2）知，，又∵点E是的中点，∴在垂直平分线上，∴，
∵，，∴，是等腰直角三角形，
∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴；
②，如图，延长至M，使得，过点M作交于点G，连接，，，，与交点O，
由（2）知，，∴，∴，
∵，，
∴，∴，，均为等腰直角三角形，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，即．

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