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2025-2026学年八年级数学下册期末复习模拟卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．为了解全校2000名学生的视力情况，随机抽取200名学生进行检测，本次调查的样本是（ ）
A．2000名学生 B．200名学生
C．200名学生的视力情况 D．2000名学生的视力情况
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球
C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球
5．若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-1
6．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
9．若分式有意义，则实数的取值范围是__________．
10．分解因式：_____．
11．已知，则_____．
12．在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个．
13．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________．
14．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______．
15．如图，在中，，为边的中线，E为的中点，连接并延长，交于点F．若，，则的长为______．
16．如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共68分．）
17．（本题6分）计算：
(1)； (2)．
（本题6分）（1）计算：； （2）解分式方程：．
19．（本题8分）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式=---------------------------------①
=-------------------------------------------②
=-----------------------------------------------------③
(1)上面的计算过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值．
20．（本题6分）学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目，某数学兴趣小组想了解全校学生对四个项目的选择情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生人数是______人；
(2)求本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数，并把条形统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，对应的圆心角为______度；
(4)已知该学校共有名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少．
21．（本题8分）郑州遭遇百年一遇的暴雨，引发极为严重的洪涝灾害，面对这场突如其来的灾难，中国人民用他们的温暖互助感动了世界．某市计划对河道进行清淤治理，有两个工程队可以选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成．
(1)乙工程队单独完成此项工程需要几天？
(2)经过预算，甲工程队每天的费用是1200元，乙工程队每天的施工费用为800元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？
22．（本题6分）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)当，时，求的度数．
23．（本题8分）综合与实践
手工课上，同学们用平行四边形纸片进行创意剪纸创作，结合设计需求完成以下操作、证明与计算：
(1)【动手操作】作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F，交于点．要求：请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
(2)【推理证明】连接，，证明：四边形是菱形；
(3)【实践应用】将剪出的菱形制作成书签，如果菱形的边长为，，求这个书签的面积（结果保留根号）．
24．（本题10分）【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
再如“”分法：
请根据上述材料的启发解决下列问题：
(1)【理解】分解因式：
①；
②；
(2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由；
(3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由．
25．（本题10分）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段．
(1)如图1，当时，求点Q到直线的距离；
(2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：；
(3)连接，，当为等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误．
∵，∴B错误．
∵，∴C正确．
∵，∴D错误．
2．C
解：A、2000名学生是考察对象的全体，不是样本，此选项不符合题意；
B、200名学生是被抽取的调查对象，不是样本，此选项不符合题意；
C、200名学生的视力情况是从总体中抽取的一部分个体的观测值，是本次调查的样本，此选项符合题意；
D、2000名学生的视力情况是调查的总体，不是样本，此选项不符合题意．
故选：．
3．C
解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解；
B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解；
C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解；
D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解.
4．B
解：A：袋中有3个黑球，若摸出的3个球恰好是全部黑球（3个黑球），则无白球，所以“至少有1个球是白色球”是随机事件，故该选项不合题意；
B：袋中仅有2个白球，摸出3个球时，最多只能取到2个白球，剩余1个必为黑球，因此无论何种情况，至少1个黑球必然存在，所以“至少有1个球是黑色球”是必然事件，故该选项符合题意；
C：若摸出1个白球和2个黑球，则白球不足2个，所以“至少有2个球是白球”是随机事件，故该选项不合题意；
D：若摸出2个白球和1个黑球，则黑球仅1个，不满足条件，所以“至少有2个球是黑色球”是随机事件，故该选项不合题意．
故选：B．
5．C
解：原方程整理，得，
方程两边同乘最简公分母，得
，
展开整理得，
∵原分式方程无解，
∴，即，
将代入，
得，
解得，
因此选：C．
6．A
解：四边形是平行四边形，，，
，，
点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，
，，
，
，
，
．
7．B
解：设规定时间为天，
∵慢马所需时间比规定时间多天，
∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为，
∵快马所需时间比规定时间少天，
∴快马的行驶时间为天，快马速度为，
又∵快马的速度是慢马的倍，
∴可得方程 ，即选项B符合题意．
8．A
解：连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴点和点重合，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，在的延长线上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：A．
二、填空题
9．
解：分式有意义，
，即．
10．
解：．
11．8
解：∵，
∴，
∴，
∴．
12．15
解：设盒子中大约有白球有x个，根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴估计盒子中大约有白球15（个），
故答案为：15．
13．4
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图可知：平分，，
∴，
∴，
∵平行四边形的周长为48，
∴，
∴，
∴．
14．
解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为，
∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于，
∴，
故答案为：．
15．4
解：在中，，，．
∴
，
如图，过点作，交于点．
∵是的中点，且，是的中点，
∴是的中位线．
∴，
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，且，
∴，
∴，
∵且，
∴，
又∵，
∴
解得，
故答案为：4．
16．
解：如图所示，过点作的垂线交于点，连接并延长，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点在过点与垂直的射线上运动，
作点关于的对称点，连接与射线交于点，
∴，则，
根据两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，即，
过点作的垂线，交于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵点关于的对称点为，
∴，则，
∵，且，
∴在中，，
∴.
三、解答题
17.（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
；
（2）解：方程两边同时乘以，得：，
，
去括号得：，
合并同类项得：，
移项得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
19．（1）解：上面的计算过程从第②步开始出现错误.
（2）解：
，
当或时，分式无意义，取，
则原式.
20．（1）解：（名），
即本次调查的学生人数是人，
故答案为：；
（2）本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数为（人），
补全条形统计图如图所示；
（3）图②中部分所对应的圆心角度数是：，
故答案为：；
（4）（人），
答：估计全校选择篮球的人数是人．
21．（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，可得：
解得
经检验，是分式方程的解
答：乙工程队单独完成此项工程需要45天．
（2）解：
完成河道清淤的总费用是36000元．
22．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别为、的中点，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
由（1）知，
，
垂直平分，
，
是等腰直角三角形，
．
23．（1）解：如图，对角线的垂直平分线，即为所求；
（2）证明：如图，连接，，
∵是的垂直平分线，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵菱形的边长为，，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴这个书签的面积为：．
24．（1）解：①
②
（2）解：不可能大于，理由：
，
，
不可能大于；
（3）解：为等边三角形，理由如下：
，，
，，
，，
为等边三角形
25．（1）解∶如图，过Q作于H，
∵线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∵正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为1；
（2）证明：过Q作于H，连接，
∵正方形，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是的中点
∴；
（3）解：①当时，过Q作于H，于M，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
由（1）知：，
∴；
②当时，过Q作于H，于M，
∵，
∴，
∴，
设，则
由①知四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
当时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去，
当时，A、P重合，如图，
符合题意，
∴；
③当时，过Q作于H，于M，
由②知：，
在中，，
∴，
∴，
又，
∴，
综上，当的值为2或或4时，为等腰三角形．

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