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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.5.1 三角形全等的判定——边边边（SSS）（解析版）
1. 边边边（SSS）基本事实
三边分别相等的两个三角形全等。简写成"边边边"或"SSS"。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，
∴ △ABC≌△DEF（SSS）。
这是判定两个三角形全等的基本事实之一，不需要证明。
2. 三角形的稳定性
当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫作三角形的稳定性。
三角形的稳定性在生产和日常生活中有广泛的应用。例如，房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等，都采用三角形结构，起到稳固的作用。
四边形不具有稳定性，可以通过添加对角线将其转化为三角形来增强稳定性。
3. SSS的证明格式
用SSS证明两个三角形全等时，一般步骤：
第一步：写出在△___和△___中。
第二步：列出三组边对应相等（用大括号括起来）。
第三步：写出△___≌△___（SSS）。
第四步：根据全等三角形的性质，推出其他结论（对应角相等、对应边相等等）。
注意：证明过程中公共边是一个重要的等量关系。
4. SSS的实际应用
SSS在实际中有广泛的应用，例如：
① 用SSS可以判定两个三角形是否全等，从而推出对应角相等；
② 利用全等三角形的对应边相等，可以通过测量可到达的距离来间接测量不可到达的距离；
③ 用尺规作一个三角形与已知三角形全等，依据就是SSS。
考点1、SSS基本事实
【解题思路】三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。注意区分"SSS"与"边边边"只是表述不同。
例1．如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可．
【详解】解：由题意知，
在和中，
，
∴，
∴判定的理由是．
故选：A．
变式1．如图，已知，根据“”只需补充条件__________就可以判定．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．对应的三边相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】解：在和中，
，
．
故答案为：．
变式2．如图，，，则，应用的判定方法是________．
【答案】SSS
【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，本题要用，直接根据三角形全等的判定定理判断即可．
【详解】解：在和中，
，
．
故答案为：．
考点2、三角形的稳定性
【解题思路】三角形三边确定后形状大小唯一确定。四边形没有稳定性，可加对角线加固。
例2．数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形．
嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．”
淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．”
关于二人的说法，判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确
C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论．
【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等，
则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等．
故两人的说法都正确，
故选：C．
变式1．数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（ ）
A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错
C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错
【答案】B
【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法．
【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（），
当，，时，三边长度确定，
能画出唯一的，
故小杭的说法正确；
三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同，
即存在多个大小不同的三角形满足，，，
不能画出唯一的，
故小州的说法错误；
综上，小杭对，小州错．
故选：B．
变式2．如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
由证明，即可得出结论．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：．
考点3、SSS的证明格式
【解题思路】先列出三组边对应相等，再推出全等。注意要写三角形名称，三组边用大括号括起来。
例3．如图，．求证．
【答案】见解析
【分析】先利用“（边边边）” 判定定理证明和全等，再根据全等三角形对应角相等得出 ．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质（全等三角形对应角相等），熟练掌握判定定理和全等三角形性质是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
，
．
变式1．如图，，现添加“”，则判定的直接依据是______．
【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键．
【详解】解：∵，
∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形
故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形
考点4、SSS的实际应用
【解题思路】利用SSS判定全等后，可推出对应边、对应角相等，用于实际测量和作图。
例4．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形判定的“”定理即可证得．
【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：C．
变式1．如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“”证明，还可以添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定．
已知，，根据找出第三条边即可．
【详解】解：∵，，
∴要根据证明，
∴需要添加即可．
即需要添加即可．
故选：A．
变式2．如图，下列三角形中，与全等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到两三角形全等即可解题．
【详解】解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有C选项与的各边都相等，
故选：C．
一、选择题
1．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“”证明，还可以添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定．
已知，，根据找出第三条边即可．
【详解】解：∵，，
∴要根据证明，
∴需要添加即可．
即需要添加即可．
故选：A．
2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的判定，利用可证，则可判断A，进而可得，可判断B，可判断C，，可得，则进而可判断D，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，即：，
在和中，
，
，则A正确，故不符合题意；
，，则B正确，故不符合题意；
，则不一定成立，则C错误，故符合题意；
，
，则D正确，故不符合题意；
故选C．
3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，用直尺、圆规作的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点C．
③画射线，则即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C． D．全等三角形对应角相等
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及两点确定一条直线，利用证明即可得出是的平分线，作出判断即可．
【详解】解：由作图过程可知：，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
∴作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是两点之间，线段最短．
故选：B．
二、填空题
4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是______．
【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键．
【详解】解：∵，
∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形
故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形
5．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，，，则，应用的判定方法是________．
【答案】SSS
【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，本题要用，直接根据三角形全等的判定定理判断即可．
【详解】解：在和中，
，
．
故答案为：．
6．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件__________就可以判定．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．对应的三边相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】解：在和中，
，
．
故答案为：．
三、解答题
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明做了一个如下图所示的风筝，其中，小明说不用测量就知道DH平分．小明说得对吗？试说明理由．
【答案】小明说得对．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用；本题是全等三角形的判断，性质的综合运用，要充分运用题目条件，图形条件判断全等，使用性质也要带有目标性，本题只要角相等则可．
由条件：，，加上公共边，可证明，就可以说明理由了．
【详解】解：小明说得对．理由如下：
在和中，
，
，即DH平分．
8.（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？
小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程：
回答下列问题：
(1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ；
(2)请你帮助小明写出正确的证明过程．
【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等
(2)
证明：在和中，
∵，，
∴
∴，
∴平分．
【难度】0.85
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理．
（1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可；
（2）首先证明出，得到，即可得到平分．
【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等；
（2）略
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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.5.1 三角形全等的判定——边边边（SSS）（原卷版）
1. 边边边（SSS）基本事实
______的两个三角形全等。简写成"______"或"______"。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，
∴ △ABC≌△DEF（______）。
这是判定两个三角形全等的基本事实之一，不需要证明。
2. 三角形的稳定性
当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫作______。
三角形的稳定性在生产和日常生活中有广泛的应用。例如，房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等，都采用三角形结构，起到稳固的作用。
四边形不具有稳定性，可以通过添加对角线将其转化为三角形来增强稳定性。
3. SSS的证明格式
用SSS证明两个三角形全等时，一般步骤：
第一步：写出在△___和△___中。
第二步：列出三组边对应相等（用大括号括起来）。
第三步：写出△___≌△___（______）。
第四步：根据全等三角形的性质，推出其他结论（对应角相等、对应边相等等）。
注意：证明过程中公共边是一个重要的等量关系。
4. SSS的实际应用
SSS在实际中有广泛的应用，例如：
① 用SSS可以判定两个三角形是否全等，从而推出对应角相等；
② 利用全等三角形的对应边相等，可以通过测量可到达的距离来间接测量不可到达的距离；
③ 用尺规作一个三角形与已知三角形全等，依据就是SSS。
考点1、SSS基本事实
【解题思路】三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。注意区分"SSS"与"边边边"只是表述不同。
例1．如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，已知，根据“”只需补充条件__________就可以判定．
变式2．如图，，，则，应用的判定方法是________．
考点2、三角形的稳定性
【解题思路】三角形三边确定后形状大小唯一确定。四边形没有稳定性，可加对角线加固。
例2．数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形．
嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．”
淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．”
关于二人的说法，判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确
C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误
变式1．数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（ ）
A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错
C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错
变式2．如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（ ）
A． B． C． D．
考点3、SSS的证明格式
【解题思路】先列出三组边对应相等，再推出全等。注意要写三角形名称，三组边用大括号括起来。
例．如图，．求证．
变式1．73．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是______．
考点4、SSS的实际应用
【解题思路】利用SSS判定全等后，可推出对应边、对应角相等，用于实际测量和作图。
例4．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）

A． B． C． D．
变式1．如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“”证明，还可以添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
变式2．如图，下列三角形中，与全等的是（　　）
A． B．
C． D．
一、选择题
1．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“”证明，还可以添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，用直尺、圆规作的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点C．
③画射线，则即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C． D．全等三角形对应角相等
二、填空题
4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是______．
5．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，，，则，应用的判定方法是________．
6．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件__________就可以判定．
三、解答题
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明做了一个如下图所示的风筝，其中，小明说不用测量就知道DH平分．小明说得对吗？试说明理由．
8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？
小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程：
回答下列问题：
(1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ；
(2)请你帮助小明写出正确的证明过程．
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