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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.5.2 三角形全等的判定——边角边（SAS）(原卷版）
1. 边角边（SAS）基本事实
______对应相等的两个三角形全等。简写成"______"或"______"。
几何语言：在△ABO和△CDO中，
∵ OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴ △ABO≌△CDO（______）。
注意：SAS中的角必须是两边的______，而不是其中一边的对角。
2. SAS判定条件的理解
用SAS判定两个三角形全等时，必须满足：
① 有两组边分别对应相等；
② 这两组边的______也对应相等。
常见错误：误以为"两边及其一边的对角对应相等"（即SSA）也能判定全等，实际上______。
3. SAS的证明格式
用SAS证明两个三角形全等的一般步骤：
第一步：写出在△___和△___中。
第二步：列出两组边和它们的夹角对应相等（用大括号括起来）。
第三步：写出△___≌△___（______）。
第四步：根据全等三角形的性质推出其他结论。
注意：证明时要确认所列的角确实是两组边的夹角。
4. SAS的实际应用
SAS在实际中有广泛的应用，例如：
① 用卡钳测量工件内径（两根钢条中点固定，利用______作为夹角）；
② 测量不可到达的两点间距离（延长线构造全等）；
③ 利用已知两边和夹角作三角形（尺规作图）。
考点1、SAS基本事实
【解题思路】两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。注意区分"夹角"与"对角"。
例1．如图，已知，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ．
变式2．如图所示，，．可利用_______来判定．
考点2、SAS判定条件的理解
【解题思路】SAS要求两组边和它们的夹角对应相等。SSA（两边及一边对角）不能判定全等。
例2．如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件_______．
变式1．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是_________．
变式2．如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为______．
考点3、SAS的证明格式
【解题思路】列出两边和夹角→用大括号→写出全等结论。特别注意确认角是两边的夹角。
例3．如图，，，．求证：．
变式1．如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________．
变式2．如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为______．
考点4、SAS的实际应用
【解题思路】利用SAS构造全等三角形，通过对应边相等来间接测量距离或求解问题。
例4．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
变式1．如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
一、选择题
1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”证明和全等的是（　　）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
二、填空题
4．（12-13七年级下·浙江·阶段检测）如图，如果，，那么，根据是________．
5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是______．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等．
三、解答题
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，并且，那么与全等吗？请说明理由．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、．
求证：；
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1.5.2 三角形全等的判定——边角边（SAS）（解析版）
1. 边角边（SAS）基本事实
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。简写成"边角边"或"SAS"。
几何语言：在△ABO和△CDO中，
∵ OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴ △ABO≌△CDO（SAS）。
注意：SAS中的角必须是两边的夹角，而不是其中一边的对角。
2. SAS判定条件的理解
用SAS判定两个三角形全等时，必须满足：
① 有两组边分别对应相等；
② 这两组边的夹角也对应相等。
常见错误：误以为"两边及其一边的对角对应相等"（即SSA）也能判定全等，实际上SSA不能判定全等。
3. SAS的证明格式
用SAS证明两个三角形全等的一般步骤：
第一步：写出在△___和△___中。
第二步：列出两组边和它们的夹角对应相等（用大括号括起来）。
第三步：写出△___≌△___（SAS）。
第四步：根据全等三角形的性质推出其他结论。
注意：证明时要确认所列的角确实是两组边的夹角。
4. SAS的实际应用
SAS在实际中有广泛的应用，例如：
① 用卡钳测量工件内径（两根钢条中点固定，利用对顶角相等作为夹角）；
② 测量不可到达的两点间距离（延长线构造全等）；
③ 利用已知两边和夹角作三角形（尺规作图）。
考点1、SAS基本事实
【解题思路】两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。注意区分"夹角"与"对角"。
例1．如图，已知，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角．
已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等．
【详解】解：在和中，
∴ （）．
故选：．
变式1．如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
根据证明与全等即可．
【详解】解：在与中，
，
∴，
故答案为：，．
变式2．如图所示，，．可利用_______来判定．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定即可解答．
【详解】解：在和中
∴．
故答案为：．
考点2、SAS判定条件的理解
【解题思路】SAS要求两组边和它们的夹角对应相等。SSA（两边及一边对角）不能判定全等。
例2．如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件_______．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”判定：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，据此增加条件即可．
【详解】解：∵，，现要证明，
∴根据“”判定，则需增加条件．
故答案为：．
变式1．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是_________．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴当添加时，（SAS）．
故答案为：．
变式2．如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法，添加条件根据证明三角形全等即可．
【详解】解：∵，，
∴添加，可利用“”判断，
故答案为：．
考点3、SAS的证明格式
【解题思路】列出两边和夹角→用大括号→写出全等结论。特别注意确认角是两边的夹角。
例3．如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】由得到，根据即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中
，
∴．
变式1．如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．
先根据角平分线性质得到角的关系，再通过全等三角形判定证明全等，进而得出对应角相等，最后利用补角性质求出所求角的度数．
【详解】解：∵，
，
∴．
∵AD是的角平分线，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
故答案为：．
变式2．如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为______．
【答案】/50度
【分析】根据，，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案．
本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件．
【详解】解：∵，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
考点4、SAS的实际应用
【解题思路】利用SAS构造全等三角形，通过对应边相等来间接测量距离或求解问题。
例4．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【分析】由边角边证明可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∴.
变式1．如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
通过证明，由全等三角形的性质即可得结论．
【详解】解：在和中，
，
，
∴欲知，间的距离，需要测量的线段是，
故选：A．
变式2．如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题关键．
由中点得两组对应边相等，由对顶角相等得到一组对应角相等，根据判定定理证出．
【详解】解：为两根木条的中点，
，，
，
在与中，
，
．
故选：．
一、选择题
1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，可得，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
．
2．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
，由于对顶角相等得到，然后根据“”添加条件即可．
【详解】解：，，
A、当添加时，不能证明；
B、当添加时，，不能用证明；
C、当添加时，，不能用证明；
D、当添加时，能证明．
故选：D．
3．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”证明和全等的是（　　）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的条件是解题的关键．
根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答．
【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等；
乙的角，和边与的角，和边对应，但不能用“”证明乙三角形与全等；
故选：．
二、填空题
4．（12-13七年级下·浙江·阶段检测）如图，如果，，那么，根据是________．
【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法．注意两个三角形中的公共边通常是证两个三角形全等隐含的条件．和中，已知了，，隐含的条件是，因此可根据判断出．
【详解】解：∵，，，
∴，
即根据是，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是______．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可．
【详解】解：补充，
∵，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等．
【答案】2
【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴只有、时，与全等，
∵，，
∴，此时，
在与中，
，
∴，
∴当时，形成的与全等．
三、解答题
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，并且，那么与全等吗？请说明理由．
【答案】解：，理由如下，
∵，
∴，
在和中，
,
∴．
【难度】0.75
【分析】由得，然后通过“”证明即可．
【详解】略．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、．
求证：；
【答案】证明：∵平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别为，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【分析】由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明．
【详解】略
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