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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.5.3 三角形全等的判定
——角边角和角角边（ASA和AAS）（原卷版）
1. 角边角（ASA）基本事实
______对应相等的两个三角形全等。简写成"______"或"______"。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵ ∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，
∴ △ABC≌△DEF（______）。
注意：ASA中的边必须是______。
2. 角角边（AAS）基本事实
______对应相等的两个三角形全等。简写成"______"或"______"。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，
∴ △ABC≌△DEF（______）。
注意：AAS中已知的边必须是______，不是夹边。
3. ASA与AAS的证明格式
用ASA或AAS证明的步骤与SSS/SAS相同：
第一步：写出在△___和△___中。
第二步：列出条件（ASA：两角+夹边；AAS：两角+对边）。
第三步：写出△___≌△___（______或______）。
第四步：推出其他结论。
区分技巧：已知边是两角的"夹边"→______；已知边是一角的"对边"→______。
4. ASA与AAS的实际应用
ASA和AAS在实际中有广泛的应用，例如：
① 配玻璃问题：保留含有两角一夹边（ASA）的碎块即可；
② 测量不可到达的两点距离（利用角度测量构造全等）；
③ 墨迹污染复原：利用已知两角和夹边重画三角形。
考点1、ASA基本事实
【解题思路】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。已知边必须是两角的夹边。
例1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
变式2．如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．

考点2、AAS基本事实
【解题思路】两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。注意区分夹边（ASA）和对边（AAS）。
例2．如图，已知，若用证明，还需加上条件_____．
变式1．如图，已知，在不添加其他字母的情况下，要想根据“”判定，还需添加的条件是______．
变式2．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是：______．
考点3、ASA与AAS的证明格式
【解题思路】先判断已知边是夹边还是对边，再选用ASA或AAS。关键：夹边→ASA，对边→AAS。
例3．如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：．
变式1．如图，．时，的依据是______．
变式2．已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：．
考点4、ASA与AAS的实际应用
【解题思路】配玻璃、测距离等问题中，利用角度测量+一条边构造全等三角形是最常用的方法。
例4．如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
变式2．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
一、选择题
1．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
2．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（ ）
A．第块面积最大
B．三角形具有稳定性
C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等
D．三角形内角和为度
3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
二、填空题
4．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________．
5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，已知，，垂足分别为，，要使，可增加的一个条件是________．
6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________．
三、解答题
7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，与相交于点，，，求证：．
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1.5.3 三角形全等的判定
——角边角和角角边（ASA和AAS）（解析版）
1. 角边角（ASA）基本事实
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。简写成"角边角"或"ASA"。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵ ∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，
∴ △ABC≌△DEF（ASA）。
注意：ASA中的边必须是两角的夹边。
2. 角角边（AAS）基本事实
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成"角角边"或"AAS"。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，
∴ △ABC≌△DEF（AAS）。
注意：AAS中已知的边必须是其中一角的对边，不是夹边。
3. ASA与AAS的证明格式
用ASA或AAS证明的步骤与SSS/SAS相同：
第一步：写出在△___和△___中。
第二步：列出条件（ASA：两角+夹边；AAS：两角+对边）。
第三步：写出△___≌△___（ASA或AAS）。
第四步：推出其他结论。
区分技巧：已知边是两角的"夹边"→ASA；已知边是一角的"对边"→AAS。
4. ASA与AAS的实际应用
ASA和AAS在实际中有广泛的应用，例如：
① 配玻璃问题：保留含有两角一夹边（ASA）的碎块即可；
② 测量不可到达的两点距离（利用角度测量构造全等）；
③ 墨迹污染复原：利用已知两角和夹边重画三角形。
考点1、ASA基本事实
【解题思路】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。已知边必须是两角的夹边。
例1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断．
【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即．
变式1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
变式2．如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．

【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键；
根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是．
【详解】解：在中，
∵，，
∴若以“”判定，需添加的条件是；
故答案为：．
考点2、AAS基本事实
【解题思路】两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。注意区分夹边（ASA）和对边（AAS）。
例2．如图，已知，若用证明，还需加上条件_____．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：AAS．
根据“角角边”的方法判定即可得到答案．
【详解】解：添加条件，
在中，
∴
故答案为：．
变式1．如图，已知，在不添加其他字母的情况下，要想根据“”判定，还需添加的条件是______．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据“”结合图形分析，即可解题．
【详解】解：，
，
，
则要想根据“”判定，还需添加的条件是，
故答案为：．
变式2．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是：______．
【答案】/角角边
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据所给条件可利用证明．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
考点3、ASA与AAS的证明格式
【解题思路】先判断已知边是夹边还是对边，再选用ASA或AAS。关键：夹边→ASA，对边→AAS。
例3．如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据证明两个三角形全等即可．
【详解】证明：∵三点共线，三点共线，
∴与是对顶角，
∴．
在和中，
∴．
变式1．如图，．时，的依据是______．
【答案】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：在与中，
，
，
故答案为：．
变式2．已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：．
【答案】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴．
【分析】利用三角形全等判定与性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
根据角平分线得出，再由三角形内角和定理确定，利用角边角证明，再有全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】略
考点4、ASA与AAS的实际应用
【解题思路】配玻璃、测距离等问题中，利用角度测量+一条边构造全等三角形是最常用的方法。
例4．如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合，，，证明，即可作答．
【详解】解：依题意，∵，，，
∴，
∴图中与全等的依据是．
变式1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
变式2．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
根据判断三角形全等可得结论．
【详解】解：，，
，
在△和△中，
，
，
．
故选：C．
一、选择题
1．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【答案】C
【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选：C．
2．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（ ）
A．第块面积最大
B．三角形具有稳定性
C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等
D．三角形内角和为度
【答案】C
【难度】0.94【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
根据全等三角形的判定定理即可得解．
【详解】解：由图得：第块含有三角形的两个角和被两个角夹住的边，
则根据全等三角形的判定原理可知，通过“角边角”可找到一块一模一样的三角形．
故选：．
3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据“角边角”证明两个三角形全等，即可求解．
【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到原三角形全等的三角形．
故选：B
二、填空题
4．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可．
【详解】解：补充的一个条件为，
∵，，，
∴，
故答案为：
5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，已知，，垂足分别为，，要使，可增加的一个条件是________．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题干和两个条件，即已知一边及其对角对应相等，此时添加即可证明三角形全等，答案不唯一．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴此时若添加即可判定两个三角形全等，理由如下：
在和中，
，
∴（AAS）．
故答案为：（答案不唯一）．
6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中：，
∴，
又∵，，
∴，，
∵，
∴
∴，
，
，
∴．
故答案为：．
三、解答题
7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
先证出，再由证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，与相交于点，，，求证：．
【答案】
证明：∵，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出．
【详解】略
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