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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.6 线段垂直平分线的性质（解析版）
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
如图，直线l⊥AB于点D，且AD＝BD，则直线l就是线段AB的垂直平分线。
垂直平分线同时具备两个条件：①垂直于线段；②平分线段（经过线段的中点）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
已知：直线l⊥AB于点O，且OA＝OB，C是直线l上的任意一点。
求证：CA＝CB。
证明：利用SAS证明△CAO≌△CBO，得到CA＝CB。
这是线段垂直平分线最重要的性质，常用于证明线段相等和计算周长、距离。
3. 线段垂直平分线的尺规作图
作线段AB的垂直平分线的方法：
① 分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D；
② 作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。
注意：半径必须大于线段长度的一半，否则两弧不会相交。
4. 线段垂直平分线的综合应用
① 利用性质将"垂直平分线上的点"的条件转化为线段相等；
② 在图形条件较复杂时，垂直平分线往往是关键的隐含等量关系；
③ 常用于求三角形的周长、证明线段相等、求角度等问题；
④ 三角形三边的垂直平分线交于一点（外心）。
考点1、线段垂直平分线的定义与识别
【解题思路】垂直平分线＝垂直＋平分。识别条件：直线⊥线段且经过线段中点。
例1．如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
【详解】∵直线是的垂直平分线，
∴
∴点为的中点，故①正确，
∵直线是的垂直平分线，
∴直线l是线段的对称轴，故②正确，
∵直线是的垂直平分线，
∴直线是的垂线，故③不正确
故选：A．
变式1．如图，在中，已知，的中垂线交于D，的中垂线交于E，则的周长等于（ ）

A．11 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质与线段的等量代换是解题的关键，求周长即求各边长的和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E，
∴,,
∴的周长,
故选：B．
变式2．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，若，则的周长_______．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质定理，可得，即可求解．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：10
考点2、线段垂直平分线的性质定理
【解题思路】垂直平分线上的任一点到线段两端距离相等。常设未知数列方程求线段长或周长。
例2．如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再根据三角形内角和定理求得，再根据，据此求解即可．
【详解】解：∵、是线段、的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
变式1．如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答．
【详解】解：∵为线段的垂直平分线，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
则的周长为，
故选：D
变式2．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长．
【详解】解：中，，直线垂直平分，
，
的周长为32，
，
的周长是，
故选：B．
考点3、线段垂直平分线的尺规作图
【解题思路】以两端点为圆心、大于半长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线。
例3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图－基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解．
【详解】解：由题意得：垂直平分，
，
则的周长，
故选：C．
变式1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，，则的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，则有，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
变式2．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则________．
【答案】6
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是掌握垂直平分线的性质．利用垂直平分线的性质即可求得待求线段的长．
【详解】解：∵垂直平分线段于点，，
∴，
∵垂直平分线段于点，
∴，
故答案为：6．
考点4、线段垂直平分线的综合应用
【解题思路】利用性质转化等量关系求周长、角度。三角形三边垂直平分线交于一点（外心）。
例4．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意结合线段垂直平分线的性质可得，，，，先由的周长为，求出，再由的周长为，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意结合线段垂直平分线的性质可得：，，，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
变式1．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）

A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，
根据三角形三边的垂直平分线的交点的特点解答即可．
【详解】解：因为三角形三条边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等，
所以供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点．
故选：A．
变式2．如图中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若，，则的周长为______．
【答案】35
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，推出的周长等于，进行求解即可．
【详解】解：垂直平分，
，
，，
的周长
，
故答案为：．
一、选择题
1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴的周长为：，
故选：C．
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（　　）

A．9 B． C．13 D．18
【答案】C
【分析】根据作图过程得到垂直平分，根据垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，代入计算即可．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴的周长为，
故选：C．
3．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）点P是中边的垂直平分线上的点，则一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，据此进行作答，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点P是中边的垂直平分线上的点，
∴
故选：A．
4．（24-25八年级上·全国·课后作业）经过已知直线l外一点M，作直线l的垂线的作法的第一步是（ ）
A．在l上任取一点 B．在l的同侧任取一点
C．以M为圆心作能与l相交的弧 D．过M作任一直线AB
【答案】C
【分析】本题考查作图 复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：经过已知直线l外一点M，作直线l的垂线的作法的第一步是：以M为圆心作能与l相交的弧；
故选：C．
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为，则______．
【答案】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：是的中垂线，
，
的周长为，
，即．
，
，
故答案为：．
6．（23-24八年级上·山东·期中）如图，在中，，，，垂直平分，点D为直线上的任意一点，则周长的最小值是______．
【答案】10
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题的应用，垂直平分线的性质，准确找出点D的位置是解答本题的关键．根据垂直平分线的性质可知，点B与点C关于对称，故当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，由此即可得到答案．
【详解】垂直平分，
点B与点C关于对称，
如图，设与相较于点P，
当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，
，，
周长的最小值是，
故答案为：10．
三、解答题
7．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)证明：∵，，，
∴，
∴；
(2)所作图形如图，

【难度】0.85
【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立；
（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．
【详解】（1）略
（2）略
8．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．

(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)9
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，计算即可．
【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.6 线段垂直平分线的性质（原卷版）
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的______，简称______。
如图，直线l⊥AB于点D，且AD＝BD，则直线l就是线段AB的垂直平分线。
垂直平分线同时具备两个条件：①______线段；②______线段（经过线段的中点）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
______。
已知：直线l⊥AB于点O，且OA＝OB，C是直线l上的任意一点。
求证：CA＝CB。
证明：利用______证明△CAO≌△CBO，得到CA＝CB。
这是线段垂直平分线最重要的性质，常用于证明______和计算周长、距离。
3. 线段垂直平分线的尺规作图
作线段AB的垂直平分线的方法：
① 分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度______的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D；
② 作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。
注意：半径必须______，否则两弧不会相交。
4. 线段垂直平分线的综合应用
① 利用性质将"垂直平分线上的点"的条件转化为______；
② 在图形条件较复杂时，垂直平分线往往是关键的______；
③ 常用于求三角形的周长、证明线段相等、求角度等问题；
④ 三角形三边的垂直平分线______（外心）。
考点1、线段垂直平分线的定义与识别
【解题思路】垂直平分线＝垂直＋平分。识别条件：直线⊥线段且经过线段中点。
例1．如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
变式1．如图，在中，已知，的中垂线交于D，的中垂线交于E，则的周长等于（ ）

A．11 B．13 C．14 D．15
变式2．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，若，则的周长_______．
考点2、线段垂直平分线的性质定理
【解题思路】垂直平分线上的任一点到线段两端距离相等。常设未知数列方程求线段长或周长。
例2．如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
变式2．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
考点3、线段垂直平分线的尺规作图
【解题思路】以两端点为圆心、大于半长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线。
例3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，，则的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则________．
考点4、线段垂直平分线的综合应用
【解题思路】利用性质转化等量关系求周长、角度。三角形三边垂直平分线交于一点（外心）。
例4．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）

A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
变式2．如图中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若，，则的周长为______．
一、选择题
1．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（　　）

A．9 B． C．13 D．18
3．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）点P是中边的垂直平分线上的点，则一定有（　　）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·全国·课后作业）经过已知直线l外一点M，作直线l的垂线的作法的第一步是（ ）
A．在l上任取一点 B．在l的同侧任取一点
C．以M为圆心作能与l相交的弧 D．过M作任一直线AB
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为，则______．
6．（23-24八年级上·山东·期中）如图，在中，，，，垂直平分，点D为直线上的任意一点，则周长的最小值是______．
三、解答题
7．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
8．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．

(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
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