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第1节 数列的概念与简单表示法
一、单选题
1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是(　　)
A.1 212 B.12
C.ln 12 D.sin 12
2.若数列的前4项分别是，－，－，则此数列的一个通项公式an＝(　　)
A. B.
C. D.
3.(2026·南昌测试)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a2 026＝(　　)
A. B.11
C.－ D.
4.设数列{an}的通项公式为an＝n2－tn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则正实数t的取值范围为(　　)
A.0C.05.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1，n≥2，n∈N，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A. B.
C. D.
6.已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
7.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N＋)，则a6的值为(　　)
A.22 B.42
C.79 D.149
二、多选题
8.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　)
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时，数列{an}是递减数列
9.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的首项为a1＝
B.数列{an}的通项公式为an＝
C.数列{an}为递减数列
D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝
三、填空题
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝　　　　.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，2Sn＝an＋1，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.
12.(2026·海南质检)在数列{an}中，a1＝，则a97＝　　　　.
四、解答题
13.求下列数列{an}的通项公式.
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n;
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
14.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
第1节 数列的概念与简单表示法
一、单选题
1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是(　　)
A.1 212 B.12
C.ln 12 D.sin 12
答案　D
解析　通过观察数列得出规律，数列中的项的数字部分是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项是sin 12.
2.若数列的前4项分别是，－，－，则此数列的一个通项公式an＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由于数列的前4项分别是，－，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，
故此数列的一个通项公式为an＝.
3.(2026·南昌测试)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a2 026＝(　　)
A. B.11
C.－ D.
答案　D
解析　因为an＋3＝
＝＝an，
所以数列{an}是周期为3的数列，
所以a2 026＝a3×675＋1＝a1，
因为a2＝11，所以11＝，
解得a1＝，故a2 026＝a1＝.
4.设数列{an}的通项公式为an＝n2－tn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则正实数t的取值范围为(　　)
A.0C.0答案　A
解析　由数列{an}为递增数列，得 n∈N*，an＋1>an，而an＝n2－tn(n∈N*)，
则 n∈N*，(n＋1)2－t(n＋1)>n2－tn，
得t<2n＋1，而2n＋1≥3恒成立，则t<3，
所以正实数t的取值范围为05.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1，n≥2，n∈N，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因an＝an－1，n≥2，n∈N，
则an＝·…··a1＝1×××…××，
当n＝1时，符合题意，
故数列{an}的通项公式为an＝.
6.已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
答案　B
解析　an＝＝1＋，
当n>7，n∈N*时，2n－15>0，an＝1＋单调递减，
此时，an＝1＋>1;
当n≤7，n∈N*时，2n－15<0，an＝1＋单调递减，
此时，an＝1＋≥a7＝1＋＝－12，
所以an取到最小值时n的值是7.
7.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N＋)，则a6的值为(　　)
A.22 B.42
C.79 D.149
答案　C
解析　数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n＋n，
a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)
＝2＋(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋(24＋4)＋(25＋5)＝2＋＝79.
二、多选题
8.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　)
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时，数列{an}是递减数列
答案　BCD
解析　假设第n项为{an}的最大项，
则
即
所以
又n∈N＋，所以n＝4或n＝5，
故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，
当n≥5时，数列{an}是递减数列.
9.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的首项为a1＝
B.数列{an}的通项公式为an＝
C.数列{an}为递减数列
D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝
答案　ABC
解析　对于A，数列{an}的首项为a1＝S1＝，故A正确;
对于B，当n≥2时，an＝Sn－，a1＝适合上式，故B正确;
对于C，因为－an＝＝－<0，所以数列{an}为递减数列，故C正确;
对于D，Tn＝×××…×，
所以数列{Sn}的前n项积Tn＝，故D错误.
三、填空题
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝　　　　.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－2;
当n≥2时，an＝Sn－＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5.
因为当n＝1时，不满足an＝2n－5，
所以an＝
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，2Sn＝an＋1，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.
答案　
解析　由2Sn＝an＋1得，n≥2时，2Sn－1＝an，两式相减得an＋1＝3an，
所以当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列，而a2＝2，则an＝2×3n－2(n≥2)，
由a1＝1不满足上式，得an＝
12.(2026·海南质检)在数列{an}中，a1＝，则a97＝　　　　.
答案　3
解析　因为a1＝，
故有·…··××…××，
即得，
所以a97＝a1＝3.
四、解答题
13.求下列数列{an}的通项公式.
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n;
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
解　(1)由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－1
＝，
当n＝1时，a1＝1＝，满足上式，
∴an＝(n∈N*).
(2)由an＋1＝2nan，得＝2n，
当n≥2时，an＝a1××××…×＝1×2×22×23×…×2n－1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.当n＝1时，a1＝1满足上式，
∴an＝(n∈N*).
14.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
∴，∴＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*).
(2)bn＝3n－λn2，
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1).
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<恒成立.
令cn＝，
即·＝1＋>1，
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2).

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