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第2节　等差数列及其前n项和
一、单选题
1.(2026·大连模拟)已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝(　　)
A.1 B.
C.4 D.8
2.(2026·合肥调研)已知等差数列{an}的前8项和为48，a2＋a3＝4，则{an}的公差为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
3.(2026·浙江名校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11(a5＋2)，则a11－a5＝(　　)
A.4 B.8
C.10 D.12
4.(2026·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若，则＝(　　)
A. B.
C.2 D.3
5.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且(n∈N*)，则＝(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　)
A.48 B.112
C.80 D.114
7.(2026·秦皇岛模拟)在等差数列{an}中，若a8＝1，3a6＋2a4＝a2，则{a3n－1}的前8项和为(　　)
A.26 B.50
C.－2 D.－6
二、多选题
8.(2026·东北三省三校联考)等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　)
A.若a3＋a7＝4，则S9＝18
B.若S15>0，S16<0，则>
C.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17
D.若a8＝S10，则S9>0，S10<0
9.(2026·茂名模拟)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，记数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的公差为2
B.Sn取最小值时，n＝6
C.S4＝S7
D.数列{|an|}的前10项和为50
三、填空题
10.(2026·北京平谷区模拟)《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题:“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月(按30天计)共织了440尺，推算第10天该女子织了　　　　　 尺布.”
11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝　　　　.
12.数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则数列{an}的前20项的和为　　　　.
四、解答题
13.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.
14.(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
第2节　等差数列及其前n项和
一、单选题
1.(2026·大连模拟)已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝(　　)
A.1 B.
C.4 D.8
答案　C
解析　因为数列{an}为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，
所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3，
所以a1＋a8＝a4＋a5＝4.
2.(2026·合肥调研)已知等差数列{an}的前8项和为48，a2＋a3＝4，则{an}的公差为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案　B
解析　依题意知S8＝＝48，
即a1＋a8＝12.
设等差数列{an}的公差为d，
则解得d＝2.
3.(2026·浙江名校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11(a5＋2)，则a11－a5＝(　　)
A.4 B.8
C.10 D.12
答案　D
解析　设等差数列{an}的公差为d，
∵S11＝11(a5＋2)，
∴11a1＋d＝11(a1＋4d＋2)，
解得d＝2，
∴a11－a5＝a5＋6d－a5＝6d＝12.
4.(2026·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若，则＝(　　)
A. B.
C.2 D.3
答案　D
解析　×＝3.
5.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且(n∈N*)，则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　Sn，Tn分别是等差数列{an}，的前n项和，且b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
故，故选D.
6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　)
A.48 B.112
C.80 D.114
答案　C
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7;
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，
显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，
所以当n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0，
所以{|an|}的前12项和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－(a5＋a6＋…＋a12)
＝2(a1＋a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋…＋a12)
＝2S4－S12＝2(－16＋32)－(－144＋96)＝80.
7.(2026·秦皇岛模拟)在等差数列{an}中，若a8＝1，3a6＋2a4＝a2，则{a3n－1}的前8项和为(　　)
A.26 B.50
C.－2 D.－6
答案　A
解析　设等差数列{an}的公差为d，
因为a8＝1，3a6＋2a4＝a2，可得3(1－2d)＋2(1－4d)＝1－6d，解得d＝，
所以an＝a8＋(n－8)d＝n－3，
所以a3n－1＝，
所以数列{a3n－1}的前8项和为S8＝8×(－2)＋×＝26.
二、多选题
8.(2026·东北三省三校联考)等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　)
A.若a3＋a7＝4，则S9＝18
B.若S15>0，S16<0，则>
C.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17
D.若a8＝S10，则S9>0，S10<0
答案　ACD
解析　对于A，a3＋a7＝4，
则S9＝＝18，A正确;
对于B，S15＝＝15a8>0，
则a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，
则a8＋a9<0，a9<－a8<0，故<，B错误;
对于C，a5＋a6＝2(a3＋a4)－(a1＋a2)＝13，
则a7＋a8＝2(a5＋a6)－(a3＋a4)＝17，C正确;
对于D，设{an}的公差为d，由a8＝S10，
得a1＋7d＝10a1＋45d，
解得d＝－a1，又a1>0，
则S9＝9a1＋36d＝9>0，
S10＝5<0，D正确.
9.(2026·茂名模拟)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，记数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的公差为2
B.Sn取最小值时，n＝6
C.S4＝S7
D.数列{|an|}的前10项和为50
答案　AD
解析　设{an}的公差为d，
∵a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，
∴2a1＋3d＝－12，2a1＋10d＝2，
解得d＝2，a1＝－9，A正确;
由A知an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，
则a5<0，a6>0，故n＝5时，Sn取得最小值，B错误;
S7－S4＝a5＋a6＋a7＝3a6>0，C错误;
数列{|an|}的前10项和为9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＝50，D正确.
三、填空题
10.(2026·北京平谷区模拟)《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题:“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月(按30天计)共织了440尺，推算第10天该女子织了　　　　　 尺布.”
答案　11
解析　由题得每天的织布数成等差数列，首项a1＝5，记公差为d，
由题得S30＝5×30＋d＝440，解得d＝，所以a10＝5＋×9＝11.
11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝　　　　.
答案　200
解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.
又S10＝16，S100－S90＝24，
因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，
解得d＝，
因此S100＝S10＋(S20－S10)＋…＋(S100－S90)＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.
12.数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则数列{an}的前20项的和为　　　　.
答案　210
解析　数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，
则a2＝a4－2＝4－2＝2，
所以数列{an}的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列，
所以数列{an}的前20项的和为a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)
＝10×1＋×2＋10×2＋×2＝210.
四、解答题
13.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.
(1)证明　由＋n＝2an＋1，
得2Sn＋n2＝2ann＋n， ①
所以2Sn＋1＋(n＋1)2
＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)， ②
②－①，得
2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，
化简得an＋1－an＝1，
所以数列{an}是公差为1的等差数列.
(2)解　由(1)知数列{an}的公差为1.
由a4，a7，a9成等比数列，得＝a4a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，
解得a1＝－12.
所以Sn＝－12n＋＝，
所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78.
14.(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
解　(1)∵3a2＝3a1＋a3，
∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，
∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，
an＝a1＋(n－1)d＝nd，
又T3＝b1＋b2＋b3＝，
∴S3＋T3＝6d＋＝21，
即2d2－7d＋3＝0，
解得d＝3或d＝(舍去)，
∴an＝nd＝3n.
(2)∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
即，
∴6，
即－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d，
∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，
由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99，
即a50－b50＝1，∴a50－＝1，
即－a50－2 550＝0，
解得a50＝51或a50＝－50(舍去).
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，
解得d＝1，与d>1矛盾，舍去;
当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，
解得d＝.综上，d＝.

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