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第3节　等比数列及其前n项和
一、单选题
1.(2026·杭州模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比为(　　)
A.－ B.或－
C.－ D.
2.(2026·太原调研)古代“微尘数”的计法:“凡七微尘，成一窗尘;合七窗尘，成一兔尘;合七兔尘，成一羊尘;合七羊尘，成一牛尘;合七牛尘，成于一虮;合于七虮，成于一虱;合于七虱，成一芥子;合七芥子，成一大麦;合七大麦，成一指节;累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，那么1指节是(　　)
A.77兔尘 B.77羊尘
C.兔尘 D.羊尘
3.(2026·邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S6＝S3，则a1＝(　　)
A.3 B.2
C.－ D.－
4.(2026·江西十校协作体联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A.－81 B.81
C.50 D.61
5.(2026·广州质检)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝(　　)
A.8 B.16
C.24 D.48
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)
A.8 B.9
C.16 D.17
7.(2026·南京模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
二、多选题
8.(2026·宝鸡模拟)已知数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则(　　)
A.q＝2
B.a1＝
C.Sn＝
D.a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝1 023
9.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　)
A.{an＋Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列
C.{}是等差数列 D.是等比数列
三、填空题
10.(2026·石家庄质检)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－1，则a7＝　　　　.
11.(2026·沈阳模拟)已知等比数列{an}的前n项的积为Tn，即Tn＝a1a2a3…an－1an，又已知a1＝4，q＝，则Tn的最大值为　　　　.
12.(2026·许昌调研)如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为　　　　.
四、解答题
13.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
14.在数列{an}中，a1＝1，且满足an＝2an－1＋n－2(n∈N*且n≥2).
(1)证明:数列{an＋n}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
第3节　等比数列及其前n项和
一、单选题
1.(2026·杭州模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比为(　　)
A.－ B.或－
C.－ D.
答案　C
解析　设公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝2，
a1－a3＝a1－a1q2＝a1(1－q2)
＝a1(1＋q)(1－q)＝2(1－q)＝3，
所以q＝－，故选C.
2.(2026·太原调研)古代“微尘数”的计法:“凡七微尘，成一窗尘;合七窗尘，成一兔尘;合七兔尘，成一羊尘;合七羊尘，成一牛尘;合七牛尘，成于一虮;合于七虮，成于一虱;合于七虱，成一芥子;合七芥子，成一大麦;合七大麦，成一指节;累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，那么1指节是(　　)
A.77兔尘 B.77羊尘
C.兔尘 D.羊尘
答案　A
解析　∵微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，
∴1指节＝77兔尘.故选A.
3.(2026·邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S6＝S3，则a1＝(　　)
A.3 B.2
C.－ D.－
答案　D
解析　设等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则S6＝2S3，故q≠1;
由S6＝S3可得×，
化简得q3＝－，解得q＝－，
则a1＝＝－.
4.(2026·江西十校协作体联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A.－81 B.81
C.50 D.61
答案　D
解析　由等比数列的性质得a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15是公比为－3的等比数列，
所以a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝－27，a13＋a14＋a15＝81，
又a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，
所以S15＝1－3＋9－27＋81＝61.
故选D.
5.(2026·广州质检)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝(　　)
A.8 B.16
C.24 D.48
答案　C
解析　设数列{an}的公比为q，则S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，
又a1<0，则1＋q<0，即q<－1，
又S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6
＝(a1＋a2)(1＋q2＋q4)＝63，
即1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，又q<－1，
则q＝－2，
所以a1＝－3，a4＝a1·q3＝－3·(－2)3＝24.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)
A.8 B.9
C.16 D.17
答案　A
解析　设S4＝x(x≠0)，则S8＝4x.
因为{an}为等比数列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12仍成等比数列.
易知＝3，
所以
则＝8.
7.(2026·南京模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案　B
解析　因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，
故an＝2n－1，因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)
＝2k－1·＝2k＋9－2k－1＝214－24，
解得k＝5，故选B.
二、多选题
8.(2026·宝鸡模拟)已知数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则(　　)
A.q＝2
B.a1＝
C.Sn＝
D.a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝1 023
答案　ABD
解析　根据题意，a1＋a2＋a3＝1，(a1＋a2＋a3)q＝2，两式相除得q＝2，A正确;
又a1＋a1q＋a1q2＝1，即a1＋2a1＋4a1＝1，
可得a1＝，B正确;
Sn＝，C错误;
根据选项A，可知a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…为首项为1，公比为2的等比数列，
所以a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12
＝(a1＋a2＋a3)＋(a2＋a3＋a4)＋(a3＋a4＋a5)＋…＋(a10＋a11＋a12)＝1＋2＋22＋…＋29＝＝1 023.
9.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　)
A.{an＋Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列
C.{}是等差数列 D.是等比数列
答案　ACD
解析　由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，
∵{an}是各项均为正数的等比数列，
∴a2＝a2q，可得q＝1.
∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，
∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确;
∵，∴{}是常数列，为等差数列，因此C正确;
∵＝a1>0，∴是等比数列，因此D正确;
∵anSn＝n，∴{an·Sn}不是等比数列，因此B不正确.
三、填空题
10.(2026·石家庄质检)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－1，则a7＝　　　　.
答案　64
解析　当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，
即a1＝1;
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则an＝2n－1，则a7＝26＝64.
11.(2026·沈阳模拟)已知等比数列{an}的前n项的积为Tn，即Tn＝a1a2a3…an－1an，又已知a1＝4，q＝，则Tn的最大值为　　　　.
答案　8
解析　由a1＝4，q＝，得an＝4·，
则Tn＝a1a2a3…an－1an＝··…·＝，
所以当n＝2或3时，Tn取得最大值8.
12.(2026·许昌调研)如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为　　　　.
答案　
解析　由题意，得正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为.
四、解答题
13.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
解　(1)因为2Sn＝3an＋1－3，
所以2Sn＋1＝3an＋2－3，
两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，
即an＋2＝an＋1，
所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，
所以a1＝1，故an＝.
(2)因为2Sn＝3an＋1－3，
所以Sn＝(an＋1－1)＝，
设数列{Sn}的前n项和为Tn，
则Tn＝×n
＝×n－.
14.在数列{an}中，a1＝1，且满足an＝2an－1＋n－2(n∈N*且n≥2).
(1)证明:数列{an＋n}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明　因为an＝2an－1＋n－2(n∈N*且n≥2)，
所以an＋n＝2[an－1＋(n－1)](n∈N*且n≥2)，
因为a1＋1＝2，所以{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)解　由(1)知，{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋n＝2n，故an＝2n－n，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝＝2n＋1－－2.

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