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第4节　数列中的构造问题
一、单选题
1.已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　)
A.2210－3 B.2211＋3
C.2210＋3 D.2211＋1
2.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　)
A.64 B.56
C.32 D.24
3.(2026·湖州质检)已知数列{an}的各项均为正数，且－an－n2－n＝0，则a2 026＝(　　)
A.2 025 B.2 026
C.2 027 D.2 028
4.已知数列{an}满足:a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　)
A.47 B.48
C.49 D.410
5.(2026·长沙质检)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　)
A. B.
C. D.
6.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，，则a5＝(　　)
A.16 B.32
C.64 D.128
7.(2026·苏州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　)
A.80 B.100
C.120 D.143
8.(2026·北京东城区质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1－5an＋4an－1＝0(n∈N*，n≥2)，则a10等于(　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
9.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　　)
A.a2＝7 B.{Sn}是递增数列
C.{an＋3n}是等差数列 D.a10＝220－310
10.(2026·武汉调研)数列 {an} 满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A.是等比数列
B.是等比数列
C.an＝
D.Sn＝
11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为单调递减数列
D.的前n项和Tn＝
三、填空题
12.在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为　　　　.
13.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝　　　　.
14.(2026·保山调研)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　.
第4节　数列中的构造问题
一、单选题
1.已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　)
A.2210－3 B.2211＋3
C.2210＋3 D.2211＋1
答案　C
解析　因为an＋1＝2an－3，
所以an＋1－3＝2(an－3).
因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3，
故a211＝2210＋3.
2.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　)
A.64 B.56
C.32 D.24
答案　C
解析　法一　由an＋1＝2an＋2n得，而，
∴数列，公差为 的等差数列，
∴＋(n－1)×，
∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32.
法二　由已知可得，a2＝2a1＋2＝2×1＋2＝4，
a3＝2a2＋22＝2×4＋4＝12，
a4＝2a3＋23＝2×12＋8＝32.
3.(2026·湖州质检)已知数列{an}的各项均为正数，且－an－n2－n＝0，则a2 026＝(　　)
A.2 025 B.2 026
C.2 027 D.2 028
答案　C
解析　由－an－n(n＋1)＝0，
得[an－(n＋1)](an＋n)＝0.
又an>0，所以数列{an}的通项公式an＝n＋1，故a2 026＝2 027.
4.已知数列{an}满足:a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　)
A.47 B.48
C.49 D.410
答案　C
解析　由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，
得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
即＝4(n≥3)，
又a1＋a2＝4，
所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.
5.(2026·长沙质检)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　易知an≠0，从而由题意·，即－1＝－，
故数列－1＝－为首项，－为公比的等比数列，
从而－1＝－×，
所以－1＝，解得a9＝.
6.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，，则a5＝(　　)
A.16 B.32
C.64 D.128
答案　B
解析　由，得，
于是，
则，
两边取对数得nlg an＋1＝(n＋1)lg an，
因此，数列是常数列，
则＝lg 2，
即lg an＝nlg 2＝lg 2n，所以an＝2n，a5＝32.
7.(2026·苏州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　)
A.80 B.100
C.120 D.143
答案　C
解析　因为an＋1＝an＋2＋1，
所以an＋1＋1＝()2＋2＋1，
即an＋1＋1＝(＋1)2，
等式两边开方可得＋1，
即＝1，
所以数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以an＝n2＋2n，
所以a10＝102＋20＝120.
8.(2026·北京东城区质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1－5an＋4an－1＝0(n∈N*，n≥2)，则a10等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为当n≥2时，an＋1－5an＋4an－1＝0，
所以an＋1－an＝4(an－an－1)，
又a1＝1，a2＝2，
则a2－a1＝1，
所以{an＋1－an}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝4n－1，
从而a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝48＋47＋…＋40＋1
＝＋1＝.
二、多选题
9.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　　)
A.a2＝7 B.{Sn}是递增数列
C.{an＋3n}是等差数列 D.a10＝220－310
答案　ABD
解析　因为an＋1＝4an＋3n，
则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，
且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，
则an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.
对于A，a2＝42－32＝7，故A正确;
对于B，因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确;
对于C，因为数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，
所以{an＋3n}不是等差数列，故C错误;
对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确.
10.(2026·武汉调研)数列 {an} 满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A.是等比数列
B.是等比数列
C.an＝
D.Sn＝
答案　BCD
解析　对于AB，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋1，则an＋1＋＝3，a1＋≠0，
因此数列为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确;
对于C，an＋×3n－1＝，
则an＝，C正确;
对于D，Sn＝
＝，D正确.
11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为单调递减数列
D.的前n项和Tn＝
答案　BCD
解析　因为＋3，
所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故A错误;
所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，即an＝，故B正确;
根据函数y＝3x－2在[1，＋∞)上单调递增，且3x－2>0，则函数y＝在[1，＋∞)上单调递减，
又因为an＝，n∈N*，则数列{an}为单调递减数列，故C正确;
的前n项和Tn＝，故D正确.
三、填空题
12.在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为　　　　.
答案　an＝3n－2n＋2
解析　法一　设an＋1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an＋1＝3an＋2pn＋2q－p，
与原式相比较，对应项系数相等得
首项a1＋2－2＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，
故an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，
故an＝3n－2n＋2.
法二　因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，
所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2(n－1)]，
因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3，
所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列，
则an＋2(n－1)＝3·3n－1＝3n，
所以an＝3n－2n＋2.
13.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝　　　　.
答案　2n－1
解析　由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n，
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1，
显然n＝1时满足上式，所以an＝2n－1.
14.(2026·保山调研)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　.
答案　an＝
解析　在数列{an}中，a1＝1，
2an＋1－an＋anan＋1＝0，显然an≠0，
则有＝2·＋1，
即＋1＝2，而＋1＝2，
因此数列是以2为首项，
2为公比的等比数列，
所以＋1＝2n，即an＝.

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