资源简介

第5节　数列求和方法(一)
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.
(1)若{bn}是公差为3的等差数列，求证:{}也是等差数列;
(2)若{}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和.
2.(2026·湖州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2＋1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an，a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n.
4.(2026·合肥调研改编)已知函数f(x)＝(x＋1)3＋1，正项等比数列{an}满足a1 014＝，求f(lg ak).
第5节　数列求和方法(一)
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.
(1)若{bn}是公差为3的等差数列，求证:{}也是等差数列;
(2)若{}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和.
(1)证明　因为数列{bn}是首项为b1＝2，公差为3的等差数列，
所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，
所以＝2bn＋4＝2(3n－1)＋4＝6n＋2，
所以＝6(n＋1)＋2－(6n＋2)＝6，
所以数列{}是以6为公差的等差数列.
(2)解　因为{}是公比为2的等比数列，数列{bn}的首项为b1＝2，an＝2n＋4，
所以＝a2＝2×2＋4＝8，
所以＝8×2n－1＝2n＋2.
又因为an＝2n＋4，所以＝2bn＋4，
所以2bn＋4＝2n＋2，解得bn＝2n＋1－2，
所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(21＋1－2)＋(22＋1－2)＋(23＋1－2)＋…＋(2n＋1－2)
＝22＋23＋…＋2n＋1－2n
＝－2n＝2n＋2－2n－4，
所以数列{bn}的前n项和为2n＋2－2n－4.
2.(2026·湖州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2＋1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
解　(1)因为Sn＝n2＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋1，
则an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1
＝2n－1，当n＝1时，a1不满足上式，
所以an＝
(2)由(1)可得
bn＝(－1)nan＝
所以T2n＝－2＋3－5＋7－9＋11－13＋…＋(4n－5)－(4n－3)＋(4n－1)
＝－2＋(3－5)＋(7－9)＋(11－13)＋…＋[(4n－5)－(4n－3)]＋4n－1
＝－2－2(n－1)＋4n－1＝2n－1.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an，a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n.
解　(1)因为Sn＝an，当n≥2时，Sn－1＝an－1，两式相减得，
所以＝2，，…，，由累乘法得＝n，所以an＝n(n≥2)，当n＝1时，符合上式，所以an＝n(n∈N*).
(2)bn＝
当n为奇数时，bn＝1＋＋1－－2＝2，
所以T2n＝22＋24＋…＋22n＋2.
4.(2026·合肥调研改编)已知函数f(x)＝(x＋1)3＋1，正项等比数列{an}满足a1 014＝，求f(lg ak).
解　函数f(x)＝(x＋1)3＋1的图象，可看成曲线y＝x3向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的.
因为曲线y＝x3的对称中心为(0，0)，
所以函数f(x)＝(x＋1)3＋1的图象的对称中心为(－1，1)，所以f(x)＋f(－2－x)＝2.
因为正项等比数列{an}满足a1 014＝，
所以a1·a2 027＝a2·a2 026＝…＝，
所以lg a1＋lg a2 027＝lg a2＋lg a2 026＝…＝2lg a1 014＝－2，
所以f(lg a1)＋f(lg a2 027)＝f(lg a2)＋f(lg a2 026)＝…＝2f(lg a1 014)＝2，
f(lg ak)＝f(lg a1)＋f(lg a2)＋f(lg a3)＋…＋f(lg a2 027)， ①
f(lg ak)＝f(lg a2 027)＋f(lg a2 026)＋f(lg a2 025)＋…＋f(lg a1). ②
由①②相加得2f(lg ak)＝[f(lg a1)＋f(lg a2 027)]＋[f(lg a2)＋f(lg a2 026)]＋…＋[f(lg a2 027)＋f(lg a1)]，
即2f(lg ak)＝2 027×2，
所以f(lg ak)＝2 027.

展开更多......

收起↑