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第6节　数列求和方法(二)
1.记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝.
(1)证明:数列{an}为等差数列;
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
2.(2026·龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，n∈N*，a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn＝(－1)n·，求数列{bn}的前n项和Tn.
3.已知正项等比数列{an}满足＝4n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn＝，设其前n项和为Sn，求证:Sn<5.
4.(2026·临沂模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋Sn＝2n＋.
(1)证明:数列{an－2}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
第6节　数列求和方法(二)
1.记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝.
(1)证明:数列{an}为等差数列;
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝＝n;
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，
故an＝n，所以an－an－1＝n－(n－1)＝1，
故数列{an}为等差数列.
(2)解　由(1)知an＝n，
故bn＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝
＝
＝.
2.(2026·龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，n∈N*，a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn＝(－1)n·，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)由nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，n∈N*，得＝1，又a1＝1，
∴数列＝a1＝1，公差d＝1的等差数列，
∴＝n，即Sn＝n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且a1＝1也满足上式，
则数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)得an＝2n－1，
∴bn＝(－1)n
＝(－1)n
∴Tn＝－＋…＋(－1)n
＝－1＋(－1)n.
3.已知正项等比数列{an}满足＝4n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn＝，设其前n项和为Sn，求证:Sn<5.
(1)解　设正项等比数列{an}的公比为
q(q>0)，
由＝4n，得＝4n＋1，
两式相除得q2＝4，则q＝2(负值已舍去)，
又＝4，即＝4，又a1>0，则a1＝2，
所以数列{an}的通项公式是an＝a1qn－1＝2n.
(2)证明　由(1)知bn＝，
则Sn＝＋…＋，
于是Sn＝＋…＋，
两式相减得Sn＝＋…＋，因此Sn＝5－，
而>0恒成立，则5－<5.
所以Sn<5.
4.(2026·临沂模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋Sn＝2n＋.
(1)证明:数列{an－2}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
(1)证明　因为an＋Sn＝2n＋，
所以当n＝1时，a1＝;
当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋，
所以an－an－1＋an＝2，即an＝1＋an－1，
又a1－2＝≠0，
所以，
所以数列{an－2}是首项为，公比为的等比数列.
(2)解　由(1)得an－2＝×，所以an＝＋2.
(3)解　由(2)得nan＝n×＋2n，
记Hn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×， ①
则Hn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×， ②
由①－②得Hn＝＋…＋－n×－n××，
所以Hn＝1－，
所以Tn＝1－＋2×＝n2＋n＋1－.

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