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第7节　数列中的奇偶项、子数列问题
1.(2026·苏州质检)已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8.
(1)求数列{bn}与{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}中去掉{an}中的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和.
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列.
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a4＝12，S4＝20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n.
4.已知数列{an}满足a1＝a(a∈R)，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N＋.
(1)数列{bn}满足:bn＝an＋n，试判断{bn}是否为等比数列，请说明理由;
(2)数列{cn}满足:cn＝(－1)nan，当a＝2时，求数列{cn}的前n项和Tn.
第7节　数列中的奇偶项、子数列问题
1.(2026·苏州质检)已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8.
(1)求数列{bn}与{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}中去掉{an}中的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和.
解　(1)∵Sn＝n2＋n，
∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n.
又b1＝S1＝2也符合上式，
∴bn＝2n.
∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，
∴等比数列{an}的公比为2，
∴an＝2n.
(2)∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，
a4＝16，a5＝32，b25＝50，
∴c1＋c2＋…＋c20
＝(b1＋b2＋…＋b25)－(a1＋a2＋…＋a5)
＝S25－(21＋22＋…＋25)
＝252＋25－
＝650－62＝588.
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列.
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)由Sn＝得，
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，
当n＝1时，上式也成立，
所以an＝3n－1.
依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)，
b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)，
解得b1＝2，所以bn＝2n.
(2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，
所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，
所以cn＝2×4n－1，
则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝.
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a4＝12，S4＝20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n.
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，
即数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*).
(2)由(1)得bn＝
即bn＝
所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝(41＋43＋45＋…＋42n－1)＋
＝.
4.已知数列{an}满足a1＝a(a∈R)，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N＋.
(1)数列{bn}满足:bn＝an＋n，试判断{bn}是否为等比数列，请说明理由;
(2)数列{cn}满足:cn＝(－1)nan，当a＝2时，求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)当a＝－1时{bn}不是等比数列;
当a≠－1时{bn}是等比数列.
理由如下:
因为an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，
故an＋1＋(n＋1)＝3(an＋n)，
又bn＝an＋n，故bn＋1＝3bn，
当a＝－1时，b1＝0，
故{bn}不是等比数列;
当a≠－1时，b1≠0，
故{bn}是以a＋1为首项，3为公比的等比数列.
(2)当a＝2时，由(1)可知bn＝3n，
所以an＝3n－n，
所以cn＝(－1)n·(3n－n)＝(－3)n－n·(－1)n，
当n为偶数时，Tn＝－[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝;
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋cn＝－3n＋n＝.
综上所述，Tn＝

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