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第1节 平面向量的概念及线性运算
一、单选题
1.已知向量a,b不共线,向量c＝a＋6b,d＝－2a＋xb,c∥d,则x＝(　　)
A. B.－12
C.－ D.12
2.在△ABC中,AB＝AC,D,E分别是AB,AC的中点,则(　　)
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
3.下列命题中正确的是(　　)
A.|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
B.在△ABC中,＝0
C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相反
D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a＋b的方向与a,b之一的方向一定相同
4.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a＋b＋c可表示为(　　)
A.2e1－3e2 B.3e1－2e2
C.2e1＋3e2 D.3e1＋2e2
5.(2026·无锡质检)在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的点,＝4,点F是线段DE的中点,若＝λ＋μ,则μ＝(　　)
A. B.1
C. D.
6.(2026·佛山质检)在△ABC中,＝a,＝b,若＝2,＝2,线段AD与BE交于点F,则＝(　　)
A.a＋b B.a－b
C.－a＋b D.－a－b
7.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N满足,AM与CN交于点D,若＝λ,则λ等于(　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
8.下列结论中正确的为(　　)
A.两个有共同起点的单位向量,其终点未必相同
B.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB＝CD,则
C.对任意向量a(a≠0),是一个单位向量
D.零向量没有方向
9.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是(　　)
A. B.()
C.＝0 D.＝0
三、填空题
10.在正六边形ABCDEF中,若AB＝1,则||＝　　　　.
11.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝120°,点E,F分别在边BC,CD上,且满足,＝2,则||＝　　　　.
12.(2025·长春二模)在△ABC中,,点E在BD上,若＝x,则x＝　　　　.
四、解答题
13.已知a,b不共线,＝a,＝b,＝c,＝d,＝e,设t∈R,如果3a＝c,2b＝d,e＝t(a＋b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上 若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.
14.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设＝a,＝b.
(1)试用a,b表示,,;
(2)证明:B,E,F三点共线.
第1节 平面向量的概念及线性运算
一、单选题
1.已知向量a,b不共线,向量c＝a＋6b,d＝－2a＋xb,c∥d,则x＝(　　)
A. B.－12
C.－ D.12
答案　B
解析　由题意,设c＝λd,
则a＋6b＝λ(－2a＋xb)＝－2λa＋λxb,
则解得λ＝－,x＝－12.
2.在△ABC中,AB＝AC,D,E分别是AB,AC的中点,则(　　)
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
答案　B
解析　由题意可知,不共线,A错误;
因为D,E分别是AB,AC的中点,
所以DE∥BC,故共线,B正确;
因为CD与AE不平行,所以不相等,C错误;
因为＝－,D错误.
3.下列命题中正确的是(　　)
A.|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
B.在△ABC中,＝0
C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相反
D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a＋b的方向与a,b之一的方向一定相同
答案　B
解析　对于A,当a,b之一为零向量时,不成立,故A错误;
对于B,首尾顺次相接,B正确;
对于C,两个单位向量互相平行,这两个单位向量相等或相反(大小相等,方向相反),故C错误;
对于D,当a＋b＝0时,零向量的方向是任意的,故D错误.
4.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a＋b＋c可表示为(　　)
A.2e1－3e2 B.3e1－2e2
C.2e1＋3e2 D.3e1＋2e2
答案　D
解析　由题意得a＝e1＋2e2,
b＝e1－2e2,c＝e1＋2e2,
所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2
＝3e1＋2e2.
5.(2026·无锡质检)在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的点,＝4,点F是线段DE的中点,若＝λ＋μ,则μ＝(　　)
A. B.1
C. D.
答案　C
解析　由题意可得()＝()＝
＝,
又＝λ＋μ,
所以μ＝.
6.(2026·佛山质检)在△ABC中,＝a,＝b,若＝2,＝2,线段AD与BE交于点F,则＝(　　)
A.a＋b B.a－b
C.－a＋b D.－a－b
答案　B
解析　如图所示,
由＝2,＝2可得D,E分别为BC,AC的中点,
由三角形中线的性质可得,
又()＝(a＋b),
所以×(a＋b)＝(a＋b),
因此＝－b＋(a＋b)
＝a－b.
7.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N满足,AM与CN交于点D,若＝λ,则λ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　在△ABC中,因为M是BC的中点,
所以,
则＝λ,
又,于是得,
因为点C,D,N共线,
则有＝1,解得λ＝.
二、多选题
8.下列结论中正确的为(　　)
A.两个有共同起点的单位向量,其终点未必相同
B.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB＝CD,则
C.对任意向量a(a≠0),是一个单位向量
D.零向量没有方向
答案　AC
解析　对于A,由单位向量的方向不一定相同,故两个有共同起点的单位向量,其终点也不一定相同,故A正确;对于B,如图,A,B,C,D四点满足条件,但≠,故B错误;
对于C,对于任意非零向量a,表示与a同向的单位向量,故C正确;
对于D,根据零向量的定义,其方向任意,故D错误.
9.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是(　　)
A. B.()
C.＝0 D.＝0
答案　BCD
解析　如图,
对于A ,因为E,F分别是边CA,AB的中点,则,A错误;
对于B,
因为D为BC中点,
则(),B正确;
对于C,()＝0,C正确;
对于D,＝－2＝－2×()＝－,即＝0,
D正确.
三、填空题
10.在正六边形ABCDEF中,若AB＝1,则||＝　　　　.
答案　2
解析　法一　如图,连接AD,BE,CF,
正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成,
且AB＝1,所以||＝2,
所以||＝||＝||＝2.
法二　连接AD,易知AD＝2,
则||＝||
＝||＝||＝||＝2.
11.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝120°,点E,F分别在边BC,CD上,且满足,＝2,则||＝　　　　.
答案　3
解析　因为,
所以,
又因为＝2,
所以,
所以||＝||＝||,
又因为∠BAD＝120°,所以∠ADC＝60°,
所以△ADC为等边三角形,
所以AC＝AD＝2,
所以||＝||＝×2＝3.
12.(2025·长春二模)在△ABC中,,点E在BD上,若＝x,则x＝　　　　.
答案　－
解析　因为,所以,
则＝x＝x(－)＋()＝
＝×
＝,
因为B,E,D三点共线,所以＝1,解得x＝－.
四、解答题
13.已知a,b不共线,＝a,＝b,＝c,＝d,＝e,设t∈R,如果3a＝c,2b＝d,e＝t(a＋b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上 若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.
解　由题设知＝d－c＝2b－3a,
＝e－c＝(t－3)a＋tb,
C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得＝k,
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb,
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a,b不共线,
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C,D,E三点在一条直线上.
14.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设＝a,＝b.
(1)试用a,b表示,,;
(2)证明:B,E,F三点共线.
(1)解　在△ABC中,因为＝a,＝b,
所以＝b－a,＝a＋(b－a)＝a＋b,
＝－＝－a＋b.
(2)证明　因为＝－a＋b,
＝－
＝－a＋＝－a＋b
＝,
所以,即共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.

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