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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1.(2026·金华模拟)已知向量a＝(1,2),b＝(x,－4),且a∥b,则实数x的值为(　　)
A.－2 B.2
C.－8 D.8
2.(2026·福州调研)在平面直角坐标系xOy内,已知点A(－1,1),＝(1,－2),则＝(　　)
A.(2,－3) B.(0,－1)
C.(－2,3) D.(0,1)
3.已知向量a＝(5,2),b＝(－4,－3),c＝(x,y),若3a－2b＋c＝0,则c＝(　　)
A.(－23,－12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(－7,0)
4.(2026·沈阳模拟)已知向量＝(5,1),＝(m,9),＝(8,5).若A,C,D三点共线,则m＝(　　)
A. B.－11
C.11 D.－
5.已知{a,b}是平面内的一个基底,若m＝xa＋yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标,给定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD＝1,AB＝2,BC＝3,M,N分别为CD,AD的中点,则|－2|＝(　　)
A.2 B.2
C.3 D.
7.在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,,AD与BC交于点M,则点M的坐标为(　　)
A. B.
C.(3,－2) D.(－2,3)
二、多选题
8.在下列各组向量中,可以作为基底的是(　　)
A.a＝(－3,2),b＝(6,－4)
B.a＝(2,3),b＝(3,2)
C.a＝(1,－2),b＝(7,14)
D.a＝(－2,3),b＝(4,6)
9.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则＝(　　)
A. B.
C. D.
三、填空题
10.已知点A(1,3),B(4,－1),则与向量同方向的单位向量的坐标是　　　　.
11.已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段AB的延长线上,且||＝||,则点P的坐标为　　　　.
12.(2026·银川模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD＝2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若＝λ＋μ,则λ＋μ＝　　　　.
四、解答题
13.已知A(－2,4),B(3,－1),C(－3,－4).设＝a,＝b,＝c,且＝3c,＝－2b.
(1)求3a＋b－3c;
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
14.如图所示,已知矩形ABCD中,AB＝2,AD＝1,,,AC与MN相交于点E.
(1)若＝λ＋μ,求实数λ和μ的值;
(2)求.
第2节　平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1.(2026·金华模拟)已知向量a＝(1,2),b＝(x,－4),且a∥b,则实数x的值为(　　)
A.－2 B.2
C.－8 D.8
答案　A
解析　由a∥b可得,解得x＝－2.
2.(2026·福州调研)在平面直角坐标系xOy内,已知点A(－1,1),＝(1,－2),则＝(　　)
A.(2,－3) B.(0,－1)
C.(－2,3) D.(0,1)
答案　B
解析　因为点A(－1,1),＝(1,－2),
所以＝(－1,1),＝(－1,1)＋(1,－2)＝(0,－1).故选B.
3.已知向量a＝(5,2),b＝(－4,－3),c＝(x,y),若3a－2b＋c＝0,则c＝(　　)
A.(－23,－12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(－7,0)
答案　A
解析　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4,－3)＋(x,y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0),
所以
所以c＝(－23,－12).
4.(2026·沈阳模拟)已知向量＝(5,1),＝(m,9),＝(8,5).若A,C,D三点共线,则m＝(　　)
A. B.－11
C.11 D.－
答案　C
解析　因为向量,＝(m,9),
＝(8,5),
所以＝(m＋5,10),
因为A,C,D三点共线,则∥,
所以5(m＋5)＝8×10,解得m＝11.
5.已知{a,b}是平面内的一个基底,若m＝xa＋yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标,给定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),
得p＝a＋2b,
设p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为(m,n),
则p＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(n－m)b,
所以
所以p在基底{a－b,a＋b}下的坐标为
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD＝1,AB＝2,BC＝3,M,N分别为CD,AD的中点,则|－2|＝(　　)
A.2 B.2
C.3 D.
答案　D
解析　如图,
以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则B(0,0),M(2,1),N,
∴＝(2,1),,
∴－2＝(2,1)－2＝(1,－3),
∴|－2|＝.
7.在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,,AD与BC交于点M,则点M的坐标为(　　)
A. B.
C.(3,－2) D.(－2,3)
答案　A
解析　因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),
所以点C,同理点D.
设M的坐标为(x,y),
则＝(x,y－5),而.
因为A,M,D三点共线,
所以共线,
所以－x－2(y－5)＝0,即7x＋4y＝20.
而,
,
因为C,M,B三点共线,所以共线,
所以x－4＝0,即7x－16y＝－20.
由
所以点M的坐标为.
二、多选题
8.在下列各组向量中,可以作为基底的是(　　)
A.a＝(－3,2),b＝(6,－4)
B.a＝(2,3),b＝(3,2)
C.a＝(1,－2),b＝(7,14)
D.a＝(－2,3),b＝(4,6)
答案　BCD
解析　对于A,由向量a＝(－3,2),b＝(6,－4),可得(－3)×(－4)－2×6＝0,
所以a∥b,所以A错误;
对于B,由向量a＝(2,3),b＝(3,2),可得2×2－3×3≠0,
所以a与b不平行,所以B正确;
对于C,由向量a＝(1,－2),b＝(7,14),可得1×14－7×(－2)≠0,
所以a与b不平行,所以C正确;
对于D,由向量a＝(－2,3),b＝(4,6),
可得－2×6－3×4≠0,
所以a与b不平行,所以D正确.
9.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　AC
解析　如图所示,
则
＝()
＝×
＝.故选AC.
三、填空题
10.已知点A(1,3),B(4,－1),则与向量同方向的单位向量的坐标是　　　　.
答案　
解析　∵点A(1,3),B(4,－1),
∴＝(3,－4),
可得||＝＝5,
因此,与向量同方向的单位向量为
·(3,－4)＝.
11.已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段AB的延长线上,且||＝||,则点P的坐标为　　　　.
答案　(8,－15)
解析　因为点P在线段AB的延长线上,
且||＝||,
所以,
所以＋2＝(4,－3)＋2(2,－6)＝(8,－15),
所以点P的坐标为(8,－15).
12.(2026·银川模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD＝2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若＝λ＋μ,则λ＋μ＝　　　　.
答案　1
解析　＝λ＋μ
＝λ＋μ
＝＋(λ＋μ),
而,
所以
解得所以λ＋μ＝1.
四、解答题
13.已知A(－2,4),B(3,－1),C(－3,－4).设＝a,＝b,＝c,且＝3c,＝－2b.
(1)求3a＋b－3c;
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
解　由已知得a＝(5,－5),b＝(－6,－3),
c＝(1,8).
(1)3a＋b－3c＝3(5,－5)＋(－6,－3)－3(1,8)＝(15－6－3,－15－3－24)＝(6,－42).
(2)法一　∵mb＋nc＝(－6m＋n,－3m＋8n),
∴
法二　∵a＋b＋c＝0,∴a＝－b－c,
又a＝mb＋nc,b和c不共线,
∴mb＋nc＝－b－c,∴
(3)设O为坐标原点,∵＝3c,
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3,－4)＝(0,20),
∴M(0,20).
又∵＝－2b,
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3,－4)
＝(9,2),
∴N(9,2),∴＝(9,－18).
14.如图所示,已知矩形ABCD中,AB＝2,AD＝1,,,AC与MN相交于点E.
(1)若＝λ＋μ,求实数λ和μ的值;
(2)求.
解　(1)如图,以A点为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则D(0,1),B(2,0),M,N,
所以,＝(2,0),＝(0,1),
所以＝λ＋μ＝(2λ,μ),
所以
(2)由(1)可知C(2,1),
设＝t＝t(2,1),所以E(2t,t),
又M,所以,
又,且M,N,E三点共线,
所以∥,
所以·(t－1)＝0,
解得t＝,故.

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