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第3节　平面向量的数量积及其应用
一、单选题
1.(2026·南昌调研)已知单位向量a,b满足a·b＝,则|a＋b|＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.
2.(2026·厦门质检)已知向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2,则a·b＝(　　)
A.0 B.2
C.2 D.2
3.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝(　　)
A. B.
C.1 D.
4.(2026·西安模拟)已知平面向量a,b是两个单位向量,若a－2b的模为,则b在a上的投影向量是(　　)
A.a B.b
C.a D.b
5.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1,0),e2＝(1,),设a＝4e1＋e2,b＝3e1－e2,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2026·烟台模拟)在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,则||＝(　　)
A. B.
C. D.2
7.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1,0),向量a满足|a－4m|＝|m|,则|a|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
二、多选题
8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是(　　)
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|
9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|＝1,则下列结论正确的为(　　)
A.·＝－
B.
C.··
D.||＝||
三、填空题
10.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W＝F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　.
11.(2026·商洛模拟)已知圆O的半径为3,弦AB＝3,D为圆O上一动点,则·的最大值为　　　　.
12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin,其中是a与b的夹角,给出下列命题:①若＝90°,则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|,
则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1,2),b＝(－2,2),则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是　　　　.
四、解答题
13.已知向量a,b满足|a|＝,|b|＝4,a·(b－a)＝2.
(1)求向量a与b的夹角;
(2)若|ta－b|＝2,求实数t的值.
14.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,＝λ,BC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥,求实数λ的值;
(2)若λ＝,求与的夹角θ的余弦值.
第3节　平面向量的数量积及其应用
一、单选题
1.(2026·南昌调研)已知单位向量a,b满足a·b＝,则|a＋b|＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.
答案　D
解析　(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3,则|a＋b|＝.
2.(2026·厦门质检)已知向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2,则a·b＝(　　)
A.0 B.2
C.2 D.2
答案　B
解析　由|a－b|＝2得a2－2a·b＋b2＝4,
∵|a|＝|b|＝2,∴4－2a·b＋4＝4,
即a·b＝2.
3.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝(　　)
A. B.
C.1 D.
答案　B
解析　由题意得a－b＝(1,1－2x),
又a⊥(a－b),
所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0,
解得x＝1,所以|a|＝.
4.(2026·西安模拟)已知平面向量a,b是两个单位向量,若a－2b的模为,则b在a上的投影向量是(　　)
A.a B.b
C.a D.b
答案　C
解析　依题意,|a－2b|＝,
则a2－4a·b＋4b2＝3,
而|a|＝|b|＝1,解得a·b＝,
所以b在a上的投影向量是a＝a.
5.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1,0),e2＝(1,),设a＝4e1＋e2,b＝3e1－e2,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为e1＝(1,0),e2＝(1,),
所以a＝4e1＋e2＝(5,),
b＝3e1－e2＝(2,－),
所以a·b＝10－3＝7,|a|＝＝2,
|b|＝,
设a与b的夹角为θ,
则cos θ＝,
又θ∈[0,π],所以θ＝,
即a与b的夹角为.
6.(2026·烟台模拟)在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,则||＝(　　)
A. B.
C. D.2
答案　C
解析　在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,
所以,
则||＝
＝.
7.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1,0),向量a满足|a－4m|＝|m|,则|a|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　设a＝(x,y),则a－4m＝(x－4,y),
由|a－4m|＝|m|,得＝1,
所以(x－4)2＋y2＝1,
所以y2＝1－(x－4)2,
由y2≥0,解得3≤x≤5,
所以|a|＝＝,
所以当x＝3时,|a|取得最小值,且最小值为3.
二、多选题
8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是(　　)
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|
答案　ACD
解析　根据数量积的分配律可知A正确;
B中,左边为c的共线向量,右边为a的共线向量,故B不正确;
C中,根据数量积的定义可知
a·b＝|a||b|cos≤|a||b|,故C正确;
D中,|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0,故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2,
即|a－b|≤|a|＋|b|,故D正确.
9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|＝1,则下列结论正确的为(　　)
A.·＝－
B.
C.··
D.||＝||
答案　ACD
解析　由正八边形的几何性质知,每个中心角为,
||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝1,D正确;
∴·＝||·||cos
＝－,A正确;
是方向相反的向量,B错误;
·＝||·||cos,
·＝||·||cos,
··,C正确.
三、填空题
10.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W＝F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　.
答案　25
解析　因为F1＝(2,4),F2＝(－5,3),
所以F1＋F2＝(－3,7),
又A(1,0),B(2,4),所以＝(1,4),
故W＝(F1＋F2)·＝－3＋7×4＝25.
11.(2026·商洛模拟)已知圆O的半径为3,弦AB＝3,D为圆O上一动点,则·的最大值为　　　　.
答案　
解析　以圆心O为原点,过点O且与
直线AB平行的直线为x轴,
线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A,
B,
设点D(3cos θ,3sin θ),＝(3,0),
,
所以·＝9cos θ＋≤,
当且仅当cos θ＝1时,·.
12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin,其中是a与b的夹角,给出下列命题:①若＝90°,则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|,
则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1,2),b＝(－2,2),则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是　　　　.
答案　①③
解析　对于①,若＝90°,
则|a＋b|＝|a－b|,a·b＝0,
则a☉b＝|a＋b|×|a－b|＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2,故①正确;
对于②,若|a|＝|b|,
则(a＋b)⊥(a－b),
则(a＋b)与(a－b)的夹角为90°,
则(a＋b)☉(a－b)＝|(a＋b)＋(a－b)|×|(a＋b)－(a－b)|sin 90°＝4|a||b|,故②错误;
对于③,若|a|＝|b|,则a☉b≤|a＋b|×|a－b|
＝·
＝≤2|a|2,故③正确;
对于④,若a＝(1,2),b＝(－2,2),
则a＋b＝(－1,4),a＋2b＝(－3,6),
则cos＝,
sin＝,
则(a＋b)☉b＝|a＋2b|×|a|×sin
＝3××≠,故④错误.
四、解答题
13.已知向量a,b满足|a|＝,|b|＝4,a·(b－a)＝2.
(1)求向量a与b的夹角;
(2)若|ta－b|＝2,求实数t的值.
解　(1)设向量a与b的夹角为θ,
∵|a|＝,|b|＝4,
∴a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cos θ－a2
＝4cos θ－2＝2,
∴cos θ＝,
∵0≤θ≤π,∴θ＝.
∴向量a与b的夹角为.
(2)∵|ta－b|＝2,由(1)知a·b＝4,
∴t2a2－2ta·b＋b2＝2t2－8t＋16＝8,
即t2－4t＋4＝0,解得t＝2.
14.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,＝λ,BC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥,求实数λ的值;
(2)若λ＝,求与的夹角θ的余弦值.
解　(1)分别以,的方向为x轴、y轴的正方向,点B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
所以A(0,1),C(2,0),
D(1,1),E(λ,1),
所以＝(2,－1),
＝(λ,1),
因为⊥,
所以·＝2λ－1＝0,
所以λ＝.
(2)当λ＝时,||＝,
||＝,
因为·＝2λ－1＝,
所以cos θ＝.
故的夹角θ的余弦值为.

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