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第4节　复 数
一、单选题
1.(2026·西安模拟)已知a∈R,z＝(3－ai)(1＋i)是纯虚数,则|a＋4i|＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2026·菏泽模拟)已知z＝,则＝(　　)
A.－i B.i
C.－i D.i
3.(2026·昆明月考)在复平面内,O为坐标原点,复数2－i,－1＋3i对应的向量分别是,,则对应的复数为(　　)
A.－3＋4i B.1－2i
C.3－4i D.1＋2i
4.(2026·重庆诊断)已知m,n为实数,1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根,则m＋n等于(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
5.(2026·湘豫名校联考)已知z＝1－i,则在复平面内,复数zi＋对应的点位于(　　)
A.实轴上 B.虚轴上
C.直线y＝x上 D.直线y＝－x上
6.(2026·淄博模拟)若复数 z 满足z(1＋i)＝3＋i,则·i2 026＝(　　)
A.2－i B.2＋i
C.－2－i D.2＋i
7.(2026·泰州调研)已知复数z满足＝i(i为虚数单位),则z的虚部为(　　)
A.i B.
C.i D.
8.在复平面内,已知复数z1＝1－i对应的向量为,现将向量绕点O逆时针旋转90°,并将其长度变为原来的2倍得到向量,设对应的复数为z2,则等于(　　)
A.2i B.2i
C.2 D.2
二、多选题
9.(2026·十堰质检)已知虚数z满足z2＝,则(　　)
A.z的实部为－ B.z的虚部为
C.|z|＝1 D.z可能为纯虚数
10.(2026·郑州调研)已知z满足|z＋i2－i3|＝|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.x－y－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为
11.已知关于x的方程x2＋tx＋1＝0(－2A.z1＝ B.z1·z2＝1
C.|z1|＝|z2| D.
三、填空题
12.(2025·天津卷)已知i是虚数单位,则＝　　　　.
13.已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数,则m等于　　　　.
14.已知复数z＝x＋yi(x,y∈R),且|z－2|＝1,则|z＋i|的取值范围为　　　　　　.
第4节　复 数
一、单选题
1.(2026·西安模拟)已知a∈R,z＝(3－ai)(1＋i)是纯虚数,则|a＋4i|＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　因为z＝(3－ai)(1＋i)＝3＋a＋i是纯虚数,
所以a＋3＝0且a≠3,所以a＝－3,
则|a＋4i|＝|－3＋4i|＝＝5.
2.(2026·菏泽模拟)已知z＝,则＝(　　)
A.－i B.i
C.－i D.i
答案　C
解析　因为z＝＝－i－＝－i,
所以＝－i.
3.(2026·昆明月考)在复平面内,O为坐标原点,复数2－i,－1＋3i对应的向量分别是,,则对应的复数为(　　)
A.－3＋4i B.1－2i
C.3－4i D.1＋2i
答案　A
解析　复数2－i,－1＋3i对应的点为M(2,－1),N(－1,3),
所以＝(－1,3)－(2,－1)
＝(－3,4),对应的复数为－3＋4i.
4.(2026·重庆诊断)已知m,n为实数,1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根,则m＋n等于(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
答案　D
解析　由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根,
则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的另一个根,则m＝1－i＋1＋i＝2,n＝(1－i)×(1＋i)＝2,即m＝2,n＝2,则m＋n＝4.
5.(2026·湘豫名校联考)已知z＝1－i,则在复平面内,复数zi＋对应的点位于(　　)
A.实轴上 B.虚轴上
C.直线y＝x上 D.直线y＝－x上
答案　C
解析　因为z＝1－i,所以zi＋＝i(1－i)＋＝i＋1＋＝i＋1＋
＝2＋2i,
所以在复平面内,复数zi＋对应的点的坐标为(2,2),位于直线y＝x上.
6.(2026·淄博模拟)若复数 z 满足z(1＋i)＝3＋i,则·i2 026＝(　　)
A.2－i B.2＋i
C.－2－i D.2＋i
答案　C
解析　z(1＋i)＝3＋i,得z＝＝2－i,
则·i2 026＝(2＋i)i2 026＝(2＋i)i2＝－2－i.
7.(2026·泰州调研)已知复数z满足＝i(i为虚数单位),则z的虚部为(　　)
A.i B.
C.i D.
答案　B
解析　已知＝i,
可得z－2＝i(3z－4),整理得z(1－3i)＝2－4i,
则z＝i.
所以z的虚部为.
8.在复平面内,已知复数z1＝1－i对应的向量为,现将向量绕点O逆时针旋转90°,并将其长度变为原来的2倍得到向量,设对应的复数为z2,则等于(　　)
A.2i B.2i
C.2 D.2
答案　A
解析　依题意,＝(1,－1),
设将向量绕点O逆时针旋转90°所得向量坐标为(x,y),x>0,
则有解得y＝x＝1,
因此＝2(1,1)＝(2,2),即z2＝2＋2i,
所以＝2i.
二、多选题
9.(2026·十堰质检)已知虚数z满足z2＝,则(　　)
A.z的实部为－ B.z的虚部为
C.|z|＝1 D.z可能为纯虚数
答案　AC
解析　设z＝a＋bi(a,b∈R,b≠0),
由z2＝,可得a2－b2＋2abi＝a－bi,
所以a2－b2＝a,2ab＝－b,
解得a＝－,b＝±,则z＝－±i,
所以z的实部为－,z的虚部为±,
|z|＝1,z不可能为纯虚数.故选AC.
10.(2026·郑州调研)已知z满足|z＋i2－i3|＝|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.x－y－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为
答案　AC
解析　由题意z＝x＋yi(x,y∈R),
由|z＋i2－i3|＝|z|,
得|x＋yi－1＋i|＝|x－1＋(y＋1)i|
＝|x＋yi|,
即(x－1)2＋(y＋1)2＝x2＋y2,
即x－y－1＝0.故A正确;
|z|表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到原点的距离,易知其最小值为原点到直线x－y－1＝0的距离,即,故C正确.
11.已知关于x的方程x2＋tx＋1＝0(－2A.z1＝ B.z1·z2＝1
C.|z1|＝|z2| D.
答案　ABC
解析　判别式Δ＝t2－4<0,方程有两个虚根.
实系数一元二次方程的虚根互为共轭,所以A,C正确,
由根与系数的关系知B正确,
,D错误.
三、填空题
12.(2025·天津卷)已知i是虚数单位,则＝　　　　.
答案　
解析　因为＝1－3i,
所以＝|1－3i|＝.
13.已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数,则m等于　　　　.
答案　－1
解析　因为z＝m2－1＋(m＋i2)·i
＝m2－1＋(m－1)·i,
若复数z表示纯虚数,则
解得m＝－1.
14.已知复数z＝x＋yi(x,y∈R),且|z－2|＝1,则|z＋i|的取值范围为　　　　　　.
答案　[－1,＋1]
解析　设在复平面内z对应的点为Z(x,y),
由复数的几何意义可知,
|z－2|＝1表示点Z的集合是以(2,0)为圆心,1为半径的圆,
即(x－2)2＋y2＝1,
|z＋i|的几何意义是圆上的点到点(0,－1)的距离,如图,
点C(2,0)到点(0,－1)的距离是,
所以|z＋i|的最小值是－1,
最大值是＋1.
即|z＋i|的取值范围为[－1,＋1].

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