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第1节　 任意角、弧度制和三角函数的概念
一、单选题
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　　)
A. B.
C. D.
4.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
5.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α等于(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题:
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何
翻译为:[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少
则下列说法正确的是(　　)
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
7.(2026·南京质检)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B.
C.3－ D.－2
8.已知相互啮合的两个齿轮，大齿轮有45齿，小齿轮有30齿.如果大齿轮的转速为180 r/min(即每分钟旋转180圈)，小齿轮的半径为10 cm，那么小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧长是(　　)
A.5 400π cm B.90π cm
C.180π cm D.40π cm
二、多选题
9.下列说法正确的有(　　)
A.角与角－的终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是 rad
10.已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　)
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系Oxy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
三、填空题
12.如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.
13.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝　　　　弧度时，这个扇形的面积最大.
14.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝　　　.
第1节　 任意角、弧度制和三角函数的概念
一、单选题
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，
但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.
2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　因为点P(sin α，tan α)在第四象限，
所以sin α>0，tan α<0，
所以角α的终边在第二象限.
3.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意，得θ为第二象限角，
又θ∈[0，2π)，则<θ<π，
易知tan θ＝－，所以θ＝.
4.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
答案　A
解析　由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝＋2kπ，k∈Z，
故α＋＋2kπ＋＋2kπ，k∈Z，
而角＝2π＋的终边在第一象限，
故角α＋的终边在第一象限.
5.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α等于(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案　D
解析　因为α是第二象限角，
所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝，
解得x＝－3(x＝3舍去)，
所以tan α＝＝－.
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题:
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何
翻译为:[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少
则下列说法正确的是(　　)
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
答案　B
解析　依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)，
问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×(平方步).
7.(2026·南京质检)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B.
C.3－ D.－2
答案　B
解析　设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，
依题意，有，
即，
所以，
从而得.
8.已知相互啮合的两个齿轮，大齿轮有45齿，小齿轮有30齿.如果大齿轮的转速为180 r/min(即每分钟旋转180圈)，小齿轮的半径为10 cm，那么小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧长是(　　)
A.5 400π cm B.90π cm
C.180π cm D.40π cm
答案　B
解析　大齿轮有45齿，小齿轮有30齿，当大齿轮转动一周时，小齿轮转动(周)，
大齿轮的转速为180 r/min，则小齿轮转速为
×180＝270(r/min)，
故小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧度数为
270×2π÷60＝9π.
又小齿轮的半径为10 cm，所以小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧长为9π×10＝90π(cm).
二、多选题
9.下列说法正确的有(　　)
A.角与角－的终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是 rad
答案　AD
解析　角与角－相差2π，终边相同，故A正确;
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误;
若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为±，故C错误;
67°30'化成弧度是 rad，故D正确.
10.已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　AD
解析　由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x所以－＋2kπ当k＝0时，x所在的一个区间是，
当k＝1时，x所在的一个区间是.
11.在平面直角坐标系Oxy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
答案　AB
解析　由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0，则>0，故A正确;
cos α－sin α>0，故B正确;
sin αcos α<0， 故C错误;
sin α＋cos α的符号不确定，故D错误.
三、填空题
12.如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.
答案　
解析　法一　由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为，由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋2kπ，k∈Z}，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为.
法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为，所以所求角α的集合为.
13.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝　　　　弧度时，这个扇形的面积最大.
答案　2
解析　由已知，得l＋2R＝40，
所以S＝lR＝(40－2R)R＝20R－R2＝－(R－10)2＋100.
所以当R＝10(cm)时，S取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.
14.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝　　　.
答案　
解析　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2.
在Rt△PBO中，PB＝rtan α，
所以△POB的面积为r·rtan α.
由题意得r2tan α＝2×αr2，
所以tan α＝2α，所以.

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