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第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
一、单选题
1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.1
2.(2026·温州模拟)已知tan＝2，则tan θ＝(　　)
A.3 B.2
C. D.
3.(2026·承德调研)已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)
A.－ B.
C. D.1
5.(2026·蚌埠模拟)＝(　　)
A. B.
C. D.
6.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
7.计算:＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
二、多选题
8.下列等式成立的有(　　)
A.sin 15°cos 15°＝
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
9.已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　)
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
三、填空题
10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝　　　　.
11.(2026·长沙模拟)若cos，α∈，则cos α＝　　　　.
12.(2026·开封质检)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α＝　　　　.
四、解答题
13.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.求:
(1)sin(α－β)的值;
(2)cos β的值.
14.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值;
(2)若f，α∈，求f(2α)的值.
第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
一、单选题
1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.1
答案　B
解析　sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°
＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77°
＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝.
2.(2026·温州模拟)已知tan＝2，则tan θ＝(　　)
A.3 B.2
C. D.
答案　C
解析　由题意得，＝2，解得tan θ＝.
3.(2026·承德调研)已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　D
解析　因为α是第三象限角，且cos α＝－，
所以sin α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××.
4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)
A.－ B.
C. D.1
答案　B
解析　由sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝3，
整理得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝3，
所以cos(α－β)＝.
5.(2026·蚌埠模拟)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　＝cos 15°
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.
6.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋
sincos ＋cossin
＝2sincos sin＝1，
所以sin.
7.计算:＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　B
解析　
＝
＝.
二、多选题
8.下列等式成立的有(　　)
A.sin 15°cos 15°＝
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
答案　BC
解析　对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误;
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确;
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确;
对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误.
9.已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　)
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
答案　AC
解析　cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)
＝sin2α＝，
因为α∈，
所以sin α＝，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝，
tan 2α＝＝－.
三、填空题
10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝　　　　.
答案　2
解析　由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°，
又tan 20°＋tan 25°
＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)
＝1－tan 20°tan 25°，
所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°
＝2.
11.(2026·长沙模拟)若cos，α∈，则cos α＝　　　　.
答案　
解析　因为α∈，
所以α＋∈，
由cos可得sin
＝，
所以cos α＝cos
＝
＝.
12.(2026·开封质检)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α＝　　　　.
答案　1
解析　由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)
＝－5，且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝1.
四、解答题
13.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.求:
(1)sin(α－β)的值;
(2)cos β的值.
解　(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.
又因为tan(α－β)＝－<0，
所以－<α－β<0，
且sin(α－β)＝－cos(α－β)，
又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得cos(α－β)＝.
因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝××.
14.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值;
(2)若f，α∈，求f(2α)的值.
解　(1)f(π)＝2cos
＝－2cos ＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝－2sin α
＝，所以sin α＝－.
又α∈，
所以cos α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
所以f(2α)＝2cos
＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin
＝2××＋2××.

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