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第4节　简单的三角恒等变换
一、单选题
1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
2.＝(　　)
A. B.1
C. D.
3.化简等于(　　)
A.1 B.－1
C.cos α D.－sin α
4.已知，则tan 2α＝(　　)
A.－ B.－
C.± D.
5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos，则sin等于(　　)
A.－ B.
C. D.－
6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α－β)＝－，tan，则cos 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
7.已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，α∈，β∈(0，π)，且α<β，则α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　)
A.sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C. D.
9.(2026·苏州质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A.sin 2α＝ B.cos(α－β)＝
C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝
三、填空题
10.已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝　　　　.
11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，则tan＝　　　　.
12.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.
四、解答题
13.(2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的最小正周期为4π.
(1)求ω的值;
(2)设α，β∈，f，
f，求cos(α＋β)的值.
14.已知2sin α＝2sin2－1.
(1)求sin αcos α＋cos 2α的值;
(2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值.
第4节　简单的三角恒等变换
一、单选题
1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，
所以cos α＝，
所以α为锐角，则cos α＝1－2sin2，
解得sin.
2.＝(　　)
A. B.1
C. D.
答案　A
解析　.
3.化简等于(　　)
A.1 B.－1
C.cos α D.－sin α
答案　A
解析　原式＝
＝
＝＝1.
4.已知，则tan 2α＝(　　)
A.－ B.－
C.± D.
答案　A
解析　因为，
所以＝tan α＝，
则tan 2α＝＝－.
5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos，则sin等于(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　B
解析　∵cos，
可得sin＝－cos
＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×.
6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α－β)＝－，tan，则cos 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　D
解析　tan，
解得tan β＝－，
又tan(α－β)＝
＝－，
解得tan α＝－，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝.
7.已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，α∈，β∈(0，π)，且α<β，则α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意得，α－β∈(－π，0)，
所以sin(α－β)＝－，
因为2α∈(0，π)，cos 2α＝>0，
所以2α∈，
所以α∈，
所以α＋β∈，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝××＝－，
又因为α＋β∈，所以α＋β＝.
二、多选题
8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　)
A.sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C. D.
答案　BC
解析　对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误;
对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确;
对于C，，
故C正确;
对于D，＝
tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故D错误.
9.(2026·苏州质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A.sin 2α＝ B.cos(α－β)＝
C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝
答案　AC
解析　由题意，易得α＋β∈，2α∈，
所以sin 2α＝，故A正确;
sin(α＋β)＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝××，故B错误;
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×，故C正确;
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×，
所以tan αtan β＝，故D错误.
三、填空题
10.已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝　　　　.
答案　
解析　由sin＋cos
＝－cos 2α＋(cos α＋sin α)＝0，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝(cos α＋sin α)，
又α∈，
所以cos α－sin α＝，得cos，
而α＋∈，
所以α＋，得α＝.
11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，则tan＝　　　　.
答案　－
解析　由tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，
则tan α＝tan[(2α－β)－(α－β)]
＝＝－，
所以tan 2α＝＝－，
则tan
＝＝－.
12.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.
答案　　
解析　因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝××.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，
所以2α－β＝.
四、解答题
13.(2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的最小正周期为4π.
(1)求ω的值;
(2)设α，β∈，f，
f，求cos(α＋β)的值.
解　(1)由f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2sin，
又因为函数f(x)的最小正周期为4π，
所以T＝＝4π，解得ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，
则f＝2sin α＝，则sin α＝，
又因为α，β∈，
所以cos α＝，
又因为f＝2sin，
则cos β＝，
所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝××.
14.已知2sin α＝2sin2－1.
(1)求sin αcos α＋cos 2α的值;
(2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值.
解　(1)由已知得2sin α＝－cos α，
所以tan α＝－.
sin αcos α＋cos 2α＝
＝.
(2)由tan2β－6tan β＝1，
可得tan 2β＝＝－，
则tan(α＋2β)＝
＝＝－1.
因为β∈，
所以2β∈(0，π)，
又tan 2β＝－>－，
则2β∈，
因为α∈(0，π)，tan α＝－>－，
则α∈，则α＋2β∈，
所以α＋2β＝.

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