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第二课时　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
一、单选题
1.函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　　)
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
2.若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　)
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z)
3.(2026·潍坊调研)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos 2x D.y＝tan
4.已知函数f(x)＝tan，则(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D.f(x)的最小正周期为π
5.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于 (　　)
A.直线x＝对称 B.直线x＝对称
C.点对称 D.点对称
6.函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的相邻两对称轴之间的距离为，若该函数图象关于点(m，0)中心对称，则当m∈时，m的值为(　　)
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与直线l:y＝1的三个相邻交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1＋x2＝，x2＋x3＝.当x∈时，|f(x)－t|<3恒成立，则t的取值范围为(　　)
A.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
B.(－1，2]
C.(－∞，－1]∪(2，＋∞)
D.(－2，1]
二、多选题
8.已知函数f(x)＝tan，下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为
B.函数f(x)的定义域为
C.函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z
D.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z
9.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
三、填空题
10.(2026·保定模拟)若函数f(x)＝tan 2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m，0)(011.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝　　　　　　　　.
① x∈R，f＝f(x);
② x∈R，f(x)≤f恒成立.
12.(2026·武汉质检)已知函数f(x)＝若满足f(x1)＝f(x2)＝…＝f(x9)(x1，x2，…，x9互不相等)，则x1＋x2＋…＋x9的取值范围是　　　　.
四、解答题
13.(2026·郑州质检)已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标.
14.设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集.
第二课时　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
一、单选题
1.函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　　)
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
答案　C
解析　对于函数y＝sin，
令2x＋＋kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，
故函数图象的对称轴为直线
x＝，k∈Z，
令k＝0，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝.
2.若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　)
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z)
答案　C
解析　若0在定义域内，由x＝0时，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z);
若0不在定义域内，由x＝0时，tan φ无意义，得φ＝kπ＋(k∈Z).
综上，φ＝(k∈Z).
3.(2026·潍坊调研)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos 2x D.y＝tan
答案　A
解析　对于A，y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故其最小正周期为π，当x∈时，
y＝|sin x|＝sin x单调递增，A符合题意;
对于B，当x∈时，y＝|cos x|＝cos x单调递减，B不符合题意;
对于C，y＝cos 2x的最小正周期为π，在上单调递减，C不符合题意;
对于D，y＝tan的最小正周期为2π，D不符合题意.故选A.
4.已知函数f(x)＝tan，则(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D.f(x)的最小正周期为π
答案　C
解析　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误;
在区间上单调递增，B错误;
最小正周期为，D错误;
∵当x＝时，tan＝0，
∴为其图象的一个对称中心，故选C.
5.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于 (　　)
A.直线x＝对称 B.直线x＝对称
C.点对称 D.点对称
答案　B
解析　因为函数f(x)的最小正周期为π，
由π＝得ω＝1，所以f(x)＝2sin.
f＝1，故直线x＝不是f(x)图象的对称轴，点也不是f(x)图象的对称中心;
f＝2，故直线x＝是f(x)图象的对称轴，点不是f(x)图象的对称中心.故选B.
6.函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的相邻两对称轴之间的距离为，若该函数图象关于点(m，0)中心对称，则当m∈时，m的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为函数f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为，
所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin.
令f(x)＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝(k∈Z)，
又m∈，
当k＝1时，x＝，故m＝，故选D.
7.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与直线l:y＝1的三个相邻交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1＋x2＝，x2＋x3＝.当x∈时，|f(x)－t|<3恒成立，则t的取值范围为(　　)
A.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
B.(－1，2]
C.(－∞，－1]∪(2，＋∞)
D.(－2，1]
答案　B
解析　由已知得f(x)图象的相邻的两条对称轴分别为直线x＝，
x＝，
所以函数f(x)的最小正周期
T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin.
当x∈时，2x－∈，
f(x)∈(－1，2].
由|f(x)－t|<3，得－3所以－3＋t所以解得－1二、多选题
8.已知函数f(x)＝tan，下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为
B.函数f(x)的定义域为
C.函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z
D.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z
答案　ACD
解析　对于A，函数f(x)＝tan的最小正周期T＝，所以A正确;
对于B，令2x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠，k∈Z，
即函数f(x)的定义域为，所以B错误;
对于C，令2x－，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，
所以函数f(x)的图象关于点，k∈Z对称，所以C正确;
对于D，令kπ－<2x－解得故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以D正确.
9.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
答案　AD
解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确;
当∴f(x)在上单调递减，故B不正确;
f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确;
∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.
三、填空题
10.(2026·保定模拟)若函数f(x)＝tan 2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m，0)(0答案　
解析　T＝，由0则2m＝，即m＝.
11.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝　　　　　　　　.
① x∈R，f＝f(x);
② x∈R，f(x)≤f恒成立.
答案　－cos 4x(答案不唯一)
解析　由 x∈R，f＝f(x)可知，函数的周期为，
由 x∈R，f(x)≤f恒成立可知，函数在x＝处取到最大值，
则f(x)＝－cos 4x满足题意，
一方面根据余弦函数的周期公式，T＝，满足 x∈R，f＝f(x)，
另一方面，f＝－cos π＝1＝f(x)max，满足 x∈R，f(x)≤f恒成立.
12.(2026·武汉质检)已知函数f(x)＝若满足f(x1)＝f(x2)＝…＝f(x9)(x1，x2，…，x9互不相等)，则x1＋x2＋…＋x9的取值范围是　　　　.
答案　[0，2 025)
解析　根据题意，作出函数f(x)＝的图象，不妨设x1所以x1＋x2＋…＋x8＝－4，另一方面x9＝4或0即x9∈[4，2 029)，所以x1＋x2＋…＋x9＝－4＋x9∈[0，2 025).
四、解答题
13.(2026·郑州质检)已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标.
解　(1)f(x)＝sin 2ωx＋＝sin，
因为f(x)最小正周期为π，
所以π＝，解得ω＝1，
所以f(x)＝sin.
令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x＋＋kπ(k∈Z)，
解得x＝(k∈Z)，
所以对轴方程为x＝(k∈Z);
令2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－(k∈Z).
所以对称中心为(k∈Z).
14.设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集.
解　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期
T＝，
即.因为ω>0，所以ω＝2.
所以f(x)＝tan(2x＋φ).
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝，k∈Z.
又0<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z，无单调递减区间.
(3)由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－≤x≤，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
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