资源简介

第6节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
一、单选题
1.(2026·德阳模拟)已知函数f(x)＝cos，现将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数g(x)，则g值为(　　)
A. B.－
C. D.－
2.(2026·临沂模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
3.若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2026·岳阳质检)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
5.(2026·天津和平区模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，要得到y＝sin x的图象，只需将函数f(x)的图象上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
6.(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知函数f(x)＝3sin，g(x)＝3cos，则下列命题正确的是(　　)
A.函数g(x)的最小正周期为π
B.直线x＝π是f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在区间上单调递减
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象
二、多选题
8.(2026·铁岭调研)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　)
A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
9.(2026·汕尾模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.ω＝2
B.φ＝
C.y＝f是奇函数
D.当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
三、填空题
10.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝　　　　.
11.(2026·长沙调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条对称轴间距离的最小值为，且x＝为f(x)的一个零点，则不等式f(x)≥的解集为　　　　.
12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的取值集合为　　　　.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x.
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象;
(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.
14.(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin＋2cos2(ω>0).若函数f(x)的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求ω的值，并求函数f(x)在的值域;
(2)若函数y＝f(x＋θ)－(其中θ∈)为奇函数，求θ的值.
第6节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
一、单选题
1.(2026·德阳模拟)已知函数f(x)＝cos，现将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数g(x)，则g值为(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　B
解析　将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，可得g(x)＝cos，
所以g＝cos＝－，故选B.
2.(2026·临沂模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　B
解析　由题意g(x)＝f＝sin是偶函数，
从而
解得φ＝－.
3.若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题可得f(x＋m)＝sin的图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，
则2m＋＋2kπ，k∈Z，
解得m＝＋kπ，k∈Z，故m的值可以为.
4.(2026·岳阳质检)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
答案　D
解析　依题意，f＝sin ＋acos a＝0，
解得a＝－，
所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
则f(2x)＝2sin，
其图象向左平移个单位长度得到
y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象.
5.(2026·天津和平区模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，要得到y＝sin x的图象，只需将函数f(x)的图象上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
答案　A
解析　由图可知，A＝，得T＝π，
又T＝，由ω>0解得ω＝2;
将点代入f(x)，得0＝sin，
点在函数单调减区间上，
则2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
又|φ|<π，所以φ＝，
得f(x)＝sin.
将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度，得y＝sin x的图象.
6.(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　把函数y＝cos个单位长度后得到函数
f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象.
作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示.
观察图象知，共有3个交点.故选C.
7.已知函数f(x)＝3sin，g(x)＝3cos，则下列命题正确的是(　　)
A.函数g(x)的最小正周期为π
B.直线x＝π是f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在区间上单调递减
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象
答案　D
解析　对于A，g(x)＝3cos＝4π，A错误;
对于B，f(π)＝3sin＝3sin≠±3，
直线x＝π不是f(x)图象的对称轴，B错误;
对于C，当x∈时，
－<<，
而正弦函数y＝sin x在上单调递增，
因此函数f(x)在区间上单调递增，
C错误;
对于D，f＝3sin＝3sin＝3cos＝g(x)，D正确.
二、多选题
8.(2026·铁岭调研)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　)
A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
答案　AC
解析　正弦曲线y＝sin x上所有点先向右平移个单位长度，
得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，故A正确，B错误;
先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，
得到函数f(x)＝sin的图象，故C正确，D错误.
9.(2026·汕尾模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.ω＝2
B.φ＝
C.y＝f是奇函数
D.当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
答案　ABD
解析　由图象可得，
故T＝π，故ω＝2，故A正确;
故f(x)＝sin(2x＋φ)，而f＝1，
故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
故φ＝＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，故φ＝，
故B正确;
因为f＝sin＝cos 2x，
故f为偶函数，故C错误;
故f(x)＝sin，当x∈[3π，4π]时，
6π＋≤2x＋≤8π＋，
因为y＝sin t在上的零点为7π，8π.
故f(x)在[3π，4π]上有两个不同的零点，故D正确.
三、填空题
10.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝　　　　.
答案　
解析　由题意得×，解得ω＝2，
易知x＝是f(x)的最小值点，
所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
于是f(x)＝sin＝sin，
f＝sin＝sin .
11.(2026·长沙调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条对称轴间距离的最小值为，且x＝为f(x)的一个零点，则不等式f(x)≥的解集为　　　　.
答案　，k∈Z
解析　因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)
，
所以T＝2×＝π，ω＝＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ).
因为x＝为f(x)的一个零点，
所以sin＝0，
即sin＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin，
由f(x)≥，得sin≥，
所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
不等式f(x)≥，k∈Z.
12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的取值集合为　　　　.
答案　
解析　根据所给图象，可得最小正周期
T＝4×＝π，
故π＝，所以ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外函数f(x)的图象经过点， 代入得2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|<，得φ＝－，
所以f(x)＝sin，
所以f＝sin，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
即x＝－＋kπ(k∈Z)时，
y＝f取得最小值.
此时x的取值集合为.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x.
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象;
(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.
解　(1)f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下:
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的大致图象如图.
(2)将函数f(x)＝2sin个单位长度后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象.
由＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，
故g(x)图象的对称中心为，k∈Z.
14.(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin＋2cos2(ω>0).若函数f(x)的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求ω的值，并求函数f(x)在的值域;
(2)若函数y＝f(x＋θ)－(其中θ∈)为奇函数，求θ的值.
解　(1)f(x)＝sin＋2cos2
＝sincos
＝2sin，
由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝π＝，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由x∈，得2x＋∈，
故sin∈.
所以f(x)在.
(2)函数y＝f(x＋θ)－
＝2sin为奇函数，
则2θ＋＝kπ，k∈Z，
所以θ＝，k∈Z，
因为θ∈，所以k＝1，θ＝π.

展开更多......

收起↑