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第7节　正弦定理和余弦定理
一、单选题
1.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　)
A. B.3
C. D.7
2.(2026·合肥模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，c＝7，则cos(A＋B)＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
3.(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.＋1 D.
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin C＝sin A，B＝，△ABC的面积为，则b等于(　　)
A.2 B.
C.4 D.2
5.(2026·海南调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－，则＝(　　)
A. B.
C. D.
6.(2026·厦门联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋bcos A，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
7.(2026·郴州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　)
A.2 B.4
C.8 D.4
二、多选题
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有两个解的是(　　)
A.c＝54，b＝39，C＝120°
B.b＝11，a＝20，B＝30°
C.a＝2，b＝6，A＝30°
D.b＝26，c＝15，C＝30°
9.(2026·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A.若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形
B.若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC为钝角三角形
C.若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B
D.若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形
三、填空题
10.(2026·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c2＝ab，则＝　　　　.
11.(2026·绍兴模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝　　　　.
12.(2026·太原调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－2bc＋c2＋，且sin A－cos A＝0，则△ABC的面积为　　　　.
四、解答题
13.(2026·汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.
(1)求A;
(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
14.(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝.
(1)求A的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(A＋2B)的值.
第7节　正弦定理和余弦定理
一、单选题
1.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　)
A. B.3
C. D.7
答案　A
解析　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2cos＝3，
所以c＝.
2.(2026·合肥模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，c＝7，则cos(A＋B)＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　C
解析　依题意，cos(A＋B)＝－cos C＝－＝－.
3.(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.＋1 D.
答案　D
解析　在△ABC中，C＝30°，由正弦定理得，解得c＝，
sin A＝sin(45°＋60°)＝××，
所以△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×2××.
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin C＝sin A，B＝，△ABC的面积为，则b等于(　　)
A.2 B.
C.4 D.2
答案　D
解析　因为3sin C＝sin A，
所以3c＝a，即a＝c，
又因为B＝且△ABC的面积为，
可得S△ABC＝acsin B＝×c2×，
解得c＝2，则a＝2，
则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋4－2×2×2×＝4，所以b＝2.
5.(2026·海南调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－，则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为9sin2B＝4sin2A，所以.
根据正弦定理可得，所以b＝.
因为cos C＝－，
所以根据余弦定理cos C＝，
可得＝－，
化简可得c2＝，所以，
因为a，c为△ABC的边，a>0，c>0，
所以.
6.(2026·厦门联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋bcos A，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由4S＝cos B＋bcos A，得4×absin C＝cos B＋bcos A，
得b＝＋b·，
又a＝1，故b＝＝c，
所以sin B＝sin C＝，故sin B＝，
由c>b，得C>B，故B不可能是钝角，
因为B∈(0，π)，所以B＝.故选A.
7.(2026·郴州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　)
A.2 B.4
C.8 D.4
答案　A
解析　根据三角形面积公式得S△ABC＝a·AD＝bcsin∠BAC.
将∠BAC＝，a＝4，AD＝×4×bcsin，2bc×，bc＝8.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，
即42＝b2＋c2－2bccos，即16＝b2＋c2－bc，
即16＝(b＋c)2－3bc，把bc＝8代入上式可得
16＝(b＋c)2－3×8，
即(b＋c)2＝16＋24＝40.
因为b，c为三角形的边，
所以b＋c＝＝2.故选A.
二、多选题
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有两个解的是(　　)
A.c＝54，b＝39，C＝120°
B.b＝11，a＝20，B＝30°
C.a＝2，b＝6，A＝30°
D.b＝26，c＝15，C＝30°
答案　BD
解析　对于A，sin B＝<1，
又b对于B，sin A＝<1，
又b对于C，sin B＝>1，则B不存在，无解，不合题意;
对于D，sin B＝<1，
又c9.(2026·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A.若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形
B.若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC为钝角三角形
C.若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B
D.若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形
答案　BC
解析　对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°，
即A＝B或A＋B＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误;
对于B，由于a＝7，b＝3，c＝5，
可得a>c>b，∴A是△ABC的最大内角，
∴cos A＝＝－<0，
又∵A∈(0，π)，所以A＝，
进而△ABC为钝角三角形，故B正确;
对于C，∵△ABC是锐角三角形，
∴0°A＋B>90°，
即90°>A>90°－B>0°，
∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，故C正确;
对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1，
即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos C>0，即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误.
三、填空题
10.(2026·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c2＝ab，则＝　　　　.
答案　或2
解析　由余弦定理有c2＝ab＝a2＋b2－ab，
所以＋1＝0，
解得或2.
11.(2026·绍兴模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝　　　　.
答案　
解析　由题意及正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理的推论得cos A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
12.(2026·太原调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－2bc＋c2＋，且sin A－cos A＝0，则△ABC的面积为　　　　.
答案　
解析　∵sin A－cos A＝0，可得tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝，
又∵a2＝b2－2bc＋c2＋，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴2bc－＝2bccos A，
∵A＝，解得bc＝1，S△ABC＝bcsin A＝.
四、解答题
13.(2026·汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.
(1)求A;
(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
解　(1)∵asin B－bcos A＝0，
∴sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又B∈(0，π)，∴sin B≠0，
∴sin A－cos A＝0，即tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵A＝，△ABC的面积为，
∴bcsin A＝，即bc＝4.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即13＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
又bc＝4，∴b＋c＝5，
∴△ABC的周长为5＋.
14.(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝.
(1)求A的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(A＋2B)的值.
解　(1)因为asin B＝bcos A，
所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin A＝cos A，所以tan A＝.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，
所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×，
化简得b2＋b－2＝0，
又b>0，故b＝1.
由c＝2b＋1，得c＝3.
(3)由正弦定理，得，
解得sin B＝.
因为b＝1<3＝c，
所以B为锐角，cos B＝，
sin 2B＝2sin Bcos B＝，
cos 2B＝2cos2B－1＝，
所以sin(A＋2B)＝sin＝sin cos 2B＋cos sin 2B＝××.

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