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第8节　三角形中的高线、中线、角平分线
1.(2026·乐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＋sin B＝2.
(1)求B;
(2)若a＝2，c＝＋1，∠ABC的角平分线交AC于D，求BD.
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A;
(2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD.
3.(2026·聊城模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B＋btan Bcos A＝2bsin C.
(1)求B;
(2)若a＝3，且AC边上的高为，求△ABC的周长.
4.(2026·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cos A＋sin A)＝a＋c.
(1)求B.
(2)若a＝2，c＝5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M.
①求BE;
②求cos∠EMF.
第8节　三角形中的高线、中线、角平分线
1.(2026·乐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＋sin B＝2.
(1)求B;
(2)若a＝2，c＝＋1，∠ABC的角平分线交AC于D，求BD.
解　(1)由cos B＋sin B＝2，
得cos B＋sin B＝1，
所以cos＝1，
因为0所以B－＝0，即B＝.
(2)法一(等面积法)
因为a＝2，c＝＋1，由(1)知B＝，
所以S△ABC＝×2×(1＋)×sin 60°＝，
S△ABD＝×BD×(1＋)×sin 30°
＝BD，
S△BCD＝×2×BD×sin 30°＝BD，
因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
即BD＋BD，
解得BD＝2.
法二　在△ABC中，因为a＝2，c＝＋1，
由(1)知B＝，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，解得b＝，
由余弦定理，
所以sin A＝，即A＝45°或A＝135°(舍)，
所以C＝75°.
又∠BDC＝30°＋45°＝75°，
所以△BDC是等腰三角形，所以BD＝BC＝2.
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A;
(2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD.
解　(1)在△ABC中，由题意及正弦定理得，
sin A(sin B＋cos B)＝sin C，
由A＋B＋C＝π，得sin C＝sin(A＋B)，
所以sin Asin B＋sin Acos B
＝sin Acos B＋sin Bcos A，
化简得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为sin B≠0，所以tan A＝1，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理得，
5＝b2＋2－2b××，
所以b2－2b－3＝0，
又b>0，所以b＝3，
因为D为BC的中点，
所以()，
两边平方得||2＝(c2＋b2＋2bccos∠BAC)＝，所以||＝，
即中线AD的长度为.
3.(2026·聊城模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B＋btan Bcos A＝2bsin C.
(1)求B;
(2)若a＝3，且AC边上的高为，求△ABC的周长.
解　(1)因为asin B＋btan Bcos A＝2bsin C.
由正弦定理，可得sin Asin B＋sin B·cos A＝2sin Bsin C，
又因为B∈(0，π)，可得sin B>0，
所以sin A＋cos A＝2sin C，
即＝2sin C，
因为C∈(0，π)，可得sin C>0，
所以cos B＝，
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由AC边上的高为，
可得S△ABC＝b·，
又由a＝3且B＝，可得△ABC的面积为S△ABC＝acsin B＝c×c，
所以c＝b·，
解得4b2＝7c2，即c＝，
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
可得b2＝9＋－3×，
整理得b2＋2b－21＝0，
解得b＝或b＝－3(舍去)，此时c＝2，
所以△ABC的周长为3＋＋2＝5＋.
4.(2026·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cos A＋sin A)＝a＋c.
(1)求B.
(2)若a＝2，c＝5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M.
①求BE;
②求cos∠EMF.
解　(1)由题意及正弦定理得sin B·(cos A＋sin A)＝sin A＋sin C，
∴sin Bcos A＋sin Bsin A
＝sin A＋sin(A＋B)，
∴sin Bsin A＝sin A＋sin Acos B，
∵sin A≠0，∴sin B＝1＋cos B，
∴sin.
∵－(2)①∵()，
∴||＝
＝.
②在△BCF中，由余弦定理得CF2＝BC2＋BF2－2BC·BFcos∠FBC＝，
则CF＝.
法一　由题知M是△ABC的重心，
∴CM＝CF＝，BM＝BE＝，
在△BMC中，由余弦定理的推论得cos∠BMC＝，
即cos∠EMF＝.
法二　∵，
∴··||2－·||2＝3.
∴cos∠EMF＝cos<>＝.

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