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第9节　解三角形中的最值(范围)问题
1.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin B＝sin A＋cos Atan C.
(1)求C;
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求B;
(2)已知b＝，求a＋2c的最大值.
3.(2026·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A－a＋c＝0.
(1)求B的值;
(2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值.
4.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝cos B＋b＝c.
(1)求A;
(2)求的取值范围.
第9节　解三角形中的最值(范围)问题
1.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin B＝sin A＋cos Atan C.
(1)求C;
(2)若2(a＋b)＝c2，求△ABC的边c的最大值.
解　(1)由2sin B＝sin A＋cos Atan C，
得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C，
即2sin Bcos C＝sin(A＋C)，
又A＋B＋C＝π，则sin(A＋C)＝sin B≠0，
于是cos C＝，又0(2)由(1)知C＝，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
而2(a＋b)＝c2，则2(a＋b)＝(a＋b)2－3ab，
因此(a＋b)2－2(a＋b)＝3ab≤(a＋b)2，
解得a＋b≤8，
当且仅当a＝b时取等号，则c＝≤4，
所以△ABC的边c的最大值为4.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求B;
(2)已知b＝，求a＋2c的最大值.
解　(1)∵(2a－c)cos B－bcos C＝0，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B－
sin Bcos C＝0，
2cos Bsin A－cos Bsin C－sin Bcos C＝0，
即2cos Bsin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴2cos Bsin A＝sin(B＋C)＝sin A，
∵A∈(0，π)，
∴sin A≠0，
∴cos B＝，
∵0(2)由正弦定理，
得＝2，
∴a＋2c＝sin A＋4sin C＝sin A＋4sin＝sin A＋2cos A＋2sin A＝3sin A＋2cos A＝sin(A＋φ)，
又∵0∴sin(A＋φ)的最大值为，
∴a＋2c的最大值为.
3.(2026·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A－a＋c＝0.
(1)求B的值;
(2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值.
解　(1)由正弦定理及acos B－bcos A－a＋c＝0，
得sin Acos B－sin Bcos A－sin A＋sin C＝0，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴2sin Acos B－sin A＝0，
又A∈(0，π)，∴sin A≠0，
∴2cos B－1＝0，即cos B＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由M为AC的中点，得，
而a＋c＝4，
∴
＝·
＝c2＋a2＋accos∠ABC
＝[(a＋c)2－ac]
＝(16－ac)＝4－ac≥4－＝3，
当且仅当
即a＝c＝2时等号成立，
∴BM的最小值为.
4.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝cos B＋b＝c.
(1)求A;
(2)求的取值范围.
解　(1)由题意得acos B＋b＝c，
由正弦定理得sin Acos B＋sin B＝sin C，
因为sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Acos B＋sin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin B＝cos Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，则cos A＝，
由A∈(0，π)，得A＝.
(2)由A＋B＋C＝π，A＝得B＝π－C，
因为△ABC是锐角三角形，
所以
所以，
又tan C>，所以0<<.
所以.
，设＝t，t∈，
则f(t)＝2t＋，
易知f(t)在上单调递减，在上单调递增，
又f＝3，f＝2，f(2)＝，
所以f(t)∈，
即.

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