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第1节 导数的概念、意义及运算
一、单选题
1.已知f(x)＝，则f'＝(　　)
A.－2－ln 2 B.－2＋ln 2
C.2－ln 2 D.2＋ln 2
2.若函数f(x)满足＝2，则＝(　　)
A.2 B.1
C.0 D.－1
3.(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1
C.y＝2x D.y＝3x
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
5.(2026·厦门模拟)已知直线l与曲线y＝x3－x在原点处相切，则l的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
6.函数y＝f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　)
A.2f'(3)B.2f'(3)<2f'(5)C.f(5)－f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(5)<2f'(3)7.已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(－1)＝(　　)
A.－ B.
C.－2 D.2
二、多选题
8.(2026·濮阳段考)下列求导运算正确的有(　　)
A.'＝－sin
B.(xln x)'＝ln x＋1
C.'＝
D.'＝x2－1
9.(2026·郑州调研)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　)
A.lm的斜率的最小值为－2
B.lm的斜率的最小值为－3
C.l0的方程为y＝1
D.l－1的方程为y＝9x＋6
三、填空题
10.(2026·衡阳调研)若函数f(x)＝f'(－1)·x2－2x＋1，则f'(－1)＝　　　　.
11.函数f(x)＝x3－3x2的图象上过点(3，0)的所有切线的方程为　　　　.
12.(2026·西安部分学校联考)若M是曲线f(x)＝2x2－ln x上任意一点，则点M到直线y＝3x－6的最小距离为　　　　.
四、解答题
13.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(e)＋ln x.
(1)求f'(e)及f(e)的值;
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.
14.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
第1节 导数的概念、意义及运算
一、单选题
1.已知f(x)＝，则f'＝(　　)
A.－2－ln 2 B.－2＋ln 2
C.2－ln 2 D.2＋ln 2
答案　D
解析　依题意有
f'(x)＝，
f'＝2＋ln 2.
2.若函数f(x)满足＝2，则＝(　　)
A.2 B.1
C.0 D.－1
答案　D
解析　因为＝2，
所以
＝－
＝－×2＝－1.
3.(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1
C.y＝2x D.y＝3x
答案　B
解析　由f(x)＝ex＋2x，得f'(x)＝ex＋2，
则f'(0)＝3，又f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
答案　B
解析　由导函数的图象可得，导函数f'(x)的值在[－1，0]上逐渐增大，在[0，1]上逐渐减小，
所以函数f(x)在[－1，0]上增长速度逐渐变快，在[0，1]上增长速度逐渐变慢，故选B.
5.(2026·厦门模拟)已知直线l与曲线y＝x3－x在原点处相切，则l的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由y'＝3x2－1，得y'|x＝0＝－1，
即直线l的斜率为－1，所以l的倾斜角为.
6.函数y＝f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　)
A.2f'(3)B.2f'(3)<2f'(5)C.f(5)－f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(5)<2f'(3)答案　A
解析　由图可知，f'(3)<即2f'(3)7.已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(－1)＝(　　)
A.－ B.
C.－2 D.2
答案　A
解析　因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，两边求导，
得f'(x)＝f'(－x)·(－x)'，
f'(x)＝－f'(－x).
又f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，
所以f'(1)＝.
所以f'(－1)＝－f'(1)＝－.
二、多选题
8.(2026·濮阳段考)下列求导运算正确的有(　　)
A.'＝－sin
B.(xln x)'＝ln x＋1
C.'＝
D.'＝x2－1
答案　BCD
解析　'＝0，故A错误;
(xln x)'＝ln x＋1，故B正确;
'＝，故C正确;
'＝x2－1＋0＝x2－1，故D正确.
9.(2026·郑州调研)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　)
A.lm的斜率的最小值为－2
B.lm的斜率的最小值为－3
C.l0的方程为y＝1
D.l－1的方程为y＝9x＋6
答案　BCD
解析　因为f'(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3.
因为f'(0)＝0，f(0)＝1，
所以l0的方程为y＝1.
因为f'(－1)＝9，f(－1)＝－3，
所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6.
三、填空题
10.(2026·衡阳调研)若函数f(x)＝f'(－1)·x2－2x＋1，则f'(－1)＝　　　　.
答案　－1
解析　因为f(x)＝f'(－1)x2－2x＋1，
所以f'(x)＝f'(－1)x－2，
得到f'(－1)＝－f'(－1)－2，
解得f'(－1)＝－1.
11.函数f(x)＝x3－3x2的图象上过点(3，0)的所有切线的方程为　　　　.
答案　y＝0和y＝9x－27
解析　由题意得f'(x)＝3x2－6x.设切点为(x0，y0)，
则f'(x0)＝3－6x0，
所以切线的方程为
y－y0＝(3－6x0)(x－x0).
又切线过点(3，0)，
所以0－y0＝(3－6x0)(3－x0).
又y0＝－3，
化简得2－12＋18x0＝0，
所以x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝0;
当x0＝3时，切线方程为y＝9(x－3)，
即y＝9x－27.
12.(2026·西安部分学校联考)若M是曲线f(x)＝2x2－ln x上任意一点，则点M到直线y＝3x－6的最小距离为　　　　.
答案　
解析　设曲线在点M(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线y＝3x－6平行，此时点M到直线y＝3x－6的距离最小.
因为f'(x)＝4x－，x>0，
所以4x0－＝3，即4－3x0－1＝0，
解得x0＝1或x0＝－(舍去)，
所以f(1)＝2，即切点为M(1，2)，
所以切点到直线y＝3x－6的距离为.
四、解答题
13.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(e)＋ln x.
(1)求f'(e)及f(e)的值;
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.
解　(1)∵f(x)＝2xf'(e)＋ln x，
∴f'(x)＝2f'(e)＋，
f'(e)＝2f'(e)＋，
∴f'(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，
f'(x)＝－，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，
f'(e2)＝－，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为
y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
14.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
解　(1)因为f'(x)＝3x2－8x＋5，
所以f'(2)＝1，
又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，－4＋5x0－4)，
因为f'(x0)＝3－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，－4＋5x0－4)，
所以－4＋5x0－2＝(3－8x0＋5)·(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或x0＝1，
所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.

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