资源简介

第3节　导数与函数的单调性(一)
一、单选题
1.函数f(x)＝2x－cos x在R上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
2.函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
3.下列函数在区间(0，π)上单调递减的是(　　)
A.y＝x－sin x B.y＝x＋cos x
C.y＝xsin x＋cos x D.y＝xcos x－sin x
4.若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(－∞，－1)，(4，＋∞) B.(－1，4)
C.(0，4) D.(4，＋∞)
5.已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excos x的增区间为(　　)
A. B.
C. D.
6.设f'(x)是函数f(x)的导函数，在同一个直角坐标系中，y＝f(x)和y＝f'(x)的图象不可能是(　　)
7.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
二、多选题
8.(2026·聊城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　)
A.函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增
B.函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C.函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D.函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
9.已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　)
A.(－1，0) B.(－2，－1)
C.(－1，3) D.(3，4)
三、填空题
10.函数f(x)＝＋x的单调递减区间为　　　　.
11.(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f'(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为　　　　.
12.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为　　　　.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
14.已知函数f(x)＝－2x＋2ln a(a>0)，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性.
第3节　导数与函数的单调性(一)
一、单选题
1.函数f(x)＝2x－cos x在R上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
答案　A
解析　∵f(x)＝2x－cos x，
∴f'(x)＝2＋sin x>0在R上恒成立，
∴f(x)在R上是增函数.
2.函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　f'(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f'(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合.
3.下列函数在区间(0，π)上单调递减的是(　　)
A.y＝x－sin x B.y＝x＋cos x
C.y＝xsin x＋cos x D.y＝xcos x－sin x
答案　D
解析　A中，y'＝1－cos x，x∈(0，π)时，cos x<1，所以y'>0恒成立，
则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，A错误;
B中，y'＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x≤1，
所以y'≥0恒成立，则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，B错误;
C中，y'＝x'sin x＋x(sin x)'＋(cos x)'＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
当x∈时，cos x>0，
所以y'>0，y＝xsin x＋cos x在上是单调递增函数，C错误;
D中，y'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
x∈(0，π)时，sin x>0，则y'<0恒成立，
所以y＝xcos x－sin x在区间(0，π)上单调递减，D正确.
4.若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(－∞，－1)，(4，＋∞) B.(－1，4)
C.(0，4) D.(4，＋∞)
答案　C
解析　因为f(x)＝x2－3x－4ln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－3－
＝，
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
5.已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excos x的增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为f(x)＝excos x，x∈(0，π)，
所以f'(x)＝(cos x－sin x)ex
＝excos，
令f'(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f'(x)>0，
当x∈，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)在(0，π)上的增区间为.
6.设f'(x)是函数f(x)的导函数，在同一个直角坐标系中，y＝f(x)和y＝f'(x)的图象不可能是(　　)
答案　D
解析　对于A，f(x)＝x2和f'(x)＝x可满足，故A可能成立;
对于B，f(x)＝ln x和f'(x)＝(x>0)可满足，故B可能成立;
对于C，f(x)＝2x和f'(x)＝2xln 2可满足，故C可能成立;
对于D，因为f'(x)≥0或f'(x)≤0，所以f(x)为单调函数，故D错误.故选D.
7.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
答案　C
解析　函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B;
当x>0时，函数f(x)＝，
则f'(x)＝，
当00，函数f(x)单调递增，
当x>e时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，排除D.
二、多选题
8.(2026·聊城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　)
A.函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增
B.函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C.函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D.函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
答案　BC
解析　A项，f'(x)＝2x－2，由f'(1)＝0，
知A错误;
B项，f'(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，
f'(x)>0恒成立，所以B正确;
C项，f'(x)＝cos x－2<0在[0，1]上恒成立，
所以C正确;
D项，f'(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立，
所以D错误.
9.已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　)
A.(－1，0) B.(－2，－1)
C.(－1，3) D.(3，4)
答案　BD
解析　f'(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex
＝(x2－2x－3)ex，
令f'(x)>0，可得x2－2x－3>0，
解得x<－1或x>3，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)，
所以f(x)在(－2，－1)和(3，4)上单调递增.
三、填空题
10.函数f(x)＝＋x的单调递减区间为　　　　.
答案　
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝＋1＝，当x∈时，f'(x)<0，
当x∈时，f'(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为.
11.(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f'(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为　　　　.
答案　(－3，－1)∪(0，1)
解析　依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x) 在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f'(x)<0;
f(x)在区间(－1，1)上单调递增，f'(x)>0.
所以>0的解集为(－3，－1)∪(0，1).
12.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为　　　　.
答案　－2
解析　f'(x)＝x2＋2mx＋n，
由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，
得f'(x)<0的解集为(－3，1)，
则－3，1是f'(x)＝0的解，
∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，
可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解　(1)f'(x)＝(x>0).
又由题意知f'(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)由(1)知，f'(x)＝(x>0).
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h'(x)＝－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h(1)＝0知，当00，
所以f'(x)>0;
当x>1时，h(x)<0，
所以f'(x)<0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
14.已知函数f(x)＝－2x＋2ln a(a>0)，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性.
解　由题知，f(x)＝－2x＋2ln a，
所以f'(x)＝，x>1，
当00，
f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
当a>时，令f'(x)＝0，x＝ln(2a)，
当1f(x)在(1，ln(2a))上单调递减;
当x>ln(2a)时，f'(x)>0，
f(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.
综上，当0当a>时，f(x)在(1，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.

展开更多......

收起↑