资源简介

第4节　导数与函数的单调性(二)
一、单选题
1.若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，0]
C.(0，＋∞) D.(－∞，1]
2.已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2026·南通质检)已知函数f(x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2.7)B.f(π)C.f(e)D.f(2.7)4.已知函数f(x)＝x2－2x＋ln x.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1] B.(－1，2]
C.[2，＋∞) D.
5.函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A.[0，2) B.[0，2]
C.(0，2] D.(0，2)
6.已知函数f(x)＝x3＋2x－sin x，若f(2a2)＋f(a－1)≤0，则实数a的取值范围为(　　)
A.∪[1，＋∞)
B.
C.(－∞，－1]∪
D.
7.(2026·湖北名校联考)函数f(x)＝sin－2ax在R上不单调，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
8.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　)
A.f(x)有三个单调区间
B.f(－2)C.f(－1)D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
9.已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f，c＝f()，则(　　)
A.a>b B.b>a
C.c>b D.c>a
三、填空题
10.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f'(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是　　　　.
11.(2026·鄂州模拟)已知函数f(x)＝(x2＋1－ax在[0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为　　　　.
12.已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
14.已知函数f(x)＝x－λex＋，其中λ为实数.若函数f(x)是定义域上的单调函数，求λ的取值范围.
第4节　导数与函数的单调性(二)
一、单选题
1.若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，0]
C.(0，＋∞) D.(－∞，1]
答案　C
解析　f'(x)＝－x2＋a，
∵函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，
∴f'(x)＝－x2＋a＝0有两个不相等的实数根，∴a>0.
2.已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由题意知，f'(x)＝ax2＋2x＋1，
若f(x)在R上单调递增，则f'(x)≥0恒成立，
则解得a≥1，
故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.
3.(2026·南通质检)已知函数f(x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2.7)B.f(π)C.f(e)D.f(2.7)答案　D
解析　f'(x)＝2－cos x，
因为cos x∈[－1，1]，所以f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为2.74.已知函数f(x)＝x2－2x＋ln x.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1] B.(－1，2]
C.[2，＋∞) D.
答案　D
解析　因为f(x)＝x2－2x＋ln x，
x∈(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－2＋≥0，
所以f(x)是增函数，
所以若f(a＋1)≥f(2a－1)，
则a＋1≥2a－1>0，解得5.函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A.[0，2) B.[0，2]
C.(0，2] D.(0，2)
答案　C
解析　函数f(x)＝x2－9ln x的导数f'(x)＝x－，x>0，
令f'(x)≤0，解得0因为函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m，m＋1]上单调递减，
则[m，m＋1] (0，3]，即
解得06.已知函数f(x)＝x3＋2x－sin x，若f(2a2)＋f(a－1)≤0，则实数a的取值范围为(　　)
A.∪[1，＋∞)
B.
C.(－∞，－1]∪
D.
答案　D
解析　函数f(x)＝x3＋2x－sin x的定义域为R，
f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－sin(－x)＝－f(x)，
故函数f(x)是奇函数.
又f'(x)＝3x2＋2－cos x>0恒成立，
所以函数f(x)在R上单调递增，
不等式f(2a2)＋f(a－1)≤0，即f(2a2)≤－f(a－1)，从而f(2a2)≤f(－a＋1)等价于2a2≤－a＋1，解得－1≤a≤，
所以实数a的取值范围为.
7.(2026·湖北名校联考)函数f(x)＝sin－2ax在R上不单调，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f'(x)＝cos－2a，
因为函数f(x)在R上不单调，
所以函数f'(x)有零点，
所以方程cos－2a＝0有实数根，
所以直线y＝2a与函数g(x)＝cos的图象有交点(且交点非函数g(x)图象的最高点或最低点)，
因为函数g(x)的值域为，
所以a∈.故选D.
二、多选题
8.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　)
A.f(x)有三个单调区间
B.f(－2)C.f(－1)D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
答案　CD
解析　对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误;
对于B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以f(－2)>f(－1)，故B错误;
对于C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，
所以f(－1)对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.
9.已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f，c＝f()，则(　　)
A.a>b B.b>a
C.c>b D.c>a
答案　ACD
解析　由f(x)＝ln x，
得f'(x)＝ln x＋，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
因为c＝f，0<<<<1，
所以f>f >f ，
故c>a>b.
三、填空题
10.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f'(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是　　　　.
答案　(－∞，－1)∪(0，1)
解析　在(0，＋∞)上f'(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的示意图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
11.(2026·鄂州模拟)已知函数f(x)＝(x2＋1－ax在[0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为　　　　.
答案　[1，＋∞)
解析　对f(x)＝(x2＋1－ax求导得f'(x)＝(x2＋1·2x－a＝－a，
依题意，得 x∈[0，＋∞)，f'(x)≤0恒成立，
即a≥恒成立，
而当x≥0时，<1，
则a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞).
12.已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　
解析　f(x)在(1，2)上存在单调递增区间，
则原问题等价于f'(x)>0在(1，2)上有解，
即a>在(1，2)上有解.
令g(x)＝xex，因为g(x)在(1，2)上单调递增，故在(1，2)上单调递减，
所以∈，所以a>.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
解　(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，f'(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥恒成立.
设G(x)＝，x∈[1，4]，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，
又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞).
(2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则f'(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a>有解，
又当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
14.已知函数f(x)＝x－λex＋，其中λ为实数.若函数f(x)是定义域上的单调函数，求λ的取值范围.
解　由题意知，函数f(x)的定义域为R，
f'(x)＝1－λex－＝1－λ.
若f(x)在R上单调递增，
则f'(x)＝1－λ≥0在x∈R时恒成立，
由于ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以≥λ在x∈R时恒成立，
又∈，所以λ≤0.
若f(x)在R上单调递减，
则f'(x)＝1－λ≤0在x∈R时恒成立，
由于ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以λ≥在x∈R时恒成立，
又∈，所以λ≥.
综上所述，λ的取值范围是(－∞，0]∪.

展开更多......

收起↑