资源简介

第5节　导数中的函数构造问题
一、单选题
1.(2026·萍乡模拟)记x，y为实数，设甲:y>x>0;乙:x－cos yA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f'(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)
3.已知函数f(x)的定义域为R，设f(x)的导函数是f'(x)，且f(x)·f'(x)＋sin x>0恒成立，则(　　)
A.ff
C.< D.>
4.若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f'(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是(　　)
A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a)
5.(2025·武汉三模)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)都有2f(x)－xf'(x)>0成立，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.4f(1)C.4f(2)>f(4) D.f>9f
6.(2026·济南模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c7.(2026·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf'(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　)
A.(－2，0)∪(0，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(0，2)
8.若ln x－ln y<(x>1，y>1)，则(　　)
A.ey－x>1 B.ey－x<1
C.ey－x－1>1 D.ey－x－1<1
二、多选题
9.已知函数y＝f(x)对任意x∈满足f'(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是(　　)
A.f(0)>f B.f>f
C.f(0)>2f D.f10.已知a>b>0，且，则(　　)
A.0C.1e
11.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)－ln 2>f(1) 　B.f(4)－f(2)>ln 2
C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　D.f(e2)－f(e)>1
三、填空题
12.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)＋f(x)>0，且f(1)＝1，则xf(x)>1的解集为　　　　.
13.已知函数f(x)在R上可导，且f'(x)＋f(x)<0，则不等式ex＋2·f(x＋2)14.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x2>x1>0时，>，若f(2)＝e2＋1，则ln xf(ln x)－xln x>2的解集为　　　　.
第5节　导数中的函数构造问题
一、单选题
1.(2026·萍乡模拟)记x，y为实数，设甲:y>x>0;乙:x－cos yA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　令函数f(x)＝x＋cos x，求导得f'(x)＝1－sin x≥0，故f(x)在R上单调递增，
由y>x>0，得f(y)>f(x)，
即x－cos y由x－cos y即f(x)x，
故必要性不成立，
综上可知，甲是乙的充分不必要条件.
2.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f'(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)
答案　B
解析　∵f(x)>2x＋4，∴f(x)－2x－4>0，
令g(x)＝f(x)－2x－4，
则g'(x)＝f'(x)－2>0，
∴g(x)为R上的增函数，
又∵g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.
∴由g(x)>g(－1)＝0得x>－1.
3.已知函数f(x)的定义域为R，设f(x)的导函数是f'(x)，且f(x)·f'(x)＋sin x>0恒成立，则(　　)
A.ff
C.< D.>
答案　D
解析　设g(x)＝f2(x)－2cos x，
则g'(x)＝2f(x)·f'(x)＋2sin x>0，
故g(x)在定义域R上是增函数，
所以g>g，
即f2>f2，
所以>.
4.若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f'(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是(　　)
A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a)
答案　D
解析　令h(x)＝exf(x)，则h'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]，而f(x)＋f'(x)正负不确定，
则函数h(x)的单调性不确定，当a>b时，h(a)，h(b)的大小关系不确定，A，C错误;
令g(x)＝，由f(x)>f'(x)，得g'(x)＝<0，函数g(x)为R上的单调递减函数，
由a>b，得g(a)5.(2025·武汉三模)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)都有2f(x)－xf'(x)>0成立，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.4f(1)C.4f(2)>f(4) D.f>9f
答案　C
解析　设g(x)＝(x>0)，可得g'(x)＝.
因为对任意的x∈(0，＋∞)都有2f(x)－xf'(x)>0，
即xf'(x)－2f(x)<0，且x3>0，
所以g'(x)<0，
这表明g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
逐一分析选项，
对于A，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g(1)>g(2)，即>，也就是4f(1)>f(2)，所以A错误;
仅根据已知条件无法得出f(1)＝0，所以B错误;
对于C，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g(2)>g(4)，即>，也就是4f(2)>f(4)，所以C正确;
对于D，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g所以D错误.
6.(2026·济南模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c答案　A
解析　∵b＝，c＝，构造函数f(x)＝，x>1，则f'(x)＝，
当10;当x>e时，f'(x)<0，
故函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
由于b＝＝f(4)，c＝＝f(3)，且e<3<4，
则f(3)>f(4)，即c>b，又b＝>＝a，
所以a7.(2026·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf'(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　)
A.(－2，0)∪(0，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(0，2)
答案　D
解析　设g(x)＝，x≠0.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
因为g(－x)＝＝－＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
所以g(－2)＝－g(2).
因为f(－2)＝0，
所以g(－2)＝－g(2)＝0.
当x>0时，g'(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
此时不等式>0的解集是(0，2).
因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2).
综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).
8.若ln x－ln y<(x>1，y>1)，则(　　)
A.ey－x>1 B.ey－x<1
C.ey－x－1>1 D.ey－x－1<1
答案　A
解析　依题意，ln x－令f(t)＝t－(t≠0)，则f'(t)＝1＋>0，
所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增;
又x>1，y>1，得ln x>0，ln y>0，
则f(ln x)由单调递增得ln x∴10，
所以ey－x>e0＝1，A正确，B不正确;
又y－x－1无法确定与0的大小关系，故C，D不正确.
二、多选题
9.已知函数y＝f(x)对任意x∈满足f'(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是(　　)
A.f(0)>f B.f>f
C.f(0)>2f D.f答案　BD
解析　令F(x)＝，
依题意当x∈时，
F'(x)＝>0，
故函数F(x)在上单调递增.
由F(0)即f(0)由F>F，得>，
即f>f，B正确;
由F(0)即f(0)<2f，C错误;
由F得<，
即f10.已知a>b>0，且，则(　　)
A.0C.1e
答案　CD
解析　，
设f(x)＝，则f'(x)＝，
令f'(x)>0，解得0令f'(x)<0，解得x>e，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在x＝e处取得最大值f(e)＝，
在(0，e)内，函数f(x)有唯一的零点x＝1，在(e，＋∞)内，f(x)>0，
又∵a>b>0且f(a)＝f(b)>0，
∴1e，故选CD.
11.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)－ln 2>f(1) 　B.f(4)－f(2)>ln 2
C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　D.f(e2)－f(e)>1
答案　ABD
解析　构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g'(x)＝f'(x)－，
因为xf'(x)－1>0，所以g'(x)>0.
故g(x)是增函数，由g(2)>g(1)，
得f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确;
由g(4)>g(2)，得f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确;
由g(e)>g(2)，得f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，可得f(e)＋1>f(2)＋ln 2，故C错误;
由g(e2)>g(e)，得f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，
故D正确.故选ABD.
三、填空题
12.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)＋f(x)>0，且f(1)＝1，则xf(x)>1的解集为　　　　.
答案　(1，＋∞)
解析　令g(x)＝xf(x)，则g'(x)＝xf'(x)＋f(x)>0，则g(x)在R上单调递增，
因为f(1)＝1，则g(1)＝1，
则原不等式为g(x)>g(1)，故x>1.
13.已知函数f(x)在R上可导，且f'(x)＋f(x)<0，则不等式ex＋2·f(x＋2)答案　(－1，＋∞)
解析　设g(x)＝exf(x)，
则g'(x)＝ex[f'(x)＋f(x)]<0，
故g(x)在R上单调递减，
又ex＋2f(x＋2)即g(x＋2)故x＋2>－x，x>－1.故不等式ex＋2f(x＋2)14.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x2>x1>0时，>，若f(2)＝e2＋1，则ln xf(ln x)－xln x>2的解集为　　　　.
答案　(1，e2)
解析　由>，
得x1f(x1)－x1>x2f(x2)－x2，
令g(x)＝xf(x)－xex，
则g(x1)>g(x2)，又x2>x1>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∵ln xf(ln x)－xln x>2，
g(2)＝2f(2)－2e2＝2，∴g(ln x)>g(2)，
∴0

展开更多......

收起↑