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第7节　导数与函数的最值
一、单选题
1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f'(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值
C.函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
2.函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的最值是(　　)
A.最大值是4，最小值是－
B.最大值是2，最小值是－
C.最大值是4，最小值是－
D.最大值是2，最小值是－
3.已知函数f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，则函数f(x)的最大值为(　　)
A.0 B.2－
C. D.
4.当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f'(2)＝(　　)
A.－1 B.－
C. D.1
5.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足关系式y＝－x3＋ax2＋x(a为常数).若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　)
A.6万斤 B.8万斤
C.7万斤 D.9万斤
6.(2026·山东烟台部分学校联考)已知函数f(x)＝(k－x)ex在区间[0，1]上的最大值为k，则函数f(x)在(0，＋∞)上(　　)
A.有极大值，无最小值
B.无极大值，有最小值
C.有极大值，有最大值
D.无极大值，无最大值
7.(2026·南京调研)已知函数f(x)＝x3－x在区间(m，6－m2)上有最小值，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞， ) B.(－，1)
C.[－2， ) D.[－2，1)
二、多选题
8.对于函数f(x)＝－2ln x＋x2－3x，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增
B.2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递减区间是(0，2)
D.函数f(x)的最小值为－2ln 2－2
9.(2026·莆田模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)在R上有两个极值点
B.f(x)无最大值、无最小值
C.f(x)有最小值、无最大值
D.函数f(x)在R上有三个零点
三、填空题
10.已知函数y＝(x＋a)ex的最小值为－1，则实数a＝　　　　.
11.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　km/h
的速度行驶.
12.(2026·绵阳模拟)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x，若f(m)＝g(n)，则m－n的最小值为　　　　.
四、解答题
13.小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，当年产量为x万件时，需另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不足4万件时，W(x)＝x3＋2x，在年产量不小于4万件时，W(x)＝7x＋－27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大 最大年利润是多少
14.已知函数f(x)＝，设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值.
第7节　导数与函数的最值
一、单选题
1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f'(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值
C.函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
答案　C
解析　由题图可知，当x≤c时，f'(x)≥0，
所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，
又a因为f'(c)＝0，f'(e)＝0，且当x0;当c当x>e时，f'(x)>0.
所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确;
由题图可知，当d≤x≤e时，f'(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，所以D不正确.故选C.
2.函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的最值是(　　)
A.最大值是4，最小值是－
B.最大值是2，最小值是－
C.最大值是4，最小值是－
D.最大值是2，最小值是－
答案　A
解析　因为f(x)＝x3－4x＋4，
所以f'(x)＝x2－4，
由f'(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2，
由f'(x)＝x2－4<0，得－2所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
又f(0)＝4，f(2)＝－，f(3)＝1，
所以f(x)在[0，3]上的最大值是4，最小值是－，故B，C，D错误.
3.已知函数f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，则函数f(x)的最大值为(　　)
A.0 B.2－
C. D.
答案　C
解析　f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，
∴f'(x)＝－1＋2cos x，
令f'(x)＝0，得x＝，
∴f，
又f(0)＝0，f(π)＝－π，
∴f(x)max＝f.
4.当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f'(2)＝(　　)
A.－1 B.－
C. D.1
答案　B
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
依题意可知而f'(x)＝，
所以
所以f'(x)＝－，
因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意.
所以f'(2)＝－1＋＝－.故选B.
5.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足关系式y＝－x3＋ax2＋x(a为常数).若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　)
A.6万斤 B.8万斤
C.7万斤 D.9万斤
答案　B
解析　由题意，利润函数g(x)＝－x3＋ax2＋x－(2＋x)(0≤x≤10)，
即g(x)＝－x3＋ax2－2，
则＝－×33＋9a－2，解得a＝2.
故g(x)＝－x3＋2x2－2，
则g'(x)＝－x2＋4x＝－x(x－8).
令g'(x)>0，则有0令g'(x)<0，则有8故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.故选B.
6.(2026·山东烟台部分学校联考)已知函数f(x)＝(k－x)ex在区间[0，1]上的最大值为k，则函数f(x)在(0，＋∞)上(　　)
A.有极大值，无最小值
B.无极大值，有最小值
C.有极大值，有最大值
D.无极大值，无最大值
答案　D
解析　f'(x)＝(k－x－1)ex，
则当x0，
当x>k－1时，f'(x)<0，所以f(x)在(－∞，k－1)上单调递增，在(k－1，＋∞)上单调递减，
又f(0)＝k，f(x)在区间[0，1]上的最大值为k，
所以k－1≤0，即k≤1，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极大值和最大值.故选D.
7.(2026·南京调研)已知函数f(x)＝x3－x在区间(m，6－m2)上有最小值，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞， ) B.(－，1)
C.[－2， ) D.[－2，1)
答案　D
解析　由函数f(x)＝x3－x，
可得f'(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，
当x<－1时，f'(x)>0，f(x)单调递增;
当－1当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
要使函数f(x)在区间(m，6－m2)上有最小值，
则满足
由m3－m≥－，可得m3－3m＋2≥0，
即(m－1)2(m＋2)≥0，解得m≥－2，
所以－2≤m<1，即实数m的取值范围为[－2，1).故选D.
二、多选题
8.对于函数f(x)＝－2ln x＋x2－3x，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增
B.2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递减区间是(0，2)
D.函数f(x)的最小值为－2ln 2－2
答案　ACD
解析　∵f(x)＝－2ln x＋x2－3x，
x∈(0，＋∞)，
∴f'(x)＝－＋2x－3＝，
令f'(x)＝0，则x＝2，
令f'(x)<0，解得0令f'(x)>0，解得x>2，
∴f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，2是函数f(x)的极小值点，故A，C正确，B错误;
又f(x)min＝f(2)＝－2ln 2＋4－6＝－2ln 2－2，故D正确.故选A，C，D.
9.(2026·莆田模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)在R上有两个极值点
B.f(x)无最大值、无最小值
C.f(x)有最小值、无最大值
D.函数f(x)在R上有三个零点
答案　AC
解析　∵f(x)的定义域为R，f'(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex，
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f'(x)>0;当x∈(－1，2)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(2)＝－e2，当x<0时，x2－3x＋1>0，ex>0，
∴f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，
可作出f(x)的图象如图所示，
对于A，f(x)的极大值点为－1，极小值点为2，
A正确;
对于B，C，f(－1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B错误，C正确;
对于D，由图象可知，f(x)在R上有且仅有两个零点，D错误.
三、填空题
10.已知函数y＝(x＋a)ex的最小值为－1，则实数a＝　　　　.
答案　－1
解析　y'＝(x＋a＋1)ex，
当x∈(－∞，－a－1)时，y'<0，函数单调递减，当x∈(－a－1，＋∞)时，y'>0，函数单调递增，故当x＝－a－1时，函数取得极小值，也是最小值，为－e－a－1，
故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.
11.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　km/h
的速度行驶.
答案　80
解析　设全程运输成本为y元，
由题意，得
y＝＝240，v>0，
y'＝240.
令y'＝0，得v＝80.
当v>80时，y'>0;当0所以函数y＝在(0，80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，
所以当v＝80时，全程运输成本最小.
12.(2026·绵阳模拟)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x，若f(m)＝g(n)，则m－n的最小值为　　　　.
答案　1
解析　由题设f(m)＝g(n)＝t，
则ln m＝n＝t，
得m＝et，n＝t，则m－n＝et－t，
设h(x)＝ex－x，h'(x)＝ex－1，
令h'(x)＝0，得x＝0，
当x∈(－∞，0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x＝0时，函数取得最小值，h(0)＝1，
所以m－n的最小值为1.
四、解答题
13.小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，当年产量为x万件时，需另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不足4万件时，W(x)＝x3＋2x，在年产量不小于4万件时，W(x)＝7x＋－27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大 最大年利润是多少
解　(1)由题意，当0P(x)＝6x－2－＝－x3＋4x－2;
当x≥4时，P(x)＝6x－2－＝25－x－.
所以P(x)＝
(2)当0令P'(x)＝0，解得x＝2.
易得P(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，
所以当0当x≥4时，P(x)＝25－≤25－2＝9，当且仅当x＝，即x＝8时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，最大年利润是9万元.
14.已知函数f(x)＝，设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值.
解　因为F(x)＝af(x)，
所以F'(x)＝(a>0，x>0)，
令F'(x)>0得0令F'(x)<0得x>e，
所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以F(x)在[a，2a]上的最小值为
F(x)min＝min{F(a)，F(2a)}.
因为F(a)－F(2a)＝ln a－ln(2a)＝ln ，
所以当0F(x)min＝F(a)＝ln a.
当a>2时，F(a)－F(2a)>0，
F(x)min＝F(2a)＝ln(2a).
综上所述，当0当a>2时，F(x)在[a，2a]上的最小值为ln(2a).

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