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第8节　导数的综合问题
1.(2026·合肥模拟节选)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x(a∈R)，若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围.
2.(2026·昆明诊断节选)已知函数f(x)＝，求证:当x>0时，f(x)≤x－1.
3.已知函数f(x)＝ex－ax－1，若f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围.
4.(2026·湛江模拟节选)已知函数f(x)＝aln(x－1)＋x2－2x，当a<－2时，试判断f(x)的零点个数，并证明.
第8节　导数的综合问题
1.(2026·合肥模拟节选)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x(a∈R)，若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围.
解　f'(x)＝，x>0，
由题意f(x)≥1，则f(x)min≥1.
(1)当a≤0时，令f'(x)>0，得x>1;
令f'(x)<0，得0所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－a－1，
所以－a－1≥1，即a≤－2.
(2)当a>0时，存在f(1)＝－a－1<0，不满足题意，
可知a>0时，f(x)≥1不恒成立，
综上，a≤－2.
故实数a的取值范围是(－∞，－2].
2.(2026·昆明诊断节选)已知函数f(x)＝，求证:当x>0时，f(x)≤x－1.
证明　当x>0时，要证f(x)≤x－1，
即证ln x－x2＋x≤0，
令g(x)＝ln x－x2＋x(x>0)，
则g'(x)＝－2x＋1＝
＝－，
当00，g(x)单调递增;
当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)≤g(1)＝0，
即当x>0时，f(x)≤x－1.
3.已知函数f(x)＝ex－ax－1，若f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围.
解　因为f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，
所以ex－x2－ax－1≤0在(0，＋∞)上有解，
当x>0时，问题等价于a≥在(0，＋∞)上有解，
令g(x)＝，
则g'(x)＝.
令φ(x)＝ex－(x＋1)，则φ'(x)＝ex－1，
当x>0时，φ'(x)>0，
则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)>φ(0)＝0，
即当x>0时，ex－(x＋1)>0，
所以当0当x>1时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，g(x)min＝e－2，所以a≥e－2，
综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞).
4.(2026·湛江模拟节选)已知函数f(x)＝aln(x－1)＋x2－2x，当a<－2时，试判断f(x)的零点个数，并证明.
解　f(x)有两个零点.证明如下:
因为f(2)＝0，所以f(x)有一个零点2.
f'(x)＝，
令f'(x)＝0，解得x1＝1－<1(舍去)，
x2＝1＋.
当x∈(1，x2)时，f'(x)<0，故f(x)单调递减;
当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)单调递增.
当a<－2时，x2＝1＋∈(2，＋∞)，
f(x2)f(1－a)＝aln(－a)＋a2－1
＝－a[－a－ln(－a)]－1.
下面证明当x≥1时，x－ln x≥1.
令g(x)＝x－ln x(x≥1)，
g'(x)＝1－≥0，
故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝1.
因为－a>2>1，
所以f(1－a)＝－a[－a－ln(－a)]－1>－a－1>0.
易知1－a>x2，
所以f(x)在(x2，＋∞)上存在唯一的零点x3，
所以当a<－2时，f(x)有两个零点.

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