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第5节　函数的奇偶性、周期性
一、单选题
1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数中是偶函数的为(　　)
A.f(x)＝(x－1)2 B.f(x)＝2x
C.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝|ln x|
2.若偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(－3)>f(－) B.f(π)>f(－)>f(－3)
C.f(π)3.设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)
A.{x|x>1} B.{x|－1C.{x|x<－1或x>1} D.{x|11}
4.已知函数f(x)满足: x∈R，f(x)·f(x＋6)＝2，且f(4)＝1，则f(2 026)＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(2026·金华调研)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)·sin x－2在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　)
A.－4 B.0
C.2 D.4
6.(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
7.(2026·泰安模拟)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式≤0的解集为(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
8. (2026·新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*，且f(3)＝－5，f(17)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，则f(2 026)＝(　　)
A.5 B.－5
C.2 D.－2
9. (2025·青岛三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)－f(x－y)＝2f(1－x)·f(y)，f(1)＝1，则f(2 025)＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
10. (2026·成都模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　)
A.1 B.
C.－1 D.－
二、多选题
11.(2025·汉中二模)若函数f(x)＝x，则(　　)
A.f()＝
B.f(x)的最小值为0
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)
12.(2025·辽宁名校联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　)
A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数
C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数
三、填空题
13. 已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026，2 026])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　　　　　　.
14.函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则满足条件的一组a，b的值可以是a＝　　　　，b＝　　　　.
15.(2026·大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝　　　　.
16.若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x，则a＝　　　　.
四、解答题
17.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x.
(1)当x<0时，求f(x)的解析式;
(2)若f(1＋a)＋f(2a)>0，求实数a的取值范围.
18.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026).
第5节　函数的奇偶性、周期性
一、单选题
1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数中是偶函数的为(　　)
A.f(x)＝(x－1)2 B.f(x)＝2x
C.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝|ln x|
答案　C
解析　A中，f(x)＝(x－1)2的定义域为R，且f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故为非奇非偶函数;
B中，f(x)＝2x的定义域为R，且f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故为非奇非偶函数;
C中，f(x)＝x4＋x2的定义域为R，且f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
D中，函数定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
2.若偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(－3)>f(－) B.f(π)>f(－)>f(－3)
C.f(π)答案　A
解析　因为f(x)是偶函数，
故f(－)＝f()，f(－3)＝f(3)，
又因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
由<3<π可得f(π)>f(3)>f()，
即f(π)>f(－3)>f(－).
3.设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)
A.{x|x>1} B.{x|－1C.{x|x<－1或x>1} D.{x|11}
答案　C
解析　∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，
又∵f(x)为偶函数，
故可以作出f(x)的图象如图所示.
由图象可知，若f(x)>0，则x<－1或x>1.
4.已知函数f(x)满足: x∈R，f(x)·f(x＋6)＝2，且f(4)＝1，则f(2 026)＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　根据题意，f(x)·f(x＋6)＝2，
显然f(x)≠0，所以f(x＋6)＝，
所以f(x＋12)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为12，
所以f(2 026)＝f(12×168＋10)＝f(10)＝＝2.
5.(2026·金华调研)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)·sin x－2在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　)
A.－4 B.0
C.2 D.4
答案　A
解析　令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sin x，其定义域为R，
因为f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，
所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M＋2，N＋2.
因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(e－x＋ex)sin x＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称，
所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值互为相反数，
即M＋2＋N＋2＝0，所以M＋N＝－4，故选A.
6.(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
答案　B
解析　法一　设g(x)＝ln，
易知g(x)的定义域为∪，
且g(－x)＝ln＝ln ＝－ln＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数.
若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，
则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，
f(－1)＝(a－1)ln 3，
f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B.
7.(2026·泰安模拟)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式≤0的解集为(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
答案　D
解析　由函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
则函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
且f＝－f＝0，f(0)＝0，
则函数f(x)的大致图象如图所示，由图可得，
当x∈∪时，f(x)<0;
当x∈∪时，f(x)>0，
由当x∈(－∞，2)时，x－2<0;
当x∈(2，＋∞)时，x－2>0，
则不等式≤0的解集为∪.
8. (2026·新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*，且f(3)＝－5，f(17)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，则f(2 026)＝(　　)
A.5 B.－5
C.2 D.－2
答案　D
解析　由题意得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x，得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1).
两式相加，得f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.
因为f(17)＝3，所以f(5)＝f(17)＝3，
又因为f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3.
又因为f(2)＝f(1)＋f(3)，即－3＝f(1)－5，
解得f(1)＝2，
所以f(2 026)＝f(337×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－2.
9. (2025·青岛三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)－f(x－y)＝2f(1－x)·f(y)，f(1)＝1，则f(2 025)＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
答案　C
解析　令x＝0，则f(y)－f(－y)＝2f(1)f(y)＝2f(y)，
∴f(y)＝－f(－y)，∴f(x)为奇函数，
令y＝1，则f(x＋1)－f(x－1)
＝2f(1－x)f(1)＝2f(1－x)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(1－x)＝－f(x－1)，
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 025)＝f(1)＝1.
10. (2026·成都模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　)
A.1 B.
C.－1 D.－
答案　C　(2)A　(3)2
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，
f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.
二、多选题
11.(2025·汉中二模)若函数f(x)＝x，则(　　)
A.f()＝
B.f(x)的最小值为0
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案　ACD
解析　f()＝×，故A正确;
由x2－1≥0，得x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故D正确;
因为f(－2)<0，所以f(x)的最小值不是0，故B错误;
因为f(－x)＝－x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故C正确.
12.(2025·辽宁名校联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　)
A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数
C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数
答案　BC
解析　法一　对于A，B，因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(－x)＝f(2＋x)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
于是f(2＋x)＝－f(x)，
即f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确;
对于C，设g(x)＝f(x＋3)，
则g(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝f(2＋x)，
所以f(－x＋3)＝f(－1＋x)，
则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，故C正确;
对于D，设h(x)＝f(x＋5)，
则h(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝f(2＋x)，
所以f(－x＋5)＝f(x－3)，
则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，
即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，故D错误.故选BC.
法二　对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，故A错误;
对于B，因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，故B正确;
对于C，由B知，f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，
由f(x＋1)为偶函数得，f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝f(x－1)，
所以f(x－1)＝f(x＋3)为偶函数，故C正确;
对于D，f(x＋5)＝f(x＋5－4)＝f(x＋1)为偶函数，故D错误.故选BC.
三、填空题
13. 已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026，2 026])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　　　　　　.
答案　－10
解析　设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(－x)，
则g(x)的定义域为[－2 026，2 026]，
则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0，
∴g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，
因此g(x)min＋g(x)max＝0.
又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5，
g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5，
∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0，
即M＋m＝－10.
14.函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则满足条件的一组a，b的值可以是a＝　　　　，b＝　　　　.
答案　1(答案不唯一)　0
解析　因为函数f(x)＝是奇函数，x∈R，
所以f(0)＝0，得b＝0，
当a＝1时，f(x)＝，满足f(－x)＝＝－f(x)，即f(x)为奇函数.
15.(2026·大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝　　　　.
答案　2
解析　由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，
令x＋1代替x，可得f(x＋2)＝3－f(x)，
则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
可得f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1，
由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＝2 025，
则f(2 026)＋f(2 024)＝3，
所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝2.
16.若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x，则a＝　　　　.
答案　－1
解析　函数f(x)满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x，则y＝f(x)＋x是偶函数，
所以f(x)－f(－x)＋2x＝0，即log4＋(4a＋2)x＝2x＋(4a＋2)x＝0，
所以a＝－1.
四、解答题
17.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x.
(1)当x<0时，求f(x)的解析式;
(2)若f(1＋a)＋f(2a)>0，求实数a的取值范围.
解　(1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x.
又由f(x)是R上的奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x.
故f(x)＝－x2＋x(x<0).
(2)当x≥0时，
f(x)＝x2＋x＝，
则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)是R上的奇函数，
则f(x)在(－∞，0)上也单调递增，
故f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，又因为f(1＋a)＋f(2a)>0，
所以f(1＋a)>f(－2a)，所以a＋1>－2a.
解得a>－，
即a的取值范围为.
18.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026).
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解　当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)解　f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)
＝0＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)
＝0＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.

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