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第6节　函数的对称性及其应用
一、单选题
1.函数y＝|3x＋2|图象的对称轴是直线(　　)
A.x＝2 B.x＝－2
C.x＝ D.x＝－
2.(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
3.与曲线y＝关于原点对称的曲线为(　　)
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝－
4.定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A.(2，1) B.(－2，－1)
C.(－2，1) D.(2，－1)
5.(2026·泰州调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增.设a＝f，b＝f，c＝f(－13)，则(　　)
A.aC.b6.(2026·河南部分名校联考)已知f(x)为定义在(－4，4)上的奇函数，若f(x)在[0，4)上单调递减，则满足不等式f(a＋1)＋f(1－a2)>0的实数a的取值范围是(　　)
A.(－，＋∞)
B.(－，2)
C.(－，－1)∪(2，)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7.(2026·厦门调考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋3)＝－f(x)，f(1－2x)＝f(1＋2x)，f(1)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)，则f(k)＝(　　)
A.2 B.－1
C.1 D.－2
二、多选题
8.(2026·成都诊断)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6，－3]时，f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝
9.定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A.直线x＝1是f(x)的图象的对称轴
B.周期T＝2
C.函数f(x)在[4，5]上单调递增
D.f(5)＝0
三、填空题
10.(2026·长沙雅礼中学调考)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝　　　　.
①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2);②f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
11.已知函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 026)＝　　　　.
12.(2026·山东齐鲁名校联考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝ax2－x－2，若对任意1－2，则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ln(x2－2x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)证明:曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称;
(3)若f(2a＋1)>f(a＋4)，求a的取值范围.
14.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>;
(2)求函数g(x)＝图象的对称中心.
第6节　函数的对称性及其应用
一、单选题
1.函数y＝|3x＋2|图象的对称轴是直线(　　)
A.x＝2 B.x＝－2
C.x＝ D.x＝－
答案　D
解析　记y＝f(x)＝|3x＋2|，
因为f
＝|－3x－2|＝|3x＋2|＝f(x)，
所以函数y＝|3x＋2|图象的对称轴是直线x＝－.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　A
解析　由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得，f＝f＝f＝f.
因为当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，
所以f＝5－2×＝－，
即f＝－.故选A.
3.与曲线y＝关于原点对称的曲线为(　　)
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝－
答案　A
解析　在与曲线y＝关于原点对称的曲线上任取一点P1(x，y)，
则点P1(x，y)关于原点的对称点P2(－x，－y)在曲线y＝上，
所以－y＝，化简得y＝，
因此，与曲线y＝关于原点对称的曲线为y＝.
4.定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A.(2，1) B.(－2，－1)
C.(－2，1) D.(2，－1)
答案　D
解析　由题意得函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，
则y＝f(x)关于点(－2，－1)对称，另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于点(2，－1)对称.
5.(2026·泰州调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增.设a＝f，b＝f，c＝f(－13)，则(　　)
A.aC.b答案　D
解析　定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，
则f(x)图象的对称轴是直线x＝2，
所以f(x)的一个周期为T＝4|2－0|＝8，
所以b＝f＝f，
c＝f(－13)＝f(3)＝f(1)，
因为f(x)在[－2，2]上单调递增，
所以b＝f6.(2026·河南部分名校联考)已知f(x)为定义在(－4，4)上的奇函数，若f(x)在[0，4)上单调递减，则满足不等式f(a＋1)＋f(1－a2)>0的实数a的取值范围是(　　)
A.(－，＋∞)
B.(－，2)
C.(－，－1)∪(2，)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案　C
解析　因为f(x)是奇函数，
则f(a＋1)＋f(1－a2)>0可化为f(a＋1)>－f(1－a2)＝f(a2－1).
又f(x)在[0，4)上单调递减且f(x)是定义在(－4，4)上的奇函数，
所以f(x)在(－4，4)上单调递减，
则
解得－即实数a的取值范围是(－，－1)∪(2，).
7.(2026·厦门调考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋3)＝－f(x)，f(1－2x)＝f(1＋2x)，f(1)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)，则f(k)＝(　　)
A.2 B.－1
C.1 D.－2
答案　B
解析　由f(x＋3)＝－f(x)可得f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为6，
由f(1－2x)＝f(1＋2x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(2)＝f(0)，
又f(1)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)，
所以f(2)＝f(0)＝1，又f(3)＝－f(0)＝－1，
f(4)＝－f(1)＝－2，
f(5)＝－f(2)＝－1，f(6)＝f(0)＝1，
所以f(k)＝3[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]－f(6)＝3×(2＋1－1－2－1＋1)－1＝－1.
二、多选题
8.(2026·成都诊断)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6，－3]时，f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝
答案　ACD
解析　因为f(x－3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)，则f(x－3)＝f(x＋3)，
所以f(x＋6)＝f(x)，故A正确;
当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则当x∈[－6，－3]时，x＋6∈[0，3]，f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18，故B不正确;
由f(x＋6)＝f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 026)＝f(4＋337×6)
＝f(4)＝－f(1)＝2，
f(2 025)＝f(3＋337×6)＝f(3)＝0，
f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2，
所以f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025)，故C正确;
由A选项知，f(x)＝－f(x＋3)，
又f(x)＝－f(－x)，则f(x＋3)＝f(－x)，
所以函数f(x)的一条对称轴为直线x＝，故D正确.
9.定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A.直线x＝1是f(x)的图象的对称轴
B.周期T＝2
C.函数f(x)在[4，5]上单调递增
D.f(5)＝0
答案　AC
解析　因为f(x－1)＝f(3－x)，
所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故A正确;
因为f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，
所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，
又因为f(x)的对称轴为x＝1，
所以f(x)的周期T＝4，故B错误;
直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，
所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，
又f(x)的周期T＝4，
所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故C正确;
因为f(x)的周期T＝4，
f(4)＝f(0)＝0，
则f(5)>f(4)＝0，故D错误.
三、填空题
10.(2026·长沙雅礼中学调考)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝　　　　.
①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2);②f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
答案　log2x(答案不唯一，形如f(x)＝klogax(k>0时，a>1;k<0时，0解析　由f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)得，f(x)可以为对数函数，
即f(x)＝logax，又由f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
得a>1，如f(x)＝log2x.
故答案为log2x(答案不唯一).
11.已知函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 026)＝　　　　.
答案　4
解析　因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，
即y＝f(x)是偶函数.
对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，
令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)，
又f(x)>0，所以f(－1)＝2，
则f(1)＝f(－1)＝2，
所以函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4，
所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4，
所以f(x＋4)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数.
对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，
令x＝0，可得f(2)·f(0)＝2f(1)，
则f(2)＝4，
故f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝4.
12.(2026·山东齐鲁名校联考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝ax2－x－2，若对任意1－2，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　∵f(x)＋g(x)＝ax2－x－2，
∴f(－x)＋g(－x)＝ax2＋x－2，
∵f(x)，g(x)分别是定义域为R的奇函数，偶函数，
∴－f(x)＋g(x)＝ax2＋x－2，
则g(x)＝ax2－2，
由题意可得g(x2)＋2x2>g(x1)＋2x1，
令h(x)＝g(x)＋2x＝ax2＋2x－2，
则h(x)在(1，6)上单调递增.
若a>0，则h(x)图象的对称轴为直线x＝－<0，开口向上，符合题意;
若a<0，则h(x)图象的对称轴为直线x＝－>0，开口向下，需满足－≥6，
即－≤a<0;
若a＝0，则h(x)＝2x－2在(1，6)上单调递增，符合题意.
综上，a≥－.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ln(x2－2x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)证明:曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称;
(3)若f(2a＋1)>f(a＋4)，求a的取值范围.
(1)解　由x2－2x>0，
解得x<0或x>2，
故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞).
(2)证明　因为f(x)＝ln(x2－2x)＝ln[x(x－2)]，
所以f(x＋1)＝ln[(x＋1)(x－1)]，
又f(－x＋1)＝ln[(－x＋1)(－x－1)]＝ln[(x＋1)(x－1)]，
所以f(1－x)＝f(1＋x)，
即曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称.
(3)解　对于函数y＝x2－2x，其在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
且y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，
由(2)知，曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称，
要使f(2a＋1)>f(a＋4)，
需满足|(2a＋1)－1|>|(a＋4)－1|，
且
解得a∈(－∞，－4)∪(－2，－1)∪(3，＋∞).
14.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>;
(2)求函数g(x)＝图象的对称中心.
解　(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0，
故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝为奇函数，
则f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，
下面验证函数f(x)＝为奇函数，
f(－x)＝＝－f(x)，
故函数f(x)＝为奇函数，
由f(x)＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>.
(2)g(x)＝，
则g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1).

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