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第7节　幂函数与二次函数
一、单选题
1.(2026·浏阳模拟)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm＋2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　)
A.1 B.－3
C.－4 D.1或－3
2.(2026·黑龙江龙东十校联考)已知f(x)为幂函数，m为常数，且m>1，则函数g(x)＝f(x)＋的图象经过的定点坐标为(　　)
A.(1，1) B.(1，2)
C.(－1，1) D.(－1，2)
3.函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3]
4.如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
5.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.a>b>c D.b6.设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
7.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　　)
A.0 B.1
C. D.2
二、多选题
8.若幂函数f(x)的图象经过点(16，4)，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)为增函数
C.若x>1，则f(x)>1
D.若x1>x2>0，则f>
9.在一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，其中a与b同号，那么函数的图象可能为(　　)
三、填空题
10.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　.
11.(2025·无锡质检)已知幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，若>(1－2a，则实数a的取值范围是　　　　.
12.(2026·徐州质检)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是　　　　.
四、解答题
13.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间.
14.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其两实数根分别为0，4，且当－1≤x≤4时，最大值为10.
(1)求函数的解析式;
(2)设a>0，当t≤x≤t＋1时，求函数的最小值.
第7节　幂函数与二次函数
一、单选题
1.(2026·浏阳模拟)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm＋2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　)
A.1 B.－3
C.－4 D.1或－3
答案　A
解析　由题意可得
得得m＝1.
2.(2026·黑龙江龙东十校联考)已知f(x)为幂函数，m为常数，且m>1，则函数g(x)＝f(x)＋的图象经过的定点坐标为(　　)
A.(1，1) B.(1，2)
C.(－1，1) D.(－1，2)
答案　B
解析　因为幂函数的图象过定点(1，1)，
即f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)＋＝1＋1＝2，
所以g(x)的图象经过定点(1，2).故选B.
3.函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3]
答案　A
解析　易知函数y＝x2－2ax＋3的单调递减区间是(－∞，a]，故a≥3.
4.如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
答案　C
解析　对于A，y＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x<0时，y＝<0，不符合题意;
对于B，当x＝0时，y＝＝0，不符合题意;
对于C，y＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数为偶函数，
且y＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，符合题意;
对于D，y＝，当x＝0时，y＝0，不符合题意.
5.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.a>b>c D.b答案　B
解析　由a＝，b＝，c＝，
得a＝，b＝，c＝.
因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且<<，
所以<<，
即c6.设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
答案　C
解析　因为二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a＝f(－1)>0，
则函数f(x)的减区间为，增区间为，
所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0，得－10，
所以f(m＋1)>f(0)>0.
7.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　　)
A.0 B.1
C. D.2
答案　A
解析　BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝lo，b＝lo，
∴a－＝lo＝0.
二、多选题
8.若幂函数f(x)的图象经过点(16，4)，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)为增函数
C.若x>1，则f(x)>1
D.若x1>x2>0，则f>
答案　BCD
解析　若幂函数f(x)＝xα经过点(16，4)，
则16α＝4，则α＝，
则幂函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上为增函数，故B正确;
因为函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，
所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，故A错误;
当x>1时，f(x)＝>1，故C正确;
函数f(x)＝的图象如图，其图象在[0，＋∞)上是上凸的，
则有不等式9.在一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，其中a与b同号，那么函数的图象可能为(　　)
答案　BC
解析　对于A，开口向上，所以a>0，由图知对称轴－>0，所以b<0，与已知矛盾，
故A错误;
对于B，开口向上，所以a>0，由图知对称轴－<0，所以b>0，满足条件，故B正确;
对于C，开口向下，所以a<0，由图知对称轴－<0，所以b<0，满足条件，故C正确;
对于D，开口向下，所以a<0，由图知对称轴－>0，所以b>0，与已知矛盾，故D错误.
三、填空题
10.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　[－2，0]
解析　当0≤x≤1时，φ(x)＝x2－mx＋m，
此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0;
当x>1时，φ(x)＝x2＋mx－m，
此时φ(x)单调递增，则－≤1，则m≥－2.
综上，实数m的取值范围是[－2，0].
11.(2025·无锡质检)已知幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，若>(1－2a，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　因为幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，
所以m－2<0且m－2为奇数，
又m∈N，所以m＝1，
则>(1－2a，
即>(1－2a，
因为函数y＝的定义域为(0，＋∞)且为减函数，
所以解得0所以实数a的取值范围是.
12.(2026·徐州质检)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是　　　　.
答案　[2，4]
解析　解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，
解得x＝0或x＝4，
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，
解得x＝2，
由于f(x)在[a，b]上的值域为[－2，2].
若f(x)在[a，b]上单调，
则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，
此时b－a取得最小值2;
若f(x)在[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，
所以b－a的最大值为4.
所以b－a的取值范围是[2，4].
四、解答题
13.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间.
解　(1)设f(x)＝xα，
因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，
所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，
因为点在幂函数g(x)的图象上，
所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图实线部分所示.
由题意及图象，
可知h(x)＝
根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞).
14.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其两实数根分别为0，4，且当－1≤x≤4时，最大值为10.
(1)求函数的解析式;
(2)设a>0，当t≤x≤t＋1时，求函数的最小值.
解　(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0有两实数根分别为0，4，
所以0＋4＝－，0×4＝＝0，
所以c＝0，b＝－4a，所以二次函数为y＝ax2－4ax，对称轴为x＝－＝2，
当a>0时，当x＝－1时，最大值为10＝a＋4a＝5a，所以a＝2，
所以当a>0时函数解析式为
y＝2x2－8x，
当a<0时，当x＝2时，最大值为10＝4a－8a＝－4a，
所以a＝－，所以当a<0时函数解析式为
y＝－x2＋10x.
(2)当a>0时，函数的解析式为y＝2x2－8x，开口向上，对称轴为x＝2，
当t≤1时，x∈[t，t＋1]时，函数单调递减，
当x＝t＋1时，ymin＝2t2－4t－6;
当1当x＝2时，ymin＝－8;
当t>2时，x∈[t，t＋1]时，函数单调递增，当x＝t时，ymin＝2t2－8t.

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