资源简介

第9节　指数函数
一、单选题
1.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
2.若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.cC.a3.(2026·西安调研)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限答案　B
5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝，则对任意实数x，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，且在R上单调递增
B.f(x)是奇函数，且在R上单调递增
C.f(x)是奇函数，且在R上单调递减
D.f(x)是偶函数，且在R上单调递减
6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞，0]满足x2－3x＋a<0(a∈R)，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－1，＋∞)
7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
二、多选题
8.已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，下列等式可以成立的是(　　)
A.a＝b＝0 B.aC.09.(2026·江西适应性联考)设函数f(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在R上是单调函数
C.f(x)的最小值为1
D.当x>0时，f(x)>0
三、填空题
10.不等式<的解集为　　　　.
11.已知函数f(x)＝|2x－1－2|＋m有两个零点，则m的取值范围是　　　　.
12.已知0≤x≤2，则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.
四、解答题
13.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
14.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值.
第9节　指数函数
一、单选题
1.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
答案　B
解析　作出函数y＝的图象，如图所示，将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝的图象.
2.若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.cC.a答案　C
解析　指数函数y＝为减函数，
所以>，即b>c.
幂函数y＝在区间(0，＋∞)上为增函数，
所以<，
即a3.(2026·西安调研)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　函数f(x)＝的定义域为R，
令u＝x2－3x＋1，y＝3u.
因为y＝3u在R上单调递增，
u＝x2－3x＋1的单调递增区间为，
所以f(x)的单调递增区间为.
4.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0，1)，
因为a>1，
所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，
所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示.
故函数f(x)的图象不经过第二象限.
5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝，则对任意实数x，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，且在R上单调递增
B.f(x)是奇函数，且在R上单调递增
C.f(x)是奇函数，且在R上单调递减
D.f(x)是偶函数，且在R上单调递减
答案　B
解析　f(x)的定义域为R，
f(x)＝，
则f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)是奇函数.
由于f(x)＝，
函数y＝ex＋1单调递增，
故f(x)在R上单调递增.
故选B.
6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞，0]满足x2－3x＋a<0(a∈R)，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－1，＋∞)
答案　A
解析　因为存在x∈(－∞，0]，满足x2－3x＋a<0(a∈R)，
即存在x∈(－∞，0]，满足a<－x2＋3x，亦即
a<(－x2＋3x)max.
令f(x)＝－x2＋3x，x∈(－∞，0]，
因为y＝－x2与y＝3x在(－∞，0]上均单调递增，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，
所以f(x)max＝f(0)＝1，
所以a<1，即a的取值范围是(－∞，1).故选A.
7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
答案　B
解析　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，
所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，
令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，
此时x>y>z，A有可能;
令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能;
令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，
z＝53＝125，
此时y>z>x，D有可能.故选B.
二、多选题
8.已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，下列等式可以成立的是(　　)
A.a＝b＝0 B.aC.0答案　ABD
解析　如图，观察易知，a9.(2026·江西适应性联考)设函数f(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在R上是单调函数
C.f(x)的最小值为1
D.当x>0时，f(x)>0
答案　ABD
解析　f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－(ex－e－x－2x)＝－f(x)，x∈R，
所以f(x)是奇函数，A正确;
对f(x)求导得f'(x)＝ex＋e－x－2，
因为ex＋e－x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，
所以f'(x)≥0，则f(x)在R上是单调函数，B正确;
由B的分析知f(x)是增函数，故f(x)没有最小值，C错误;
因为f(x)是增函数，且f(0)＝0，
所以当x>0时，f(x)>0，D正确.
三、填空题
10.不等式<的解集为　　　　.
答案　(－3，2)
解析　函数y＝2x在R上单调递增，
则 <，得<2－3(x－1)，得x2－2x－3<－3(x－1)，
即x2＋x－6<0， 解得－3所以原不等式的解集为(－3，2).
11.已知函数f(x)＝|2x－1－2|＋m有两个零点，则m的取值范围是　　　　.
答案　(－2，0)
解析　令f(x)＝|2x－1－2|＋m＝0，
得|2x－1－2|＝－m，
因为f(x)有两个零点，所以函数y＝|2x－1－2|的图象与直线y＝－m有两个交点，
画出函数y＝|2x－1－2|的图象，如图所示，
由图可知0<－m<2，即－212.已知0≤x≤2，则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.
答案　
解析　设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，
y＝－3×2x＋5＝t2－3t＋5
＝(t－3)2＋，
故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值.
四、解答题
13.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，即a－<0，
又a>0，且a≠1，∴0而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为
f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2∴实数m的取值范围是(－2，1).
14.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值.
解　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1，1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3或a＝－5(舍去);
当0所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝－2＝14，
解得a＝或a＝－(舍去).
综上，a＝3或a＝.

展开更多......

收起↑